高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.3 余弦函数的性质与图修精品课时作业

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.3 余弦函数的性质与图修精品课时作业，共5页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.函数y＝－cs x的图像与余弦函数图像( )


A．关于x轴对称 B．关于原点对称


C．关于原点和x轴对称D．关于原点和坐标轴对称


C [由y＝－cs x的图像知关于原点和x轴对称．]


2.设函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))，x∈R，则f(x)是( )


A．最小正周期为π的奇函数


B．最小正周期为π的偶函数


C．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数


D．最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数


B [∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝－cs 2x，


∴f(x)＝－cs 2x.


又f(－x)＝－cs(－2x)＝－cs 2x＝f(x)，


∴f(x)的最小正周期为π的偶函数．]


3.下列函数中，周期为π，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上为减函数的是( )


A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))) B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))


A [因为函数的周期为π，所以排除C、D．又因为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝－sin 2x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上为增函数，故B不符．只有函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))的周期为π，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上为减函数．]


4．在(0,2π)内使sin x>|cs x|的x的取值范围是( )


A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))


C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))


A [∵sin x>|cs x|，∴sin x>0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cs x|，x∈(0，π)的图像，观察图像易得x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))).]





5．若函数y＝2cs x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )


A．4 B．8


C．2π D．4π


D [作出函数y＝2cs x，x∈[0,2π]的图像，函数y＝2cs x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图像的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，又∵|OA|＝2，|OC|＝2π，


∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.]





6．函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,4)x＋\f(π,3)))(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )


A．10 B．11


C．12 D．13


D [∵T＝eq \f(2π,|\f(k,4)|)＝eq \f(8π,k)≤2，∴|k|≥4π，又k∈Z，∴正整数k的最小值为13.]


二、填空题


7．函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－ωx))的最小正周期为4π，则ω＝________.


±eq \f(1,2) [∵4π＝eq \f(2π,|－ω|) ，∴ω＝±eq \f(1,2).]


8．函数y＝cs x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．


(－π，0] [∵y＝cs x在[－π，0]上为增函数，


又在[－π，a]上递增，∴[－π，a]⊆[－π，0]，∴a≤0.


又∵a>－π，∴－π

9．方程x2＝cs x的实根的个数是________．


2 [在同一坐标系中，作出y＝x2和y＝cs x的图像如图，由图可知，有两个交点，也就是实根的个数为2.


]


三、解答题


10．如果函数y＝3cs(2x＋φ)的图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，0))中心对称，求|φ|的最小值．


[解] 由题意得3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(4π,3)＋φ))＝3cseq \f(2π,3)＋φ＋2π＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ))＝0，


∴eq \f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2) ，k∈Z，∴φ＝kπ－eq \f(π,6) ，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为eq \f(π,6).


[等级过关练]


1.函数y＝2sin2x＋2cs x－3的最大值是( )


A．－1 B．1


C．－eq \f(1,2) D．－5


C [由题意，得y＝2sin2x＋2cs x－3＝2(1－cs2x)＋2cs x－3＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2).∵－1≤cs x≤1，


∴当cs x＝eq \f(1,2)时，函数有最大值－eq \f(1,2).]


2.方程cs x＝lg x的实根的个数是( )


A．1 B．2


C．3 D．无数


C [如图所示，





作出函数y＝cs x和y＝lg x的图像．两曲线有3个交点，故方程有3个实根．]


3.函数y＝eq \r(2cs x＋1) 的定义域是________．


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z [2cs x＋1≥0，


cs x≥－eq \f(1,2) ，


结合图像知x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z.]


4．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为eq \f(3π,2) ，且满足f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x，－\f(π,2)≤x＜0，,sin x，0≤x＜π，)) 则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝________.


eq \f(\r(2),2) [∵T＝eq \f(3π,2) ，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)＋\f(3π,2)×3))


＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝sineq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2).]


5．已知函数y＝5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k＋1,3)πx－\f(π,6)))(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值eq \f(5,4)出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值．


[解] 由5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k＋1,3)πx－\f(π,6)))＝eq \f(5,4) ，


得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k＋1,3)πx－\f(π,6)))＝eq \f(1,4).


∵函数y＝cs x在每个周期内出现函数值为eq \f(1,4) 有两次，而区间[a，a＋3]长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值eq \f(1,4) 不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．


即2×eq \f(2π,\f(2k＋1,3)π)≤3，且4×eq \f(2π,\f(2k＋1,3)π)≥3.


∴eq \f(3,2)≤k≤eq \f(7,2).又k∈N，故k＝2,3.