2020年高中数学新教材同步必修第二册 期中检测试卷1

期中检测试卷

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1.已知向量a＝(1，m)，向量b＝(－1，)，若a∥b，则m等于(　　)

A.  B.－  C.  D.－

答案　B

解析　由题意得1×－m×(－1)＝0，∴m＝－.

2.已知i为虚数单位，z＝，则复数z的虚部为(　　)

A.－2i  B.2i  C.2  D.－2

答案　D

解析　z＝＝＝＝2－2i，故虚部为－2.

3.已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，则·等于(　　)

A.－2  B.－1  C.1  D.2

答案　B

解析　以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0) E(0,1)，＝(－2,1)，＝(0，－1)，·＝－1.

4.(2019·淮北、宿州模拟)已知i为虚数单位，在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)

A.第一象限   B.第二象限

C.第三象限   D.第四象限

答案　D

解析　由题意可得＝＝＋i，

则其共轭复数为－i，对应的点位于第四象限.

5.在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设＝a，＝b，则等于(　　)

A.－a＋b   B.a－b

C.a－b   D.a＋b

答案　A

解析　如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得＝－＝－＝＋－＝b－a.

6.在△ABC中，∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是(　　)

A.2  B.4  C.2  D.12

答案　C

解析　·＝||||cos A＝－||||

＝－2⇒||||＝4，

||＝|－|⇒||2＝|－|2

＝||2＋||2＋4≥2||||＋4＝12，

当且仅当||＝||时取等号，

所以||≥2.

7.已知向量a＝(cos  θ－2，sin θ)，其中θ∈R，则|a|的最小值为(　　)

A.1  B.2  C.  D.3

答案　A

解析　因为a＝(cos θ－2，sin θ)，

所以|a|＝＝＝，

因为θ∈R，所以－1≤cos θ≤1，

故|a|的最小值为＝1.

8.已知点O是△ABC内一点，满足＋2＝m，＝，则实数m为(　　)

A.2  B.－2  C.4  D.－4

答案　D

解析　由＋2＝m得＋＝，

设＝，则＋＝，

∴A，B，D三点共线，

如图所示，

∵与反向共线，

∴＝，

∴＝＝＝，

解得m＝－4.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9.在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状不可能是(　　)

A.锐角三角形   B.直角三角形

C.钝角三角形   D.等边三角形

答案　ABD

解析　由正弦定理知，sin A＝，sin B＝，sin C＝.

∴sin2A＋sin2B<sin2C可化为

a2＋b2<c2，a2＋b2－c2<0.

∴cos C＝<0.

∴角C为钝角，△ABC为钝角三角形.

10.设z是复数，则下列命题中的真命题是(　　)

A.若z2≥0，则z是实数

B.若z2<0，则z是虚数

C.若z是虚数，则z2≥0

D.若z是纯虚数，则z2<0

答案　ABD

解析　设z＝a＋bi，a，b∈R，z2＝a2－b2＋2abi，

对于A：z2≥0，则b＝0，所以z是实数，真命题；

对于B：z2<0，则a＝0，且b≠0，可得z是虚数，所以B为真命题；

对于C：z是虚数，则b≠0，所以z2也可能是虚数，不能比较大小，所以C是假命题；

对于D：z是纯虚数，则a＝0，b≠0，所以z2<0，所以D是真命题.

11.在△ABC中，若lg a－lg c＝lg sin B＝－lg且B∈，则△ABC的形状可能是(　　)

A.等边三角形   B.等腰三角形

C.钝角三角形   D.直角三角形

答案　BD

解析　∵lg a－lg c＝lg sin B＝－lg，

∴＝sin B＝，

∵B∈，∴B＝，

∴cos B＝＝＝，

∴a2＝b2，则a＝b，∴A＝B＝，

∴C＝，

∴△ABC为等腰直角三角形.

12.定义两个非零平面向量的一种新运算a*b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有(　　)

A.a在b上的投影向量为asin〈a，b〉

B.(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2

C.λ(a*b)＝(λa)*b

D.若a*b＝0，则a与b平行

答案　BD

解析　由投影向量的定义可知，A显然不成立；

(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2sin2〈a，b〉＋|a|2|b|2·cos2〈a，b〉＝|a|2|b|2，故B成立；

λ(a*b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，(λa)*b＝|λa||b|sin〈a，b〉，当λ<0时不成立，故C不成立；

由a*b＝0，得sin〈a，b〉＝0，即两向量平行，故D成立.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.i是虚数单位，则复数＝______，其实部为______.(本题第一空3分，第二空2分)

答案　i　0

解析　＝

＝＝i，其实部为0.

