高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算优秀同步达标检测题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算优秀同步达标检测题，共8页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于( )


A．1 B．eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．－1


A [由向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，得a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1，所以x＝1.]


2.已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量eq \(CD,\s\up8(→))在eq \(BA,\s\up8(→))方向上投影的数量是( )


A．－3eq \r(5) B．－eq \f(3\r(2),2)


C．3eq \r(5) D．eq \f(3\r(2),2)


A [依题意得，eq \(BA,\s\up8(→))＝(－2，－1)，


eq \(CD,\s\up8(→))＝(5,5)，eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(CD,\s\up8(→))＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，


|eq \(BA,\s\up8(→))|＝eq \r(5)，因此向量eq \(CD,\s\up8(→))在eq \(BA,\s\up8(→))方向上投影的数量是eq \f(\(BA,\s\up8(→))·\(CD,\s\up8(→)),|\(BA,\s\up8(→))|)＝eq \f(－15,\r(5))＝－3eq \r(5)，选A．]


3.设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a·b等于( )


A．－eq \f(7,2)B．－eq \f(1,2)


C．eq \f(3,2) D．eq \f(5,2)


D [由向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)


得a＋2b＝(－1＋2m,4)，


2a－b＝(－2－m,3)，由题意得


3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－eq \f(1,2)，


所以a·b＝－1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2×1＝eq \f(5,2).]


4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )


A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9)，\f(7,3)))B．(－eq \f(7,3)，－eq \f(7,9))


C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，\f(7,9))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))


D [设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，


又(c＋a)∥b，∴ 2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①


又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②


联立①②解得x＝－eq \f(7,9)，y＝－eq \f(7,3).


所以c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,9)，－\f(7,3))).]


5．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于( )


A．eq \r(5) B．eq \r(10)


C．2eq \r(5) D．10


B [∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，


由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴ x＝2.


由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴ y＝－2.


∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)．


∴a＋b＝(3，－1)，


∴|a＋b|＝eq \r(32＋－12)＝eq \r(10).]


6．已知向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，则下列说法正确的是( )


A．a与b的夹角是直角


B．a与b的夹角是锐角


C．a＋b与a－b的夹角是钝角


D．a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量


D [由向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，得


a·b＝－24<0，所以a与b的夹角是钝角．


(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a＋b与a－b的夹角是直角．


a在b上投影的数量为|a|cs 〈a，b〉＝eq \f(a·b,|b|)＝－eq \f(24,5)，b在a上投影的数量为|b|cs 〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|)＝－eq \f(24,5).故选D．]


二、填空题


7．已知向量a＝(1，－eq \r(3))，b＝(－eq \r(3)，1)，则a与b夹角的大小为____．


eq \f(5π,6) [∵ 向量a＝(1，－eq \r(3))，b＝(－eq \r(3)，1)，


∴a与b夹角θ满足


cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝－eq \f(2\r(,3),2×2)＝－eq \f(\r(,3),2)，


又∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(5π,6).]


8．已知向量a＝( 1, 2)，b＝( x, 4)，且a∥b，则 |a－b|＝________.


eq \r(5) [由题意，向量a∥b，则4－2x＝0，解得x＝2，所以b＝(2,4)，


则a－b＝(－1，－2)，所以|a－b|＝eq \r(－12＋－22)＝eq \r(5).]


9．已知矩形ABCD的中心为O，AD＝2，若eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(DB,\s\up8(→))＝8，则∠BAC＝__________， 向量eq \(AD,\s\up8(→))与eq \(CO,\s\up8(→))的夹角为________．


eq \f(π,6) eq \f(2π,3) [因为矩形ABCD的中心为O，AD＝2，得eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(DA,\s\up8(→))＝0，由eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(DB,\s\up8(→))＝8，得(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→)))·(eq \(DA,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→)))＝8，所以eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(DA,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))2－eq \(AD,\s\up8(→))2＋eq \(AD,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))2－4＝8，


即eq \(AB,\s\up8(→))2＝12，|eq \(AB,\s\up8(→))|＝2eq \r(3).


