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人教版九年级上册数学全册教案24.1.2 垂直于弦的直径

教案
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课题

24.1.2 垂直于弦的直径

课 型

新授课

课 时

1

教学

目标

理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题.

通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理,并辅以逻辑证明加予理解.

教 学

重 点

难 点

重点 垂径定理及其运用.

难点 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.

教 学

准 备

多媒体

 

 

 

一、复习引入

在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.

以点O为圆心的圆,记作“⊙O,读作圆O

连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段AC,AB;

经过圆心的弦叫做直径,如图线段AB;

圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,以A,C为端点的弧记作,读作圆弧AC弧AC.大于半圆的弧(如图所示)叫做优弧,小于半圆的弧(如图所示)叫做劣弧.

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.

圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.

二、探索新知

(学生活动)请同学按要求完成下题:

如图,AB是O的一条弦,作直径CD,使CDAB,垂足为M.

(1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?

(2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你理由.

(老师点评)(1)是轴对称图形,其对称轴是CD.

(2)AM=BM,,即直径CD平分弦AB,并且平分.

这样,我们就得到下面的定理:

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

下面我们用逻辑思维给它证明一下:

已知:直径CD、弦AB,且CDAB垂足为M.

求证:AM=BM,.

分析:要证AM=BM,只要证AM,BM构成的两个三角形全等.因此,只要连接OA,OB或AC,BC即可.

证明:如图,连接OA,OB,则OA=OB,

RtOAM和RtOBM中,

RtOAMRtOBM,

AM=BM,

点A和点B关于CD对称,

∵⊙O关于直径CD对称,

当圆沿着直线CD对折时,点A与点B重合,重合,重合.

.

进一步,我们还可以得到结论:

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

(本题的证明作为课后练习)

例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位下水面宽AB=60 m,水面到拱顶距离CD=18 m,当洪水泛滥时,水面宽MN=32 m时是否需要采取紧急措施?请说明理由.

分析:要求当洪水到来时,水面宽MN=32 m是否需要采取紧急措施,只要求出DE的长,因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R.

解:不需要采取紧急措施,

设OA=R,在RtAOC中,AC=30,CD=18,

R2=302+(R-18)2

R2=900+R2-36R+324,

解得R=34(m),

连接OM,设DE=x,在RtMOE中,ME=16,

342=162+(34-x)2

162+342-68x+x2=342,x2-68x+256=0,

解得x1=4,x2=64(不合题意,舍去),

DE=4,

不需采取紧急措施.

作 业

 

布 置

1.垂径定理推论的证明.

2.教材第89,90页 习题第8,9,10题.

课堂总结

垂径定理及其推论以及它们的应用.

 

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