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小升初奥数32个知识点

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升初奥数32个知识点

1.和差问题

和差问题和问题问题

已知条件几个数的和与差,几个数的和与倍数几个数的差与倍数

公式适用范围已知两个数的和,,倍数关系

公式(和-差)÷2=较小数           较小数+差=较大数    和-较小数=较大数

公式(和+差)÷2=较大数     较大数-差=较小数    和-较大数=较小数

÷(倍数+1)=小数     小数×倍数=大数    和-小数=大数   ÷(倍数-1)=小数

小数×倍数=大数    小数+差=大数   

关键问题:求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数

2.年龄问题的三个基本特征:

两个人的年龄差是不变的;

两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;

两个人的年龄的倍数是发生变化的;

3.归问题的基本特点:问题中有一个不变的量,一般是那个单一量,题目一般用照这样的速度”……等词语来表示.
关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量;

4.植树问题

基本类型:在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树封闭曲线上植树

基本公式棵数=段数+1

棵距×段数=总长棵数=段数-1

棵距×段数=总长棵数=段数

棵距×段数=总长

关键问题确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系

5.鸡兔同笼问题

基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;

基本思路:

假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):

假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;

每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;

再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差.

基本公式:

把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数÷(兔脚数-鸡脚数)

把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷兔脚数一鸡脚数)

关键问题:找出总量的差与单位量的差.

6.盈亏问题

基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.

基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.

基本题型:

一次有余数,另一次不足;

基本公式:总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差

当两次都有余数;

基本公式:总份数=(较大余数较小余数)÷两次每份数的差

当两次都不足;

基本公式:总份数=(较大不足数较小不足数)÷两次每份数的差

基本特点:对象总量和总的组数是不变的.

关键问题:确定对象总量和总的组数.

7.牛吃草问题

基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量.

基本特点:原草量和新草生长速度是不变的;

关键问题:确定两个不变的量.

基本公式:

生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);

总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;

8.周期循环与数表规律

周期现象:事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现.

周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期.

关键问题:确定循环周期.

年:一年有366天;

年份能被4整除;如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;

年:一年有365.

年份不能被4整除;如果年份能被100整除,但不能被400整除;

9.平均数

基本公式:平均数=总数量÷总份数   数量=平均数×总份数  总份数=总数量÷平均数

平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数

基本算法:

求出总数量以及总份数,利用基本公式进行计算.

基准数法:根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式.

10.抽屉原理

抽屉原则:如果把(n+1物体放在n抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体.

例:把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:

4=4+0+04=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1

观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体.

抽屉原则二:如果把n物体放在m抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有:

k=[n/m]+1个物体:当n不能被m整除时.

k=n/m物体:当n能被m整除时.

理解知识点:[X]表示不超过X的最大整数.

[4.351]=4[0.321]=0[2.9999]=2

关键问题:构造物体和抽屉.也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算.

12.数列求和

等差数列:在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列.

基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用a1表示;

项数:等差数列的所有数的个数,一般用n表示;

公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;

通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;

数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.

基本思路:等差数列中涉及五个量:a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个.

13.定义新运算

基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算.

基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算.

关键问题:正确理解定义的运算符号的意义.

注意事项:新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序.

每个新定义的运算符号只能在本题中使用.

14.数列求和

等差数列:在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列.

基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用a1表示;

项数:等差数列的所有数的个数,一般用n表示;

公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;

通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;

数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.

基本思路:等差数列中涉及五个量:a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个.

基本公式:通项公式:an = a1+n1d

通项=首项+(项数一1) 公差;

数列和公式:sn,=(a1+ an)n2

数列和=(首项+末项)项数2

项数公式:n=(an+ a1)d1

项数=(末项-首项)公差+1

公差公式:d =ana1))(n1);

公差=(末项-首项)(项数-1);

关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式;

15.二进制及其应用

十进制:用09十个数字表示,101;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示200.所以234=200+30+4=2102+310+4.

=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+……+A3102+A2101+A1100

注意:N0=1;N=N(其中N是任意自然数)

二进制:用01两个数字表示,21;不同数位上的数字表示不同的含义.

2= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+……+A322+A221+A120

注意:An不是0就是1.

十进制化成二进制:

根据二进制满21的特点,2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可.