如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，


则A(－eq \r(3)，－1)，B(eq \r(3)，－1)，C(eq \r(3)，1) ，D(－eq \r(3)，1)，


得eq \(AB,\s\up8(→))＝(2eq \r(3)，0) ，eq \(AC,\s\up8(→))＝(2eq \r(3)，2) ，


eq \(OA,\s\up8(→))＝(－eq \r(3)，－1) ， eq \(OB,\s\up8(→))＝(eq \r(3)，－1) , eq \(AD,\s\up8(→))＝(0,2)，


eq \(CO,\s\up8(→))＝(－eq \r(3)，－1)，得eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝12，


|eq \(AB,\s\up8(→))|＝2eq \r(3)，|eq \(AC,\s\up8(→))|＝4 ，


所以cs ∠BAC＝eq \f(\(AB,\s\up8(→))·\(AC,\s\up8(→)), |\(AB,\s\up8(→))||\(AC,\s\up8(→))|)＝eq \f(12,2\r(3)×4)＝eq \f(\r(3),2)，


且0<∠BAC<π，所以∠BAC＝eq \f(π,6).


cs 〈eq \(AD,\s\up8(→))， eq \(CO,\s\up8(→))〉＝eq \f(\(AD,\s\up8(→))·\(CO,\s\up8(→)),|\(AD,\s\up8(→))||\(CO,\s\up8(→))|)＝eq \f(－2,2×2)＝－eq \f(1,2)，


且0≤〈eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(CO,\s\up8(→))〉≤π，所以∠AOB＝eq \f(2π,3).


]


三、解答题


10．已知平面上三点A，B，C，满足eq \(AC,\s\up8(→))＝(2,4)，eq \(BC,\s\up8(→))＝(2－k,3)．


(1)如果A，B，C三点不能构成三角形，求实数k满足的条件；


(2)如果A，B，C三点构成直角三角形，求实数k的值．


[解](1)因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即eq \(AC,\s\up8(→))∥eq \(BC,\s\up8(→))，得4(2－k)＝6，解得k＝eq \f(1,2).


(2)因为eq \(BC,\s\up8(→))＝(2－k,3)，所以eq \(CB,\s\up8(→))＝(k－2，－3)，所以 eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→))＝( k,1)．


由于A，B，C三点构成直角三角形，所以


当A是直角时，eq \(AB,\s\up8(→))⊥eq \(AC,\s\up8(→))，所以 eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝0，得2k＋4＝0，解得 k＝－2；


当B是直角时，eq \(AB,\s\up8(→))⊥eq \(BC,\s\up8(→))，所以 eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝0，得 k2－2k－3＝0，解得 k＝3或 k＝－1；


当C是直角时，eq \(AC,\s\up8(→))⊥eq \(BC,\s\up8(→))，所以 eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝0,16－2k＝0，解得 k＝8.


综上所述，实数k的值为－2，－1,3,8.


[等级过关练]


1.角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则eq \(OP,\s\up8(→))与eq \(OQ,\s\up8(→))夹角的余弦值为( )


A．－eq \f(\r(5),5) B．eq \f(11\r(5),25)


C．eq \f(\r(5),5)或－eq \f(\r(5),5) D．eq \f(11\r(5),25)或eq \f(11\r(5),5)


C [∵tan α＝－2，∴可设P(x，－2x)，cs 〈eq \(OP,\s\up8(→))，eq \(OQ,\s\up8(→))〉＝eq \f(\(OP,\s\up8(→))·\(OQ,\s\up8(→)),|\(OP,\s\up8(→))|·|\(OQ,\s\up8(→))|)＝eq \f(5x,5\r(5)|x|)，


当x＞0时，cs 〈eq \(OP,\s\up8(→))，eq \(OQ,\s\up8(→))〉＝eq \f(\r(5),5)，当x＜0时，cs 〈eq \(OP,\s\up8(→))，eq \(OQ,\s\up8(→))〉＝－eq \f(\r(5),5).故选C．]


2.已知eq \(AB,\s\up8(→))⊥eq \(AC,\s\up8(→))，|eq \(AB,\s\up8(→))|＝eq \f(1,t)，|eq \(AC,\s\up8(→))|＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且eq \(AP,\s\up8(→))＝eq \f(\(AB,\s\up8(→)),|\(AB,\s\up8(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up8(→)),|\(AC,\s\up8(→))|)，则eq \(PB,\s\up8(→))·eq \(PC,\s\up8(→))的最大值等于( )


