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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 必要条件与充分条件优秀ppt课件
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 必要条件与充分条件优秀ppt课件，共36页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，任何一个，A⊆B或B⊇A，A⊆C，集合相等，答案0，真子集，A⊆B，A≠B等内容，欢迎下载使用。
同学们,你现在所在的班级是一个由若干名同学组成的集合,我们不妨记为S,如果把班内所有男生组成的集合记为A,把班内所有女生组成的集合记为B,集合A,B与集合S有怎样的关系?集合A中的元素一定是集合S中的元素吗?反过来呢?
一、子集1.Venn图为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.名师点析1.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.2.用Venn图表示集合的优点是直观地表示集合之间的关系;缺点是集合元素的公共特征不明显.
微思考在子集的定义中,能否认为“集合A是由集合B中的部分元素组成的集合”?
提示:不能.若A⊆B,则A有以下三种情况:①A=⌀;②A=B;③A是由B中的部分元素组成的集合.
微练习(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则( )A.P∈QB.P⊆QC.Q⊆PD.Q∈P(2)已知集合A={-1,3,2m-1},B={3,m2},若B⊆A,则实数m= .
解析:由B⊆A,知m2∈A,且m2≠3,又m2≠-1,所以m2=2m-1,解得m=1,经验证符合集合元素的互异性.
答案: (1) C (2)1
名师点析1.因为A⊆B,所以集合A的元素都是集合B的元素;又因为B⊆A,所以集合B的元素也都是集合A的元素,也就是说,集合A与B相等,则集合A与B的元素是完全相同的.2.证明或判断两个集合相等,只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可.
微练习已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,则m的值为 .
解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.
名师点析1.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:①A⊆B;②存在元素x,满足x∈B且x∉A.2.如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之则不成立.3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集个数比它的子集个数少1.
微练习若集合P={x|x<1},集合Q={x|x<0},则集合P与集合Q的关系是( )A.P⫋QB.Q⫋PC.P=QD.不确定
答案:B 解析:x<0⇒x<1,反之不成立.所以Q⫋P.
写出给定集合的子集例1(1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题:
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?
分析(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有1个、2个、3个、4个元素这五种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.
解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{a},{b},{c},{d};含有两个元素的子集为{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};含有三个元素的子集为{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},{a,c,d}.含有四个元素的子集为{a,b,c,d}.其中除去集合{a,b,c,d},剩下的都是{a,b,c,d}的真子集.
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n.
反思感悟 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-1个非空子集,有2n-2个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.
变式训练1若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为( )A.2B.3C.4D.5
答案:B 解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.
集合之间关系的判断例2已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是( )A.A⫋BB.A=BC.B⫋AD.A⊆B反思感悟 判断两个集合之间的关系,一般是依据子集等相关定义分析.对于两个连续数集,则可将集合用数轴表示出来,数形结合判断,需注意端点值的取舍.
答案:A 解析:由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A⫋B.
延伸探究例2中将集合B改为{x|x+3>4},则集合A与B是什么关系?
答案:集合A与B之间不具有包含关系.
反思感悟 将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间的关系,最后得到集合之间的关系.
A.A=B⊆CB.A⊆B=CC.A⊆B⊆CD.B⊆C⊆A
∵a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数;b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数;c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数;所以A⊆B=C.
集合相等关系的应用例4已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.分析根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.
反思感悟 集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.
由集合间的关系求参数的范围例5已知集合A={x|-5
反思感悟 由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项(1)解此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.(2)涉及“A⊆B”或“A⫋B,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起重视.
延伸探究(1)例5(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3
分类讨论思想与数形结合思想在解决集合含参问题中的应用对于两个集合A与B,已知A或B中含有待确定的参数,若A⊆B或A=B,则集合B与集合A具有“包含关系”,解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法.(1)分类讨论是指:①A⊆B在未指明集合A非空时,应分A=⌀和A≠⌀两种情况来讨论;②因为集合中的元素是无序的,由A⊆B或A=B得到两集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论.(2)数形结合是指对A≠⌀这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上画出来,分清实心点与空心点,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)确定参数.
特别提醒 此类问题易错点有三个:(1)忽略A=⌀的情况,没有分类讨论;(2)在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心点;(3)没有弄清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.(3)解决集合中含参问题时,最后结果要注意验证.验证是指:①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足集合元素的互异性;②所求参数能否取到端点值需要单独验证.
典例已知集合A={x|1
答案:D 解析:(方法一)集合{x,y}的子集有⌀,{x},{y},{x,y},共有4个.(方法二)集合内有2个元素,子集个数为22=4.
2.下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )
答案:B 解析:由N={-1,0},知N⫋M,故选B.
3.已知集合C={x|x是奇数},D={x|x是整数},则C D.(填“⫋”“⫌”或“=”)4.已知集合A={x,2},集合B={3,y}.若A=B,则x= ,y= .