先找出不大于该数的2n次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出

16.加法乘法原理和几何计数

加法原理:如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:m1+ m2....... +mn种不同的方法.

关键问题:确定工作的分类方法.

基本特征:每一种方法都可完成任务.

乘法原理:如果完成一件任务需要分成n步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:m1×m2....... ×mn种不同的方法.

关键问题:确定工作的完成步骤.

基本特征:每一步只能完成任务的一部分.

直线:一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹.

直线特点:没有端点,没有长度.

线段:直线上任意两点间的距离.这两点叫端点.

线段特点:有两个端点,有长度.

射线:把直线的一端无限延长.

射线特点:只有一个端点;没有长度.

数线段规律:总数=1+2+3+…+(点数一1);

角规律=1+2+3+…+(射线数一1);

数长方形规律:个数=长的线段数×宽的线段数:

数长方形规律:个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

17.质数与合数

质数:个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数.

合数:个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数.

质因数:如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数.

分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.通常用短除法分解质因数.任何一个合数分解质因数的结果是唯一的.

分解质因数的标准表示形式:N=,其中a1a2a3……an都是合数N的质因数,a1<a2<a3<……<an.

求约数个数的公式:P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

互质数:如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数.

18.约数与倍数

约数和倍数:若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数.

公约数:几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数.

最大公约数的性质:

1个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数.

2个数的最大公约数都是这几个数的约数.

3个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数.

4个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m.

例如:12的约数有1234612

18的约数有:1236918

那么1218的公约数有:1236

那么1218最大的公约数是:6,记作(12,18=6

求最大公约数基本方法:

1分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来.

2短除法:先找公有的约数,然后相乘.

3辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数.

公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数.

12的倍数有:12243648……

18的倍数有:18365472……

那么1218的公倍数有:3672108……

那么1218最小的公倍数是36,记作[12,18]=36

最小公倍数的性质:

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.

求最小公倍数基本方法:1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法

19.数的整除

一、基本概念和符号:

1、整除:如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a.

2、常用符号:整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号,所以的符号

二、整除判断方法:

1. 能被25整除:末位上的数字能被25整除.

2. 能被425整除:末两位的数字所组成的数能被425整除.

3. 能被8125整除:末三位的数字所组成的数能被8125整除.

4. 能被39整除:各个数位上数字的和能被39整除.

5. 能被7整除:

末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除.

逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除.

6. 能被11整除:

末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除.

奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除.

逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除.

7. 能被13整除:

末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除.

逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除.

三、整除的性质:

1. 如果ab能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除.

2. 如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除.

3. 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除.

4. 如果a能被bc整除,那么a也能被bc的最小公倍数整除.

20.余数及其应用

基本概念:对任意自然数abqr,如果使得a÷b=q……r,0<r<b,那么r叫做a除以b的余数,q叫做a除以b的不完全商.

余数的性质:

余数小于除数.

ab除以c的余数相同,c|a-bc|b-a.

ab的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数.

ab的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数.

21.余数、同余与周期

一、同余的定义:

若两个整数ab除以m的余数相同,则称ab对于模m同余.

已知三个整数abm,如果m|a-b,就称ab对于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a同余于bm.

二、同余的性质:

自身性:a≡a(mod m)

对称性:若a≡b(mod m),b≡a(mod m)

传递性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),a≡ c(mod m)

和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m)

相乘性:若a≡ b(mod m),c≡d(mod m),a×cb×d(mod m)

乘方性:若a≡b(mod m),an≡bn(modm)

:a≡ b(mod m),整数c,a×cb×c(mod m×c)

三、关于乘方的预备知识:

A=a×b,MA=Ma×b=Mab

B=c+dMB=Mc+d=Mc×Md

四、被3911除后的余数特征:

一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,M≡n(mod 9)或(mod 3);

一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,M≡Y-XM≡11-X-Y(mod 11)

五、费尔马小定理:如果p是质数(素数),a是自然数,a不能被p整除,ap-1≡1(mod p).

22.分数与百分数的应用

基本概念与性质:

分数:把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数.

分数的性质:分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变.

分数单位:把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数.

百分数:表示个数是另一个数百分之几的数.

常用方法:

逆向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考.

对应思维方法:找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系.

