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人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教案
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这是一份人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教案，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学方法，教学用具，教学过程等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
1、知识目标：
(1)通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；
(2)掌握垂径定理，理解其探索和证明过程；
(3)能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。
2、能力目标：
(1)在研究过程中，进一步体验“实验、归纳、猜想、证明”的方法；
(2)在解题过程中，注重发散思维的培养。
3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。
【教学重点】探索并证明垂径定理。
【教学难点】利用垂径定理解决有关计算、证明问题.
【教学方法】引导发现法、直观演示法
【教学用具】圆形纸片，圆规，三角尺，PPT课件，实物展台
【教学过程】
一、创设问题情境，激发学习兴趣：
1．出示赵州桥图片：同学们，你们认识它吗?它是我国隋代工匠李春建造的赵州桥，距今已有1400多年历史，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的勤劳与智慧。
2．创设问题情境：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.23米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？通过本节课的探究和学习，老师相信大家一定能够解决这一问题。
（图1）
3. 出示学习目标：
( 1 ) 通过动手操作，使学生发现圆的轴对称性.
（2）探索垂径定理，并会用它解决有关的证明与计算问题。
二、尝试操作，发现定理：
（一）活动一： 实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
(可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；或经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。)
（二）活动二：操作思考
1、如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
我们可以发现：
（1）上图是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．
（2）相等的线段：AE=BE，相等的弧：A⌒C=B⌒C,A⌒D=B⌒D。
2、分析以上操作过程我们会发现:
已知条件有两个：（1）CD是直径 （2） CD⊥AB
结论有三个： （3）AE=BE (4) A⌒C=B⌒C (5) A⌒D=B⌒D
3、小结垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
4、板书：垂径定理的几何语言
∵CD是直径，AB是弦
CD⊥AB
∴AE=BE,
A⌒C=B⌒C ,
A⌒D=B⌒D
(三)活动三：简单应用
1、辨一辨：下列哪些图形能直接满足垂径定理的条件？
2、选一选：
如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，则下列结论中不成立的是（）
A. ∠AOM=∠BOM
B. AM=BM
C. OM=CM
D. A⌒C=B⌒C,
三、例题讲解，巩固新知：
活动四：练一练
例1．已知：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm。
求：⊙O的半径。
例2.变式练习：如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E,CE=1，AB=10，求直径CD的长。
O
A
B
E
C
D
3.学法归纳：
（1）垂径定理经常和勾股定理结合使用。
（2）解决有关弦的问题时，经常连接半径，或经过圆心做一条与弦垂直的线段，为应用垂径定理创造条件。
四、拓展延伸，解决问题：
活动五：小组讨论，解决赵州桥问题
例（赵州桥桥拱问题）1400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.23米，求桥拱的半径（精确到0.1米）
五、挑战自我，中考链接
课堂检测：
1、在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是＿＿cm。
2、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF=＿＿＿ 。
六、课堂小结：
说说你这节课的收获与体验，让大家与你一起分享！
1、从知识上学习了什么？（知道了圆的对称性，掌握了垂径定理，并会运用定理解决问题.）
2、从学习方法上学会了什么？（垂径定理和勾股定理的结合应用；在圆中解决与弦有关的问题时，常用做辅助线的方法有：过圆心作垂直于弦的线段；或连接半径。）
七、布置作业：
1、课本83页练习2,89页习题24.1第2题。
2、预习作业：预习82页例2及垂径定理的推论。
八、教师寄语：
致亲爱的同学们：天空的幸福是穿一身蓝；森林的幸福是披一身绿；老师的幸福是因为认识了你们；愿你们努力进取，永不言败！
九、教学反思：
1、为了给学生营造一个民主、平等而又富有诗意的课堂，我以新数学课程标准下的基本理念和总体目标为指导思想，在教学过程中始终面向全体学生，依据学生的实际水平，选择适当的教学起点和教学方法，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验。最后再以教师寄语的形式，把情感目标落到了实处。
2、根据教学目标和学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---归纳---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。
3、在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。
4、为了检测学生对本课教学目标的达成情况，进一步加强定理的应用训练，我设计了由易到难，逐层深入的练习和检测题，题目设置有梯度，形式灵活多样，针对学生解答情况，及时查漏补缺。
附：垂径定理检测题:
1、变式练习：如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
·
O
A
B
E
C
D
2、赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)
为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？(结果保留小数点后一位）
R
D
37
7.23
18.5
R-7.23
3、在直径是20cm的⊙O中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB的弦心距是 。
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF= 。
【教学目标】
1、知识目标：
(1)通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；
(2)掌握垂径定理，理解其探索和证明过程；
(3)能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。
2、能力目标：
(1)在研究过程中，进一步体验“实验、归纳、猜想、证明”的方法；
(2)在解题过程中，注重发散思维的培养。
3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。
【教学重点】探索并证明垂径定理。
【教学难点】利用垂径定理解决有关计算、证明问题.