解析:一个数如果是奇数,它一定是整数;反过来,整数未必是奇数.所以C⫋D.
解析:∵A=B,∴A,B中元素相同.∴x=3,y=2.
同学们,你现在所在的班级是一个由若干名同学组成的集合,我们不妨记为S,如果把班内所有男生组成的集合记为A,把班内所有女生组成的集合记为B,集合A,B与集合S有怎样的关系?集合A中的元素一定是集合S中的元素吗?反过来呢?
一、子集1.Venn图为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.名师点析1.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.2.用Venn图表示集合的优点是直观地表示集合之间的关系;缺点是集合元素的公共特征不明显.
微思考在子集的定义中,能否认为“集合A是由集合B中的部分元素组成的集合”?
提示:不能.若A⊆B,则A有以下三种情况:①A=⌀;②A=B;③A是由B中的部分元素组成的集合.
微练习(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则( )A.P∈QB.P⊆QC.Q⊆PD.Q∈P(2)已知集合A={-1,3,2m-1},B={3,m2},若B⊆A,则实数m= .
解析:由B⊆A,知m2∈A,且m2≠3,又m2≠-1,所以m2=2m-1,解得m=1,经验证符合集合元素的互异性.
答案: (1) C (2)1
名师点析1.因为A⊆B,所以集合A的元素都是集合B的元素;又因为B⊆A,所以集合B的元素也都是集合A的元素,也就是说,集合A与B相等,则集合A与B的元素是完全相同的.2.证明或判断两个集合相等,只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可.
微练习已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,则m的值为 .
解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.
名师点析1.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:①A⊆B;②存在元素x,满足x∈B且x∉A.2.如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之则不成立.3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集个数比它的子集个数少1.
微练习若集合P={x|x<1},集合Q={x|x<0},则集合P与集合Q的关系是( )A.P⫋QB.Q⫋PC.P=QD.不确定
答案:B 解析:x<0⇒x<1,反之不成立.所以Q⫋P.
写出给定集合的子集例1(1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题:
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?
分析(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有1个、2个、3个、4个元素这五种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.
解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{a},{b},{c},{d};含有两个元素的子集为{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};含有三个元素的子集为{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},{a,c,d}.含有四个元素的子集为{a,b,c,d}.其中除去集合{a,b,c,d},剩下的都是{a,b,c,d}的真子集.
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n.
反思感悟 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-1个非空子集,有2n-2个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.
变式训练1若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为( )A.2B.3C.4D.5
答案:B 解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.
集合之间关系的判断例2已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是( )A.A⫋BB.A=BC.B⫋AD.A⊆B反思感悟 判断两个集合之间的关系,一般是依据子集等相关定义分析.对于两个连续数集,则可将集合用数轴表示出来,数形结合判断,需注意端点值的取舍.
答案:A 解析:由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A⫋B.
延伸探究例2中将集合B改为{x|x+3>4},则集合A与B是什么关系?
答案:集合A与B之间不具有包含关系.
反思感悟 将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间的关系,最后得到集合之间的关系.
A.A=B⊆CB.A⊆B=CC.A⊆B⊆CD.B⊆C⊆A
∵a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数;b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数;c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数;所以A⊆B=C.
集合相等关系的应用例4已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.分析根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.
反思感悟 集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.
由集合间的关系求参数的范围例5已知集合A={x|-5
反思感悟 由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项(1)解此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.(2)涉及“A⊆B”或“A⫋B,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起重视.
延伸探究(1)例5(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3
分类讨论思想与数形结合思想在解决集合含参问题中的应用对于两个集合A与B,已知A或B中含有待确定的参数,若A⊆B或A=B,则集合B与集合A具有“包含关系”,解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法.(1)分类讨论是指:①A⊆B在未指明集合A非空时,应分A=⌀和A≠⌀两种情况来讨论;②因为集合中的元素是无序的,由A⊆B或A=B得到两集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论.(2)数形结合是指对A≠⌀这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上画出来,分清实心点与空心点,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)确定参数.
特别提醒 此类问题易错点有三个:(1)忽略A=⌀的情况,没有分类讨论;(2)在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心点;(3)没有弄清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.(3)解决集合中含参问题时,最后结果要注意验证.验证是指:①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足集合元素的互异性;②所求参数能否取到端点值需要单独验证.
典例已知集合A={x|1
答案:D 解析:(方法一)集合{x,y}的子集有⌀,{x},{y},{x,y},共有4个.(方法二)集合内有2个元素,子集个数为22=4.
2.下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )
答案:B 解析:由N={-1,0},知N⫋M,故选B.
3.已知集合C={x|x是奇数},D={x|x是整数},则C D.(填“⫋”“⫌”或“=”)4.已知集合A={x,2},集合B={3,y}.若A=B,则x= ,y= .
解析:一个数如果是奇数,它一定是整数;反过来,整数未必是奇数.所以C⫋D.
解析:∵A=B,∴A,B中元素相同.∴x=3,y=2.
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