必修 第三册第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.2 正弦型函数的性质与图像优秀练习

这是一份必修 第三册第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.2 正弦型函数的性质与图像优秀练习，共7页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图像的一条对称轴方程是( )


A．x＝0 B．x＝eq \f(2π,3)


C．x＝－eq \f(π,6) D．x＝eq \f(π,3)


B [令sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝±1，得2x＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即x＝eq \f(k,2)π＋eq \f(π,6)(k∈Z)，取k＝1时，x＝eq \f(2π,3).]


2.已知简谐运动f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|＜\f(π,2)))的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )


A．T＝6，φ＝eq \f(π,6) B．T＝6，φ＝eq \f(π,3)


C．T＝6π，φ＝eq \f(π,6)D．T＝6π，φ＝eq \f(π,3)


A [将(0,1)点代入f(x)可得sin φ＝eq \f(1,2).∵|φ|

∴φ＝eq \f(π,6) ，T＝eq \f(2π,\f(π,3))＝6.]


3.下列四个函数中同时具有(1)最小正周期是π；(2)图像关于x＝eq \f(π,3) 对称的是( )


A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))


D [∵T＝π，∴排除A；又因为图像关于x＝eq \f(π,3) 对称．


∴当x＝eq \f(π,3) 时，y取得最大值(最小值)．代入B、C、D三项验证知D正确．]


4．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cs ωx的图像，只需将y＝f(x)的图像( )


A．向左平移eq \f(π,8)个单位长度


B．向右平移eq \f(π,8)个单位长度


C．向左平移eq \f(π,4)个单位长度


D．向右平移eq \f(π,4)个单位长度


A [由T＝π＝eq \f(2π,ω) 得：ω＝2，g(x)＝cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))，


f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图像向左平移eq \f(π,8)单位，得到y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝g(x)的图像．]


5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图像如图所示，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))等于( )





A．eq \f(1,2) B．0


C．2 D．－2


B [法一：由图可知，eq \f(3,2)T＝eq \f(5π,4)－eq \f(π,4)＝π，即T＝eq \f(2π,3)，


∴ω＝eq \f(2π,T)＝3.


∴y＝2sin(3x＋φ)，





将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))代入上式得，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＝0，


∴eq \f(3π,4)＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－eq \f(3π,4).


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)×3＋kπ－\f(3π,4)))＝0.


法二：由图可知， eq \f(3,2)T＝eq \f(5π,4)－eq \f(π,4)＝π，即T＝eq \f(2π,3).又由正弦图像性质可知，若f(x0)＝0，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(T,2)))＝0.


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝0.]


6．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )





A．2，－eq \f(π,3) B．2，－eq \f(π,6)


C．4，－eq \f(π,6) D．4，eq \f(π,3)


A [eq \f(3,4)T＝eq \f(5π,12)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))，T＝π，∴ω＝2，∴2×eq \f(5π,12)＋φ＝eq \f(π,2)，∴φ＝－eq \f(π,3)，故选A．]


二、填空题


7．先作函数y＝sin x的图像关于y轴的对称图像，再将所得图像向左平移eq \f(π,4) 个单位，所得图像的函数解析式是________．


y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－\f(π,4))) [作函数y＝sin x的图像关于y轴的对称图像，其函数解析式为y＝sin(－x)，再将函数y＝sin(－x)的图像向左平移eq \f(π,4) 个单位，得到函数图像的函数解析式为：y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－\f(π,4))).]


8．先将y＝sin x的图像向右平移eq \f(π,5) 个单位，再变化各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为 eq \f(2π,3) 的函数y＝sin(ωx＋φ)(其中ω>0)的图像，则ω＝________，φ＝________.


3 －eq \f(π,5) [由已知得到函数解析式为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－eq \f(π,5)))且eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,3) ，∴ω＝3，φ＝－eq \f(π,5).]


