2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.2.2　向量的减法运算

6.2.2　向量的减法运算

学习目标　1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.

知识点一　相反向量

1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.

2.性质

(1)零向量的相反向量仍是零向量.

(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.

(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.

知识点二　向量的减法

1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.

3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.

思考　若a，b是不共线向量，|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？

答案　如图所示，设＝a，＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.

1.相反向量就是方向相反的向量.(　×　)

提示　相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系.

2.向量与是相反向量.(　√　)

提示　与大小相等、方向相反.

3.a－b＝b－a.(　×　)

提示　向量减法不满足交换律.

4.两个相等向量之差等于0.(　×　)

提示　两个相等向量之差等于0.

一、向量的减法运算

例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.

方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.

反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可.

(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.

跟踪训练1　如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：b＋c－a.

解　方法一　以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，

则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.

方法二　作＝＝b，

连接AD，则＝－＝c－a，

＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a.

二、向量减法法则的应用

例2　(1)化简：(－)＋(－)＝________.

答案　

解析　原式＝＋＋－＝＋－＝.

(2)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　)

A.0   B.

C.   D.

答案　A

解析　＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0.

反思感悟　(1)向量减法运算的常用方法

(2)向量加减法化简的两种形式

①首尾相连且为和.

②起点相同且为差.

解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.

跟踪训练2　如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.

答案　a＋c－b

解析　由已知＝，

则＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b.

1.在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　)

A.a   B.a＋b

C.b－a   D.a－b

答案　D

解析　＝－＝a－b.

2.化简－＋＋等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.

3.已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是(　　)

A.平行四边形   B.菱形

C.矩形   D.正方形

答案　A

解析　由－＝－，可得＝，

所以四边形ABCD一定是平行四边形.

4.下列等式成立的个数是(　　)

①a＋b＝b＋a；

②a－b＝b－a；

③0－a＝－a；

④－(－a)＝a；

⑤a＋(－a)＝0.

A.5  B.4  C.3  D.2

答案　B

解析　由题意知，①③④⑤成立.

5.(多选)下列各向量运算的结果与相等的有(　　)

A.＋ B.－

C.－ D.－

答案　AD

解析　由题意知，AD正确.

1.知识清单：

(1)向量的减法运算.

(2)向量减法的几何意义.

2.方法归纳：数形结合.

3.常见误区：忽视向量共起点，才可用减法法则.

1.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　)

A.a＋b和a－b

B.a＋b和b－a

C.a－b和b－a

D.b－a和b＋a

答案　B

解析　由向量的加法、减法法则，

得＝＋＝a＋b，

＝－＝b－a.

2.－－＋等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

3.下列各式中，恒成立的是(　　)

A.＝   B.a－a＝0

C.－＝   D.－＋＝0

答案　D

解析　选项D中，－＋＝＋＋＝＋＝0.

4.(多选)下列四个式子中可以化简为的是(　　)

A.＋－ B.－

C.＋ D.－

答案　AD

5.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A.a－b＋c

B.b－(a＋c)

C.a＋b＋c

D.b－a＋c

答案　A

解析　＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.

6.－－－＝________.

答案　

解析　－－－＝(－)－(＋)

＝－0＝.

7.若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.

答案　2

解析　|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.

8.在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为________.

答案　

解析　如图，作菱形ABCD，

则|－|＝|－|

＝||＝.

9.如图，已知a，b，求作a－b.

解　如图，即为所求作的a－b.

10.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，试求：|a－b＋c|.

解　作＝，连接CF(图略)，则＋＝，

而＝－＝－＝a－b，

∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.

∴|a－b＋c|＝2.

11.若||＝5，||＝8，则||的取值范围是(　　)

A.[3,8]   B.(3,8)

C.[3,13]   D.(3,13)

答案　C

解析　∵||＝|－|且|||－|||≤|－|≤||＋||，

∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13.

12.平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则(　　)

A.A，B，C三点必在同一直线上

B.△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角

C.△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°

D.△ABC必为等腰直角三角形

答案　C

解析　如图所示，作▱ABCD，

则＋＝，

－＝－＝.

∵|m|＝|n|，∴||＝||.

∴▱ABCD为矩形，

∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°.

13.已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.

答案　13

解析　∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，

∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.

∵＝a，＝b，

∴a－b＝－＝，∴|a－b|＝||＝13.

14.如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c.证明：b＋c－a＝.

证明　b＋c－a＝＋－＝＋－＝－＝＋＝.

15.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.

答案　2

解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，

由向量加减法的几何意义可知，

＝＋，＝－，

∵|＋|＝|－|，

∴||＝||，

又||＝4，M是线段BC的中点，

∴||＝||＝||＝2.

16.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.

解　∵四边形ACDE是平行四边形，

∴＝＝c，

＝－＝b－a，

＝－＝c－a，

＝－＝c－b，

∴＝＋＝b－a＋c.