数学必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试学案

这是一份数学必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试学案，共3页。学案主要包含了定义法，三垂线法，垂面法等内容，欢迎下载使用。

二面角是立体几何中最重要的知识点，是高考的热点和重点.求二面角的常见方法有定义法，三垂线法，垂面法.


一、定义法


利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.


例1 在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝eq \r(3)，求二面角V－AB－C的大小.





解 取AB的中点D，连接VD，CD，





∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，


∴△VAB为等边三角形，


∴VD⊥AB且VD＝eq \r(3)，


同理CD⊥AB，CD＝eq \r(3)，


∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，


而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，


∴二面角V－AB－C的大小为60°.


二、三垂线法


是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.


三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.


三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.


例2 如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.





(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；


(2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.


(1)证明 ∵∠SAB＝∠SAC＝90°，


∴SA⊥AB，SA⊥AC，


又AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，


∴SA⊥平面ABC，


又BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC，


又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA，AB⊂平面SAB，


∴BC⊥平面SAB，


又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.


(2)解 取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，垂足为点D，





由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD⊂平面SAB，


∴AD⊥平面SBC.


作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，


则DE⊥SC，


则∠AED为二面角A－SC－B的平面角.


设SA＝AB＝2，则SB＝BC＝2eq \r(2)，AD＝eq \r(2)，AC＝2eq \r(3)，SC＝4.


由题意得AE＝eq \r(3)，


Rt△ADE中，sin∠AED＝eq \f(AD,AE)＝eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3)，


∴二面角A－SC－B的平面角的正弦值为eq \f(\r(6),3).


三、垂面法


作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面.





例3 如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小.





解 ∵SB＝BC且E是SC的中点，





∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.


又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，


∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.


又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，


∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC，


∴BD⊥平面SAC.


∵平面SAC∩平面BDE＝DE，


平面SAC∩平面BDC＝DC，


∴BD⊥DE，BD⊥DC，


∴∠EDC是所求二面角的平面角.


∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.


设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2eq \r(2).


∵AB⊥BC，∴AC＝2eq \r(3)，∴∠ACS＝30°.


又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.


即所求的二面角等于60°.