9．关于f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)，有下列命题：


①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；


②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))；


③y＝f(x)图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))对称；


④y＝f(x)图像关于直线x＝－eq \f(π,6) 对称．


其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的都填上)


②③ [对于①，由f(x)＝0，可得2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)．


∴x＝eq \f(k,2) π－eq \f(π,6)(k∈Z)，∴x1－x2是eq \f(π,2) 的整数倍，


∴①错误；


对于②，由f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))可得


f(x)＝4cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))))＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).


∴②正确；


对于③，f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的对称中心满足2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，∴x＝eq \f(k,2) π－eq \f(π,6)(k∈Z)，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③正确；


对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，∴x＝eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)．∴④错误．]


三、解答题


10．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\r(,2)))，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，0))，若φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).


(1)试求这条曲线的函数表达式；


(2)用“ 五点法” 画出(1)中函数在[0，π]上的图像．


[解](1)依题意，A＝eq \r(2) ，T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)－\f(π,8)))＝π.


∵ T＝eq \f(2π,|ω|)＝π，ω>0，∴ ω＝2，∴ y＝eq \r(2)sin(2x＋φ)，


又曲线上的最高点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\r(,2)))，


∴ sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,8)＋φ))＝1.


∵－eq \f(π,2)<φ

∴ y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).


(2)列出x、y的对应值表：


作图如下：





[等级过关练]


1.已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )


A．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称 B．关于直线x＝eq \f(π,4) 对称


C．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))对称 D．关于直线x＝eq \f(π,3) 对称


A [∵f(x)图像周期为π，∴ω＝2.


∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，


∴f(x)图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,6)，0))(k∈Z)对称，关于x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)对称．]


2.已知函数y＝sin(ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图像如图，则( )





A．ω＝1，φ＝eq \f(π,6)B．ω＝1，φ＝－eq \f(π,6)


C．ω＝2，φ＝eq \f(π,6) D．ω＝2，φ＝－eq \f(π,6)


D [由图像知eq \f(T,4)＝eq \f(7π,12)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,4) ，∴T＝π，ω＝2.


且2×eq \f(7π,12)＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－eq \f(π,6)(k∈Z)．


又|φ|

3.已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在一个周期内，当x＝eq \f(π,12) 时，有最大值2，当x＝eq \f(7π,12)时，有最小值－2，则ω＝________.


2 [由题意知T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π.∴ω＝eq \f(2π,T)＝2.]


4．设sin x＋sin y＝eq \f(1,3) ，则M＝sin x－cs2y的最大值为________，最小值为________．


eq \f(4,9) －eq \f(11,12) [由题意，得sin x＝eq \f(1,3)－sin y.


由sin x∈[－1,1]，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤\f(1,3)－sin y≤1,－1≤sin y≤1.))


解得－eq \f(2,3)≤sin y≤1.


∴M＝eq \f(1,3)－sin y－cs2y＝sin2y－sin y－eq \f(2,3)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(siny－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(11,12) ，


则当sin y＝eq \f(1,2) 时，M最小值为－eq \f(11,12)；


当sin y＝－eq \f(2,3) 时，M最大值为eq \f(4,9).]


5．已知f(x)＝－2asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋2a＋b，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)的值域为{y|－3≤y≤eq \r(3)－1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．


[解] ∵eq \f(π,4)≤x≤eq \f(3π,4) ，∴eq \f(2π,3)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(5π,3) ，


∴－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))≤eq \f(\r(3),2).


假设存在这样的有理数a，b，则


当a>0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\r(3)a＋2a＋b＝－3,2a＋2a＋b＝\r(3)－1))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\r(3)－5))(不合题意，舍去)；


当a<0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋2a＋b＝－3，,－\r(3)a＋2a＋b＝\r(3)－1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1.))


故a，b存在，且a＝－1，b＝1.


x
0
eq \f(π,8)
eq \f(3,8) π
eq \f(5,8) π
eq \f(7,8) π
π
2x＋eq \f(π,4)
eq \f(π,4)
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2) π
2π
eq \f(9π,4)
y
1
eq \r(2)
0
－eq \r(2)
0
1