高中3.2 基本不等式获奖第2课时2课时教学设计

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第2课时 基本不等式的综合应用











已知x、y都是正数，


(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值 eq \f(s2,4)；


(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值2 eq \r(p).


上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小．


思考：(1)两个非负数的积为定值，它们的和一定可以用基本不等式求最小值吗？


(2)两个非负数的和为定值，它们的积一定可以用基本不等式求最大值吗？


提示：(1)不一定，例如a2＋2与 eq \f(1,a2＋2)，它们的积为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最小值．


(2)不一定，例如1＋a2与1－a2，它们的和为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最大值．





1．若a＞1，则a＋ eq \f(1,a－1)的最小值是( )


A．2 B．a C． eq \f(2\r(a),a－1) D．3


D [∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋ eq \f(1,a－1)＝a－1＋ eq \f(1,a－1)＋1≥2 eq \r(（a－1）·\f(1,a－1))＋1＝3.当且仅当a－1＝ eq \f(1,a－1)，即a＝2时，等号成立．]


2．设x＞0，则y＝3－3x－ eq \f(1,x)的最大值是( )


A．3 B．－3 eq \r(2) C．3－2 eq \r(3) D．－1


C [∵x＞0，


∴y＝3－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(1,x)))≤3－2 eq \r(3x·\f(1,x))＝3－2 eq \r(3).当且仅当3x＝ eq \f(1,x)，且x＞0，即x＝ eq \f(\r(3),3)时，等号成立．]


3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．


5 [依题意得y1＝ eq \f(20,x)，y2＝ eq \f(4,5)x为仓库与车站的距离，


∴y1＋y2＝ eq \f(20,x)＋ eq \f(4x,5)≥2 eq \r(16)＝8，当且仅当x＝5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．]


4．当x< eq \f(3,2)时，求函数y＝x＋ eq \f(8,2x－3)的最大值．


[解] y＝ eq \f(1,2)(2x－3)＋ eq \f(8,2x－3)＋ eq \f(3,2)


＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋ eq \f(3,2)，


∵当x< eq \f(3,2)时，3－2x>0，


∴ eq \f(3－2x,2)＋ eq \f(8,3－2x)≥2 eq \r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，当且仅当 eq \f(3－2x,2)＝ eq \f(8,3－2x)，即x＝－ eq \f(1,2)时取等号．


于是y≤－4＋ eq \f(3,2)＝－ eq \f(5,2)，故函数有最大值－ eq \f(5,2).]








基本不等式求函数最值


【例1】 (1)设0

(2)若x>4，求y＝ eq \f(3,x－4)＋x的最小值．


[思路点拨] (1)3x＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－3x))＝8；(2) eq \f(3,x－4)＋x＝ eq \f(3,x－4)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－4))＋4 .可利用基本不等式求解．


[解] (1)∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6，8－3x＞2＞0，


∴y＝ eq \r(3x（8－3x）)≤ eq \f(3x＋（8－3x）,2)＝ eq \f(8,2)＝4，


当且仅当3x＝8－3x，即x＝ eq \f(4,3)时，取等号．


∴当x＝ eq \f(4,3)时，y＝ eq \r(3x（8－3x）)的最大值是4.


(2)当x＞4时，x－4＞0，


∴ eq \f(3,x－4)＋x＝ eq \f(3,x－4)＋(x－4)＋4≥2 eq \r(\f(3,x－4)×（x－4）)＋4＝2 eq \r(3)＋4，


当且仅当 eq \f(3,x－4)＝x－4，


即x＝4＋ eq \r(3)时，取等号；


∴当x＝4＋ eq \r(3)时，y＝ eq \f(3,x－4)＋x的最小值是2 eq \r(3)＋4.





1．应用基本不等式求最值必须满足三个条件，“一正、二定、三相等”．


2．应用基本不等式求最值时，“凑定值”是一个难点，常用技巧有“拆项”、“添项”、“常值代换”等．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．求函数y＝ eq \f(x2＋7x＋10,x＋1)(x>－1)的最小值.


[解] 令x＋1＝t>0，∴x＝t－1，


∴y＝ eq \f(（t－1）2＋7（t－1）＋10,t)＝ eq \f(t2＋5t＋4,t)＝t＋ eq \f(4,t)＋5≥2 eq \r(t·\f(4,t))＋5＝9，


当且仅当t＝ eq \f(4,t)，即t＝2，x＝1时等号成立．


∴当x＝1时，函数y＝ eq \f(x2＋7x＋10,x＋1)(x>－1)取得最小值9.





