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    高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试优秀当堂达标检测题

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    这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试优秀当堂达标检测题,共9页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    课时分层作业(四十) 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质


    (建议用时:40分钟)





    一、选择题


    1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0,ω>0,|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示,则φ=( )





    A.-eq \f(π,4) B.eq \f(π,4) C.-eq \f(π,3) D.eq \f(π,3)


    D [由题图可知T=4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-\f(π,12)))=π,故ω=2,又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))=2,所以2×eq \f(π,12)+φ=eq \f(π,2)+2kπ(k∈Z),故φ=2kπ+eq \f(π,3),又|φ|

    2.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,2)))上具有单调性,且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))=-feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6))),则f(x)的最小正周期为( )


    A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.π D.eq \f(3π,2)


    C [∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3))),∴x=eq \f(\f(π,2)+\f(2π,3),2)=eq \f(7π,12)为函数f(x)的图象的一条对称轴.


    ∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))=-feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6))),f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,2)))上具有单调性,∴x=eq \f(π,6)-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)-\f(π,2)))=eq \f(π,12)为f(x)图象的一条对称轴,且与x=eq \f(7π,12)相邻,故函数f(x)的最小正周期T=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)-\f(π,12)))=π.]


    3.点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,6),2))是函数f(x)=sin(ωx+φ)+meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0,|φ|<\f(π,2)))的图象的一个对称中心,且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为eq \f(π,2),则下列说法正确的是( )


    A.f(x)的最小正周期是π


    B.f(x)的值域为[0,4]


    C.f(x)的初相φ=eq \f(π,3)


    D.f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4π,3),2π))上单调递增


    D [由题意,eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(π,6)ω+φ=kπk∈Z,①,m=2,))且函数的最小正周期为T=4×eq \f(π,2)=2π,故ω=eq \f(2π,T)=1.代入①式得φ=kπ+eq \f(π,6)(k∈Z),又|φ|<eq \f(π,2),所以φ=eq \f(π,6),所以f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,6)))+2.故函数f(x)的最小正周期为2π,值域为[1,3],初相为eq \f(π,6),排除A、B、C项,故选D.]


    4.设函数f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x+\f(π,5))).若对任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为( )


    A.2 B.eq \f(π,2) C.1 D.eq \f(π,4)


    A [f(x)的周期T=4,|x1-x2|的最小值为2.]


    5.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))的值为( )





    A.-eq \f(\r(3),4) B.-eq \f(1,4) C.-eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),4)


    D [由题意知,点M到x轴的距离是eq \f(1,2),


    根据题意可设f(x)=eq \f(1,2)cs ωx,


    又由题图知eq \f(1,2)·eq \f(2π,ω)=1,所以ω=π,


    所以f(x)=eq \f(1,2)cs πx,


    所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))=eq \f(1,2)cseq \f(π,6)=eq \f(\r(3),4). 故选D.]


    二、填空题


    6.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)的图象如图所示,feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))=-eq \f(2,3),则f(0)=________.





    eq \f(2,3) [由图象可得最小正周期为eq \f(2,3)π,于是f(0)=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3))),注意到eq \f(2,3)π与eq \f(π,2)关于eq \f(7π,12)对称,


    所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))=-feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))=eq \f(2,3).]


    7.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)+x))=f(-x),则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))=________.


    ±3 [由于函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)+x))=f(-x),


    则函数f(x)的图象关于直线x=eq \f(π,6)对称,则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))是函数f(x)的最大值或最小值,则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))=-3或3.]


    8.(一题两空)函数f(x)=2sin(ωx+φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0,-\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示,则ω=________;φ=________.





    2 -eq \f(π,3) [eq \f(3,4)T=eq \f(5π,12)-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,3)))=eq \f(3π,4),∴T=eq \f(2π,ω)=π,


    ∴ω=2.


    当x=eq \f(5π,12)时,2×eq \f(5π,12)+φ=eq \f(π,2),∴φ=-eq \f(π,3).]


    三、解答题


    9.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0,|φ|<\f(π,2)))在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:


    (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;


    (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动eq \f(π,6)个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.


    [解] (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-eq \f(π,6).数据补全如下表:


    函数解析式为f(x)=5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6))).


    (2)由(1)知, f(x)=5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6))),


    因此g(x)=5sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,6)))-\f(π,6)))=5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6))).


    因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.


    令2x+eq \f(π,6)=kπ,解得x=eq \f(kπ,2)-eq \f(π,12),k∈Z.


    即y=g(x)的图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)-\f(π,12),0)),k∈Z,其中离原点O最近的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,12),0)).


    10.已知函数f(x)=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))))的图象的一条对称轴是直线x=eq \f(π,4).


    (1)求φ值;


    (2)求函数y=f(x)的单调增区间和对称中心.


    [解] (1)∵x=eq \f(π,4)是f(x)的图象的一条对称轴,


    ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(π,4)+φ))=±1,


    ∴eq \f(π,8)+φ=kπ+eq \f(π,2),k∈Z.