【教学方法】引导发现法、直观演示法
【教学用具】圆形纸片，圆规，三角尺，PPT课件，实物展台
【教学过程】
一、创设问题情境，激发学习兴趣：
1．出示赵州桥图片：同学们，你们认识它吗?它是我国隋代工匠李春建造的赵州桥，距今已有1400多年历史，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的勤劳与智慧。
2．创设问题情境：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.23米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？通过本节课的探究和学习，老师相信大家一定能够解决这一问题。
（图1）
3. 出示学习目标：
( 1 ) 通过动手操作，使学生发现圆的轴对称性.
（2）探索垂径定理，并会用它解决有关的证明与计算问题。
二、尝试操作，发现定理：
（一）活动一： 实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
(可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；或经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。)
（二）活动二：操作思考
1、如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
我们可以发现：
（1）上图是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．
（2）相等的线段：AE=BE，相等的弧：A⌒C=B⌒C,A⌒D=B⌒D。
2、分析以上操作过程我们会发现:
已知条件有两个：（1）CD是直径 （2） CD⊥AB
结论有三个： （3）AE=BE (4) A⌒C=B⌒C (5) A⌒D=B⌒D
3、小结垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
4、板书：垂径定理的几何语言
∵CD是直径，AB是弦
CD⊥AB
∴AE=BE,
A⌒C=B⌒C ,
A⌒D=B⌒D
(三)活动三：简单应用
1、辨一辨：下列哪些图形能直接满足垂径定理的条件？
2、选一选：
如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，则下列结论中不成立的是（）
A. ∠AOM=∠BOM
B. AM=BM
C. OM=CM
D. A⌒C=B⌒C,
三、例题讲解，巩固新知：
活动四：练一练
例1．已知：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm。
求：⊙O的半径。
例2.变式练习：如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E,CE=1，AB=10，求直径CD的长。
O
A
B
E
C
D
3.学法归纳：
（1）垂径定理经常和勾股定理结合使用。
（2）解决有关弦的问题时，经常连接半径，或经过圆心做一条与弦垂直的线段，为应用垂径定理创造条件。
四、拓展延伸，解决问题：
活动五：小组讨论，解决赵州桥问题
例（赵州桥桥拱问题）1400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.23米，求桥拱的半径（精确到0.1米）
五、挑战自我，中考链接
课堂检测：
1、在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是＿＿cm。
2、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF=＿＿＿ 。
六、课堂小结：
说说你这节课的收获与体验，让大家与你一起分享！
1、从知识上学习了什么？（知道了圆的对称性，掌握了垂径定理，并会运用定理解决问题.）
2、从学习方法上学会了什么？（垂径定理和勾股定理的结合应用；在圆中解决与弦有关的问题时，常用做辅助线的方法有：过圆心作垂直于弦的线段；或连接半径。）
七、布置作业：
1、课本83页练习2,89页习题24.1第2题。
2、预习作业：预习82页例2及垂径定理的推论。
八、教师寄语：
致亲爱的同学们：天空的幸福是穿一身蓝；森林的幸福是披一身绿；老师的幸福是因为认识了你们；愿你们努力进取，永不言败！
九、教学反思：
1、为了给学生营造一个民主、平等而又富有诗意的课堂，我以新数学课程标准下的基本理念和总体目标为指导思想，在教学过程中始终面向全体学生，依据学生的实际水平，选择适当的教学起点和教学方法，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验。最后再以教师寄语的形式，把情感目标落到了实处。
2、根据教学目标和学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---归纳---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。
3、在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。
4、为了检测学生对本课教学目标的达成情况，进一步加强定理的应用训练，我设计了由易到难，逐层深入的练习和检测题，题目设置有梯度，形式灵活多样，针对学生解答情况，及时查漏补缺。
附：垂径定理检测题:
1、变式练习：如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
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2、赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)
为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？(结果保留小数点后一位）
R
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7.23
18.5
R-7.23
3、在直径是20cm的⊙O中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB的弦心距是 。
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF= 。
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