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    高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式本章综合与测试优秀练习

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    这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式本章综合与测试优秀练习,共5页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    课时分层作业(十) 基本不等式的证明


    (建议用时:40分钟)





    一、选择题


    1.设t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是( )


    A.s≥t B.s>t


    C.s≤t D.s

    A [∵b2+1≥2b,∴a+2b≤a+b2+1.]


    2.下列不等式中正确的是( )


    A.a+eq \f(4,a)≥4 B.a2+b2≥4ab


    C.eq \r(ab)≥eq \f(a+b,2) D.x2+eq \f(3,x2)≥2eq \r(3)


    D [a<0,则a+eq \f(4,a)≥4不成立,故A错;


    a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错;


    a=4,b=16,则eq \r(ab)<eq \f(a+b,2),故C错;


    由基本不等式可知D项正确.]


    3.当x>0时,f(x)=eq \f(2x,x2+1)的最大值为( )


    A.eq \f(1,2) B.1


    C.2 D.4


    B [∵x>0,∴f(x)=eq \f(2x,x2+1)=eq \f(2,x+\f(1,x))≤eq \f(2,2)=1,


    当且仅当x=eq \f(1,x),即x=1时取等号.故选B.]


    4.若a>b>0,则下列不等式成立的是( )


    A.a>b>eq \f(a+b,2)>eq \r(ab)


    B.a>eq \f(a+b,2)>eq \r(ab)>b


    C.a>eq \f(a+b,2)>b>eq \r(ab)


    D.a>eq \r(ab)>eq \f(a+b,2)>b


    B [a=eq \f(a+a,2)>eq \f(a+b,2)>eq \r(ab)>eq \r(b·b)=b,因此只有B项正确.]


    二、填空题


    5.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是 .


    eq \f(2\r(3),3) [x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1,∴(x+y)2=xy+1≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x+y,2)))2+1.∴eq \f(3,4)(x+y)2≤1.


    ∴x+y≤eq \f(2\r(3),3),当且仅当x=y=eq \f(\r(3),3)时等号成立.]


    6.已知a>b>c,则eq \r(a-bb-c)与eq \f(a-c,2)的大小关系是_____.


    eq \r(a-bb-c)≤eq \f(a-c,2) [∵a>b>c,


    ∴a-b>0,b-c>0,


    ∴eq \r(a-bb-c)≤eq \f(a-b+b-c,2)=eq \f(a-c,2).]


    7.某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,则这两年的平均增长率x与增长率的平均值eq \f(a+b,2)的大小关系为_________.


    x≤eq \f(a+b,2) [用两种方法求出第三年的产量分别为


    A(1+a)(1+b),A(1+x)2,则有(1+x)2=(1+a)(1+b).


    ∴1+x=eq \r(1+a1+b)≤eq \f(1+a+1+b,2)=1+eq \f(a+b,2),


    ∴x≤eq \f(a+b,2).当且仅当a=b时等号成立.]


    8.已知函数f(x)=4x+eq \f(a,x)(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=__________.


    36 [f(x)=4x+eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))=4eq \r(a)(x>0,a>0),当且仅当4x=eq \f(a,x),即x=eq \f(\r(a),2)时等号成立,此时f(x)取得最小值4eq \r(a).又由已知x=3时,f(x)min=4eq \r(a),


    ∴eq \f(\r(a),2)=3,即a=36.]


    三、解答题


    9.已知a,b,c为正数,求证:eq \f(b+c-a,a)+eq \f(c+a-b,b)+eq \f(a+b-c,c)≥3.


    [证明] 左边=eq \f(b,a)+eq \f(c,a)-1+eq \f(c,b)+eq \f(a,b)-1+eq \f(a,c)+eq \f(b,c)-1


    =eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)+\f(a,b)))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)+\f(a,c)))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)+\f(b,c)))-3.


