2021高考数学一轮复习统考第11章概率第1讲随机事件的概率课时作业含解析北师大版 练习

概率

课时作业

1．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是(　　)

A．恰好有1件次品和恰好有2件次品

B．至少有1件次品和全是次品

C．至少有1件正品和至少有1件次品

D．至少有1件次品和全是正品

答案　A

解析　依据互斥和对立事件的定义知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是对立事件；只有A是互斥事件但不是对立事件．

2．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为(　　)

A．0.64  B．0.36

C．0.16  D．0.84

答案　C

解析　设P(A)＝x，则P(B)＝3x，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，解得x＝0.16.故选C.

3．(2019·西安五校模拟)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，如果事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)

A．至多有一张移动卡  B．恰有一张移动卡

C．都不是移动卡  D．至少有一张移动卡

答案　A

解析　因为事件“2张全是移动卡”的概率是，1－＝，所以概率是的事件是事件“2张全是移动卡”的对立事件，也就是“2张不全是移动卡”即“至多有一张移动卡”．故选A.

4．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的情况有4种，得P＝.

5．(2019·湖南长沙模拟)同时掷3枚质地均匀的硬币，至少有1枚正面向上的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　由题意知本题是一个等可能事件的概率，同时掷3枚质地均匀的硬币，共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是3枚硬币都是背面向上，有1种结果，所以至少一枚正面向上的概率是1－＝.故选A.

6．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，则向量m与向量n不共线的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　若m与n共线，则2a－b＝0，而(a，b)的可能性情况有6×6＝36个．符合2a＝b的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三个．故共线的概率是＝，从而不共线的概率是1－＝.

7．(2020·云南大理质检)在2,0,1,9这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,9)，(1,2,9)，(0,1,9)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝.

8．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数有12,13,20,21,30,31，共6个，两位数为奇数的有13,21,31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率为＝.

9．(2019·银川模拟)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为(　　)

A.，   B.，

C.，   D.，

答案　C

解析　“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－－＝.设“甲不输”为事件A，则A可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝＋＝.故选C.

10．在运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　从5名火炬手中任选3人，共有C＝10种情况，编号相连的有(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)3种，故所求概率P＝.

11．(2020·西安五校联考)质监部门对2辆新能源汽车和3辆燃油汽车进行质量检测，现从中任选2辆，则选中的2辆都为燃油汽车的概率为(　　)

A．0.3  B．0.4

C．0.5  D．0.6

答案　A

解析　设这2辆新能源汽车分别为a，b,3辆燃油汽车分别为c，d，e，则从中任选2辆的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，其中选中的2辆都为燃油汽车的事件为(c，d)，(c，e)，(d，e)，共3种，所以所求概率P＝＝0.3，故选A.

12．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数a的取值范围为(　　)

A.  B.

C.   D.

答案　A

解析　由题意，知即

解得<a≤，所以实数a的取值范围为.故选A.

13．(2019·吉林模拟)从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．

答案　

解析　从0,1,2,3,4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，所以数字和恰好等于4的概率是P＝.

14．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为________．

答案　

解析　随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．满足两段绳长均不小于2米的为(2,4)，(3,3)，(4,2)，共3种情况．所以所求概率为.

15．已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3表示命中靶心，4,5,6,7,8,9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：

321 421 191 925 271 932 800 478 589 663

531 297 396 021 546 388 230 113 507 965

据此估计，小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为________．

答案　0.30

解析　由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421,191,271,932,800,531，共6组随机数，所以所求概率为＝0.30.

16．(2019·苏锡常镇调研)在不等式组所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的3个顶点的概率为________．

答案　

解析　不等式组表示的平面区域内的格点有(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5个，从中任取3个点，有C＝10种取法，其中共线的3点不能构成三角形，有(3,1)，(3,2)，(3,3)1种，即能够作为三角形3个顶点的情况有9种，故所求概率是.

17．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率是0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率是0.3，设各车主购买保险相互独立．

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率；

(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．

解　记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．

(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，

所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.

(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.

18．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？

解　从中任取一球，分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，D.由于A，B，C，D为互斥事件，根据已知得

解得

所以从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.

19．如图，从A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

解　(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0.44.

(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为

(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．

由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，

P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，

因为P(A1)>P(A2)，所以甲应选择L1.

同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，

P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，

因为P(B1)<P(B2)，所以乙应选择L2.

20．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

解　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；

若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100，

所以，Y的所有可能值为900,300，－100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.