    ∵0<φ<eq \f(π,2),∴φ=eq \f(3π,8).


    (2)由(1)知y=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+\f(3π,8))).


    由题意得2kπ-eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x+eq \f(3π,8)≤2kπ+eq \f(π,2),k∈Z,


    即4kπ-eq \f(7π,4)≤x≤4kπ+eq \f(π,4),k∈Z,


    ∴函数f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ-\f(7π,4),4kπ+\f(π,4)))(k∈Z).


    由eq \f(1,2)x+eq \f(3π,8)=kπ(k∈Z)得x=2kπ-eq \f(3π,4)(k∈Z),


    故该函数的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ-\f(3π,4),0))(k∈Z).





    1.关于f(x)=4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))(x∈R),有下列命题:


    ①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是π的整数倍;


    ②y=f(x)的表达式可改写成y=4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)));


    ③y=f(x)图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,6),0))对称;


    ④y=f(x)图象关于直线=-eq \f(π,6)对称.


    其中正确命题的序号为( )


    A.①③ B.②④ C.②③ D.①④


    C [对于①,由f(x)=0,可得2x+eq \f(π,3)=kπ(k∈Z).


    ∴x=eq \f(k,2)π-eq \f(π,6)(k∈Z),∴x1-x2是eq \f(π,2)的整数倍,


    ∴①错误;对于②,由f(x)=4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))可得f(x)=4cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))))=4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6))),∴②正确;对于③,f(x)=4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))的对称中心满足2x+eq \f(π,3)=kπ(k∈Z),∴x=eq \f(k,2)π-eq \f(π,6)(k∈Z),


    ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,6),0))是函数y=f(x)的一个对称中心.∴③正确;


    对于④,函数y=f(x)的对称轴满足2x+eq \f(π,3)=eq \f(π,2)+kπ(k∈Z),


    ∴x=eq \f(π,12)+eq \f(kπ,2)(k∈Z).∴④错误.]


    2.设函数y=sin(ωx+φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0,φ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2)))))的最小正周期为π,且其图象关于直线x=eq \f(π,12)对称,则在下面四个结论中:①图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),0))对称;②图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3),0))对称;③在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,6)))上是增函数;④在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,6),0))上是增函数,结论正确的是________.


    ②④ [∵T=π,∴ω=2.又2×eq \f(π,12)+φ=kπ+eq \f(π,2),


    ∴φ=kπ+eq \f(π,3).∵φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2))),∴φ=eq \f(π,3),


    ∴y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3))).由图象及性质可知②④正确.]


    3.设函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx-\f(π,6)))(ω>0).若f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________.


    eq \f(8,3) [∵f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))对任意的实数x都成立,


    ∴当x=eq \f(π,4)时,f(x)取得最大值,


    即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)ω-\f(π,6)))=1,


    ∴eq \f(π,4)ω-eq \f(π,6)=2kπ+eq \f(π,2),k∈Z,


    ∴ω=8k+eq \f(8,3),k∈Z.


    ∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值eq \f(8,3).]


    4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0,ω>0,|φ|<\f(π,2)))的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).


    (1)求f(x)的解析式及x0的值;


    (2)求f(x)的单调增区间;


    (3)若x∈[-π,π],求f(x)的值域.


    [解] (1)由题意作出f(x)的简图如图.





    由图象知A=2,由eq \f(T,2)=2π,得T=4π,


    ∴4π=eq \f(2π,ω),即ω=eq \f(1,2),


    ∴f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+φ)),


    ∴f(0)=2sin φ=1,


    又∵|φ|

    ∵f(x0)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x0+\f(π,6)))=2,


    ∴eq \f(1,2)x0+eq \f(π,6)=eq \f(π,2)+2kπ,k∈Z.


    ∴x0=4kπ+eq \f(2π,3),k∈Z,


    又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点,


    ∴x0=eq \f(2π,3).


    (2)由-eq \f(π,2)+2kπ≤eq \f(1,2)x+eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)+2kπ,k∈Z,


    得-eq \f(4π,3)+4kπ≤x≤eq \f(2π,3)+4kπ,k∈Z,


    ∴f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(4π,3)+4kπ,\f(2π,3)+4kπ))(k∈Z).


    (3)∵-π≤x≤π,


    ∴-eq \f(π,3)≤eq \f(1,2)x+eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3),


    ∴-eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+\f(π,6)))≤1,


    ∴-eq \r(3)≤f(x)≤2,


    故当x∈[-π,π]时,f(x)的值域为[-eq \r(3),2].


    ωx+φ
    0
    eq \f(π,2)
    π
    eq \f(3π,2)

    x
    eq \f(π,3)
    eq \f(5π,6)
    Asin(ωx+φ)
    0
    5
    -5
    0
    ωx+φ
    0
    eq \f(π,2)
    π
    eq \f(3π,2)

    x
    eq \f(π,12)
    eq \f(π,3)
    eq \f(7π,12)
    eq \f(5π,6)
    eq \f(13π,12)
    Asin(ωx+φ)
    0
    5
    0
    -5
    0
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