    ∵a,b,c为正数,


    ∴eq \f(b,a)+eq \f(a,b)≥2(当且仅当a=b时取“=”);


    eq \f(c,a)+eq \f(a,c)≥2(当且仅当a=c时取“=”);


    eq \f(c,b)+eq \f(b,c)≥2(当且仅当b=c时取“=”).


    从而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)+\f(a,b)))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)+\f(a,c)))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)+\f(b,c)))≥6(当且仅当a=b=c时取等号).


    ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)+\f(a,b)))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)+\f(a,c)))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)+\f(b,c)))-3≥3,


    即eq \f(b+c-a,a)+eq \f(c+a-b,b)+eq \f(a+b-c,c)≥3.


    10.已知a,b,c为正实数,且a+b=1.求证:eq \f(1,a)+eq \f(1,b)≥4.


    [证明] eq \f(1,a)+eq \f(1,b)=eq \f(a+b,a)+eq \f(a+b,b)


    =1+eq \f(b,a)+eq \f(a,b)+1


    =2+eq \f(b,a)+eq \f(a,b)≥2+2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))=4.


    当且仅当a=b时“=”成立.





    1.下列不等式一定成立的是( )


    A.x+eq \f(1,x)≥2 B.eq \f(x2+2,\r(x2+2))≥eq \r(2)


    C.eq \f(x2+3,\r(x2+4))≥2 D.2-3x-eq \f(4,x)≥2


    B [A项中当x<0时,x+eq \f(1,x)<0<2,∴A错误.


    B项中,eq \f(x2+2,\r(x2+2))=eq \r(x2+2)≥eq \r(2),∴B正确.


    而对于C,eq \f(x2+3,\r(x2+4))=eq \r(x2+4)-eq \f(1,\r(x2+4)),


    当x=0时,eq \f(x2+3,\r(x2+4))=eq \f(3,2)<2,显然选项C不正确.


    D项中取x=1,2-3x-eq \f(4,x)<2,∴D错误.]


    2.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则( )


    A.ab≤eq \f(1,2) B.ab≥eq \f(1,2)


    C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3


    C [∵a≥0,b≥0,且a+b=2,∴ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))eq \s\up12(2)=1,


    又eq \f(a2+b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))eq \s\up12(2),∴a2+b2≥2.]


    3.若x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为 .


    eq \f(1,16) [1=x+4y≥2eq \r(4xy)=4eq \r(xy),


    ∴xy≤eq \f(1,16),当且仅当x=4y=eq \f(1,2)时等号成立.]


    4.设a,b为非零实数,给出不等式:


    ①eq \f(a2+b2,2)≥ab;②eq \f(a2+b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))eq \s\up12(2);③eq \f(a+b,2)≥eq \f(ab,a+b);④eq \f(a,b)+eq \f(b,a)≥2.


    其中恒成立的不等式的个数是 .


    2 [由重要不等式a2+b2≥2ab可知①正确;


    对于②,eq \f(a2+b2,2)=eq \f(2a2+b2,4)


    =eq \f(a2+b2+a2+b2,4)≥eq \f(a2+b2+2ab,4)


    =eq \f(a+b2,4)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))eq \s\up12(2),故②正确;


    对于③,当a=b=-1时,不等式的左边为eq \f(a+b,2)=-1,右边为eq \f(ab,a+b)=-eq \f(1,2),可知③不正确;令a=1,b=-1可知④不正确.]


    5.已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>eq \r(ab)+eq \r(bc)+eq \r(ca).


    [证明] ∵a>0,b>0,c>0,


    ∴eq \f(a+b,2)≥eq \r(ab),eq \f(b+c,2)≥eq \r(bc),eq \f(c+a,2)≥eq \r(ca),


    ∴eq \f(a+b,2)+eq \f(b+c,2)+eq \f(c+a,2)≥eq \r(ab)+eq \r(bc)+eq \r(ca),


    即a+b+c≥eq \r(ab)+eq \r(bc)+eq \r(ca).


    由于a,b,c不全相等,


    ∴等号不成立,


    ∴a+b+c>eq \r(ab)+eq \r(bc)+eq \r(ca).


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