利用基本不等式求条件最值


【例2】 已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求 eq \f(8,x)＋ eq \f(2,y)的最小值.


[思路点拨] 注意x＋y＝1的使用，构造出 eq \f(8y,x)和 eq \f(2x,y)利用基本不等式．


[解] ∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1，


∴ eq \f(8,x)＋ eq \f(2,y)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))(x＋y)＝10＋ eq \f(8y,x)＋ eq \f(2x,y)≥10＋2 eq \r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＝18.


当且仅当 eq \f(8y,x)＝ eq \f(2x,y)，即x＝2y时等号成立，


∴当x＝ eq \f(2,3)，y＝ eq \f(1,3)时， eq \f(8,x)＋ eq \f(2,y)有最小值18.





1．本题在解答中要注意使 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)取最小值时所对应a、b的值也要一并解出来．


2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”、“常值代换”的方法，构造成基本不等式的形式，从而得出最值．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．若x＞0，y＞0，且 eq \f(1,x)＋ eq \f(4,y)＝1，则x＋y的最小值是( )


A．3 B．6 C．9 D．12


C [x＋y＝(x＋y)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝1＋ eq \f(y,x)＋ eq \f(4x,y)＋4＝5＋ eq \f(y,x)＋ eq \f(4x,y)≥5＋2 eq \r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝5＋4＝9.


当且仅当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)＝1,\f(y,x)＝\f(4x,y))) ，


即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝6)) 时等号成立，故x＋y的最小值为9.]





利用基本不等式解决实际问题


【例3】 从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．





eq \f(1,2) [设两个正方形边长分别为a，b，


则由题可得2a＋2b＝2，即a＋b＝1，S＝a2＋b2≥2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up8(2)＝ eq \f(1,2)，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2)时取等号．]





利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：


(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；


(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；


(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；


(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )


A．50 B．25 eq \r(3) C．50 eq \r(3) D．100


A [设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100.


于是S＝xy≤ eq \f(x2＋y2,2)＝50，当且仅当x＝y时等号成立．]








运用基本不等式 eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab)求最值时．要注意：


(1)“拆”“拼”“凑”等变形技巧，使其满足基本不等式“正”“定”“等”的条件；


(2)连续使用基本不等式时，取等号的条件很严格，要求每次等号成立的条件都要满足．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)若a＞1，则a＋ eq \f(1,a－1)的最小值是 eq \f(2\r(a),a－1).( )


(2)若a<0，则a＋ eq \f(1,a)的最小值是－2.( )


(3) eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))的最小值是2.( )


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．若x2＋y2＝1(x、y∈R)，则x eq \r(1＋y2)的最大值为( )


A．1 B． eq \f(\r(5),4) C． eq \r(2) D．以上都不对


A [ x eq \r(1＋y2)≤ eq \f(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(1＋y2)))\s\up8(2),2)＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋y2))＋1,2)＝1，当且仅当x＝1，y＝0时取等号．]


3．设0

A．(a－b)2 B．(a＋b)2


C．a2b2 D．a2


B [∵ eq \f(a2,x)＋ eq \f(b2,1－x)＝(1－x＋x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x)＋\f(b2,1－x)))＝ eq \f(（1－x）a2,x)＋ eq \f(xb2,1－x)＋a2＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.当且仅当x＝ eq \f(a,a＋b)时，取等号，∴选B.]


4．若x>0，则x＋ eq \f(2,x)的最小值是________．


2 eq \r(2) [x＋ eq \f(2,x)≥2 eq \r(x·\f(2,x))＝2 eq \r(2)，当且仅当x＝ eq \r(2)时，等号成立．]


5．已知0

[解] 因为0

所以y＝x eq \r(1－4x2)＝ eq \f(1,2)× eq \r(4x2) eq \r(1－4x2)≤ eq \f(1,2)× eq \f(4x2＋1－4x2,2)＝ eq \f(1,4)，当且仅当2x＝ eq \r(1－4x2)，即x＝ eq \f(\r(2),4)时等号成立．


所以函数y＝x eq \r(1－4x2)的最大值为 eq \f(1,4).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用基本不等式求函数的最大(小)值问题．(重点)


2．能利用基本不等式解决实际应用问题．(难点)
1．通过基本不等式求函数最值的应用，提升数学运算素养．


2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．