14.已知向量a，b的夹角为θ，且|a|＝2，|b|＝，a·b＝3，则θ＝________.

答案　

解析　由题意，利用向量的夹角公式，得cos θ＝＝，又由θ∈[0，π]，∴ θ＝.

15.(2019·南宁模拟)在正方形ABCD中，E为线段AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

答案　

解析　因为＝＋＝＋，所以λ＋μ＝＋1＝.

16.(2019·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为___________.

答案　80

解析　由已知，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，

∴∠DAC＝15°，

由正弦定理，得AC＝＝＝40(＋)，

在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，

∴∠DBC＝30°，

由正弦定理，得＝，

∴BC＝＝

＝160sin 15°＝40(－)；

在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋4)＋1 600(8－4)＋2×1 600(＋)×(－)×

＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，

解得AB＝80，

则两目标A，B间的距离为80.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.(10分)已知复数z＝3＋mi (m∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数.

(1)求复数z；

(2)若z＝(2－i)w，求复数w的模|w|.

解　(1)(1＋3i)·(3＋mi)＝(3－3m)＋(9＋m)i，

∵(1＋3i)·z是纯虚数，

∴3－3m＝0，且9＋m≠0，

∴m＝1，

∴z＝3＋i.

(2)w＝＝＝＝1＋i.

∴|w|＝＝.

18.(12分)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4).

(1)求a＋b与a－b的夹角；

(2)若c满足c⊥(a＋b)，(c＋a)∥b，求c的坐标.

解　(1)∵a＝(1,2)，b＝(－3,4).

∴a＋b＝(－2,6)，∴a－b＝(4，－2)，

∴(a＋b)·(a－b)＝－20，

∴|a＋b|＝＝2，

∴|a－b|＝＝2.

设a＋b与a－b的夹角为θ，则

cos θ＝＝＝－，

又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.

(2)设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，

∵c⊥(a＋b)，(c＋a)∥b，

∴

解得即c＝.

19.(12分)在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，c＝，求△ABC周长的取值范围.

解　由正弦定理得＝＝＝2，

∴a＝2sin A，b＝2sin B，

则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋

＝2＋

＝2＋

＝2sin＋.

∵0<B＝－A<，∴0<A<，

∴<A＋<，

∴<sin≤1，

∴△ABC周长的取值范围是(2，2＋].

20.(12分)设复数z1＝2－ai(a∈R)，z2＝4－3i.

(1)若z1＋z2是实数，求z1·z2；

(2)若是纯虚数，求z1的共轭复数.

解　(1)∵z1＋z2＝6－(3＋a)i是实数，

∴3＋a＝0，a＝－3，z1＝2＋3i，

∴z1·z2＝(2＋3i)(4－3i)＝17＋6i.

(2)∵＝＝＝是纯虚数，

∴即a＝－，z1＝2＋i，

故z1的共轭复数为2－i.

21.(12分)已知|a|＝2，|b|＝，(a＋2b)·(b－3a)＝9.

(1)求a与b的夹角θ；

(2)在△ABC中，若＝a，＝b，求BC边的长度.

解　(1)∵(a＋2b)·(b－3a)＝－3a2＋2b2－5a·b

＝－3×22＋2×()2－5a·b＝9，

∴a·b＝－3，

∴cos θ＝＝＝－，

又θ∈[0，π]，∴θ＝π.

(2)∵＝－＝b－a，

∴||2＝(b－a)2＝b2＋a2－2b·a＝()2＋22－2×(－3)＝13，

∴BC边的长度为| |＝.

22.(12分)在△ABC中，已知cos B＋(cos A－2sin A)cos C＝0.

(1)求角C的余弦值；

(2)若BC＝，AB边上的中线CD＝，求△ABC的面积.

解　(1)在△ABC中，cos B＝－cos(A＋C)，

所以－cos(A＋C)＋(cos A－2sin A)cos C＝0，

sin A(sin C－2cos C)＝0，

又sin A≠0，

所以sin C＝2cos C，tan C＝2，

因为C∈(0，π)，所以0<C<，

由三角函数的基本关系式，可得1－cos2C＝4cos2C，

解得cos C＝.

(2)因为＋＝2，

所以||2＋||2＋2||·||cos C＝4||2，

所以||2＋5＋2||×＝4×2，解得||＝1.

又sin C＝＝，

所以S△ABC＝CA·CB·sin C＝1.