A．13 B．15


C．19 D．21


A [如图，以点A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．


则A(0,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，C(0，t)，


所以eq \f(\(AB,\s\up8(→)),|\(AB,\s\up8(→))|)＝(1,0)，eq \f(\(AC,\s\up8(→)),|\(AC,\s\up8(→))|)＝(0,1)，所以eq \(AP,\s\up8(→))＝eq \f(\(AB,\s\up8(→)),|\(AB,\s\up8(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up8(→)),|\(AC,\s\up8(→))|)＝(1,0)＋4(0,1)＝(1,4)，所以点P的坐标为(1,4)，eq \(PB,\s\up8(→))＝(eq \f(1,t)－1，－4)，eq \(PC,\s\up8(→))＝(－1，t－4)，


所以eq \(PB,\s\up8(→))·eq \(PC,\s\up8(→))＝1－eq \f(1,t)－4t＋16＝17－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)＋4t))≤－4＋17＝13.(当且仅当eq \f(1,t)＝4t，即t＝eq \f(1,2)时取等号)，所以eq \(PB,\s\up8(→))·eq \(PC,\s\up8(→))的最大值为13.]





3.(2019·顺德高一检测)已知平面向量a，b的夹角为60°，a＝(2,0)，|a＋2b|＝2eq \r(3)，则|b|＝________.


1 [因为a＝(2,0)，所以|a|＝2，把|a＋2b|＝2eq \r(3)两边平方可得a2＋4a·b＋4b2＝12，


即|a|2＋4|a|·|b|cs 〈a，b〉＋4|b|2＝12，代入数据可得22＋4×2|b|×eq \f(1,2)＋4|b|2＝12，


整理可得|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1.]


4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＝4，eq \(BF,\s\up8(→))·eq \(CF,\s\up8(→))＝－1，则eq \(BE,\s\up8(→))·eq \(CE,\s\up8(→))的值是________．





eq \f(7,8) [法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)b，\f(2,3)c))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)b，\f(1,3)c))，


eq \(BA,\s\up8(→))＝(b＋a，c)，eq \(CA,\s\up8(→))＝(b－a，c)，


eq \(BF,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,3)＋a，\f(c,3)))，eq \(CF,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,3)－a，\f(c,3)))，


eq \(BE,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2b,3)＋a，\f(2c,3)))，eq \(CE,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2b,3)－a，\f(2c,3)))，


由eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＝b2－a2＋c2＝4，


eq \(BF,\s\up8(→))·eq \(CF,\s\up8(→))＝eq \f(b2,9)－a2＋eq \f(c2,9)＝－1，


解得b2＋c2＝eq \f(45,8)，a2＝eq \f(13,8)，


则eq \(BE,\s\up8(→))·eq \(CE,\s\up8(→))＝eq \f(4,9)(b2＋c2)－a2＝eq \f(7,8).


法二：设eq \(BD,\s\up8(→))＝a，eq \(DF,\s\up8(→))＝b，则


eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，


eq \(BF,\s\up8(→))·eq \(CF,\s\up8(→))＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，


解得|a|2＝eq \f(13,8)，|b|2＝eq \f(5,8)，


则eq \(BE,\s\up8(→))·eq \(CE,\s\up8(→))＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝eq \f(7,8).]


5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb，λ∈R.


(1)求λ为何值时， |c|最小？此时b与c的位置关系如何？


(2)求λ为何值时， a与c的夹角最小？ 此时a与c的位置关系如何？


[解](1)由a＝(1,2)，b＝(－3,4)，得


c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)，


|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2


＝25eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(1,5)))eq \s\up12(2)＋4，


当λ＝－eq \f(1,5)时，|c|最小，此时c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(6,5)))，


b·c＝0，所以b⊥c.


(2)设向量a与c的夹角为θ，则


cs θ＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(,x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(,x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))＝eq \f(5＋5λ,\r(,5)\r(,5＋10λ＋25λ2))＝eq \f(1＋λ,\r(,1＋2λ＋5λ2))，


要使向量a与c的夹角最小，则cs θ最大，


由于θ∈[0, π]，所以cs θ的最大值为1，此时θ＝0，eq \f(1＋λ,\r(,1＋2λ＋5λ2))＝1，解得λ＝0，c＝(1,2)．


所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c.