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人教版九年级上册数学全册教案21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

教案
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人教版九年级上册数学全册教案21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系01
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课题

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

课 型

新授课

课 时

1

教学

目标

1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用.

2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.

3.渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律.

4.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.

教 学

重 点

难 点

重点 根与系数的关系及其推导

难点 正确理解根与系数的关系.一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系.

教 学

准 备

多媒体

 

 

 

一、复习引入

1.已知方程x2-ax-3a=0的一个根是6,则求a及另一个根的值.

2.由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系.其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系,这种关系比较复杂,是否有更简洁的关系?

3.由求根公式可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1,x2.观察两式右边,分母相同,分子是-b+与-b-.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系?

二、探索新知

解下列方程,并填写表格:

 

方程

x1

x2

x1+x2

x1·x2

x2-2x=0

 

 

 

 

x2+3x-4=0

 

 

 

 

x2-5x+6=0

 

 

 

 

  观察上面的表格,你能得到什么结论?

(1)关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q0)的两根x1,x2与系数p,q之间有什么关系?

(2)关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)的两根x1,x2与系数a,b,c之间又有何关系呢?你能证明你的猜想吗?

解下列方程,并填写表格:

 

方程

x1

x2

x1+x2

x1·x2

2x2-7x-4=0

 

 

 

 

3x2+2x-5=0

 

 

 

 

5x2-17x+6=0

 

 

 

 

  小结:根与系数关系:

(1)关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q0)的两根x1,x2与系数p,q的关系是:x1+x2=-p,x1·x2=q(注意:根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零.)

(2)形如ax2+bx+c=0(a0)的方程,可以先将二次项系数化为1,再利用上面的结论.

即:对于方程 ax2+bx+c=0(a0)

a0,x2x+=0

x1+x2=-,x1·x2

(可以利用求根公式给出证明)

例1 不解方程,写出下列方程的两根和与两根积:

(1)x2-3x-1=0   (2)2x2+3x-5=0

(3)x2-2x=0  (4)x2x=

(5)x2-1=0  (6)x2-2x+1=0

例2 不解方程,检验下列方程的解是否正确?

(1)x2-2x+1=0  (x1+1,x2-1)

(2)2x2-3x-8=0  (x1,x2)

例3 已知一元二次方程的两个根是-1和2,请你写出一个符合条件的方程.(你有几种方法?)

例4 已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k的值.

变式一:已知方程x2-2kx-9=0的两根互为相反数,求k;

变式二:已知方程2x2-5x+k=0的两根互为倒数,求k.

作 业

 

布 置

1.不解方程,写出下列方程的两根和与两根积.

(1)x2-5x-3=0 (2)9x+2=x2 (3)6x2-3x+2=0

(4)3x2+x+1=0

2.已知方程x2-3x+m=0的一个根为1,求另一根及m的值.

3.已知方程x2+bx+6=0的一个根为-2,求另一根及b的值

课堂总结

1.根与系数的关系.

2.根与系数关系使用的前提是:(1)是一元二次方程;(2)判别式大于等于零.

 

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