转化思维方法:把一类应用题转化成另一类应用题进行解答.最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率.常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量.

假设思维方法:为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果.

量不变思维方法:在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的.有以下三种情况:A、分量发生变化,总量不变.B、总量发生变化,但其中有的分量不变.C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化.

替换思维方法:用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化.

同倍率法:总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理.

浓度配比法:一般应用于总量和分量都发生变化的状况.

23.分数大小的比较

基本方法:

通分分子法:使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较.

通分分母法:使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较.

基准数法:确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较.

分子和分母大小比较法:当分子和分母的差一定,分子或分母越大的分数值越大.

倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小.(具体运用见同倍率变化规律)

转化比较方法:把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较.

倍数比较法:用个数除以另一个数,结果得数和1进行比较.

大小比较法:用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较.

倒数比较法:利用倒数比较大小,然后确定原数的大小.

基准数比较法:确定一个基准数,每一个数与基准数比较.

24.分数拆分

一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式:

=+

=+d为自然数);

25.完全平方数

完全平方数特征:

1. 末位数字只能是:014569;反之不成立.

2. 除以30或余1;反之不成立.

3. 除以40或余1;反之不成立.

4. 约数个数为奇数;反之成立.

5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立.

6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数.

7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数.

平方差公式:X2-Y2=X-Y)(X+Y

完全平方和公式:(X+Y2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式:(X-Y2=X2-2XY+Y2

26.比和比例

比:两个数相除又叫两个数的比.比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项.

比值:比的前项除以后项的商,叫做比值.

比的性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外),比值不变.

比例:表示两个比相等的式子叫做比例.a:b=c:d

比例的性质:两个外项积等于两个内项积(交叉相乘),ad=bc.

正比例:若A扩大或缩小几倍,B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时),AB成正比.

反比例:若A扩大或缩小几倍,B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时),AB成反比.

比例尺:图上距离与实际距离的比叫做比例尺.

按比例分配:把几个数按一定比例分成几份,叫按比例分配.

27.综合行程

基本概念:行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.

基本公式:路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间

关键问题:确定运动过程中的位置和方向.

相遇问题:速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)

追及问题:追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)

流水问题:顺水行程=(船速+水速)×顺水时间

逆水行程=(船速-水速)×逆水时间

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2

=(顺水速度-逆水速度)÷2

流水问题:关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式.

过桥问题:关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式.

主要方法:画线段图法

基本题型:已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量.

28.工程问题

基本公式:

工作总量=工作效率×工作时间

工作效率=工作总量÷工作时间

工作时间=工作总量÷工作效率

基本思路:

假设工作总量为“1”(和总工作量无关);

假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间.

关键问题:确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系.

经验简评:合久必分,分久必合.

29.逻辑推理

基本方法简介:

条件分析假设法:假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的.例如,假设a是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数.

条件分析列表法:当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析.列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断.

条件分析——图表法:当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间的关系,有连线则表示,等肯定的状态,没有连线则表示否定的状态.例如AB两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识.
逻辑计算:在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,还要进行相应的计算,根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件.

简单归纳与推理:根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情况推广到一般情况,递推出相关的关系式,从而得到问题的解决.

30.几何面积

基本思路:

在一些面积的计算上,不能直接运用公式的情况下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律.

常用方法:

1. 连辅助线方法

2. 利用等底等高的两个三角形面积相等.

3. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上).

4. 利用特殊规律

等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积.(斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积)

梯形对角线连线后,两腰部分面积相等.

圆的面积占外接正方形面积的78.5%.

31.立体图形

8个顶点;6个面;相对的面相等;12条棱;相对的棱相等;S=2(ab+ah+bh) V=abh =Sh

8个顶点;6个面;所有面相等;12条棱;所有相等;S=6a2 V=a3

圆柱体

上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形;S=S+2S  S=Ch V=Sh

圆锥体

下底是圆;只有一个顶点;l:母线,顶点到底圆周上任意一点的距离;S=S+S

S=rlV=Sh

球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径. S=4r2 V=r3

32.时钟问题快慢表问题

基本思路:

1按照行程问题中的思维方法解题;

2不同的表当成速度不同的运动物体;

3路程的单位是分格(表一周为60分格);

4时间是标准表所经过的时间;

合理利用行程问题中的比例关系;

 

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