有理数的乘方及混合运算(基础)知识讲解及巩固练习
展开【答案与解析】 (1);
(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5=(-3.7)4×52;
(3)
【总结升华】乘方时,当底数是分数、负数时,应加上括号.
2.计算:
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
【答案与解析】
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8)
【总结升华】与不同,,
而表示的n次幂的相反数.
举一反三:
【变式1】计算:(1)(-4)4 (2)23 (3) (4)(-1.5)2
【答案】 (1)(-4)4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256;
(2)23=2×2×2=8; (3)
(4) (-1.5)2=(-1.5)×(-1.5)=2.25
【变式2】(2015•长沙模拟)比较(﹣4)3和﹣43,下列说法正确的是( )
A. 它们底数相同,指数也相同
B. 它们底数相同,但指数不相同
C. 它们所表示的意义相同,但运算结果不相同
D. 虽然它们底数不同,但运算结果相同
【答案】D.
解:比较(﹣4)3=(﹣4)×(﹣4)×(﹣4)=﹣64,﹣43=﹣4×4×4=﹣64,
底数不相同,表示的意义不同,但是结果相同.
类型二、乘方的符号法则
3.不做运算,判断下列各运算结果的符号.
(-2)7,(-3)24,(-1.0009)2009,,-(-2)2010
【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断,可得:
(-2)7运算的结果是负;(-3)24运算的结果为正;(-1.0009)2009运算的结果是负;运算的结果是正;-(-2)2010运算的结果是负.
【总结升华】“一看底数,二看指数”,当底数是正数时,结果为正;当底数是0时,结果是0;当底数是负数时,再看指数,若指数为偶数,结果为正;若指数是奇数,结果为负.
举一反三:
【变式】计算:(-1)2009的结果是( ).
A.-l B.1 C.-2009 D.2009
【答案】A
类型三、有理数的混合运算
4.计算: (1)
(2)
(3)
(4)
【答案与解析】
(1)法一:原式=;
法二:原式=
(2)原式
(3) 原式=-32-3+66-9=22
(4) 原式
【总结升华】有理数的混合运算,确定运算顺序是关键,细心计算是运算正确的前提.
举一反三:
【变式1】计算:
【答案】原式
【变式2】计算:
【答案】原式
5. ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】逆用分配律可得:,所以答案为:C
【总结升华】当几项均为幂的形式,逆用分配律提出共同的因数时,要提指数较小的幂的形式.
举一反三:
【变式】计算:
【答案】
类型四、探索规律
6. (2014秋•埇桥区校级期中)你见过拉面馆的师傅拉面吗?他们用一根粗的面条,第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条,再把两头捏在一起抻拉,反复数次,就能拉出许多根细面条,如下图,第3次捏合抻拉得到 根面条,第5次捏合抻拉得到 根面条,第次捏合抻拉得到 根面条,要想得到64根细面条,需 次捏合抻拉.
第1次 第2次 第3次
【答案】8; 32; ; 6
【解析】由题意可知,每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍,所以可得到:
第1次:;第2次:;第3次:;…;第次:.
第3次捏合抻拉得到面条根数:,即8根;第5次得到:,即32根;第次捏合抻拉得到;
因为,所以要想得到64根面条,需要6次捏合抻拉.
【总结升华】解答此类问题的方法一般是:从所给的特殊情形入手,再经过猜想归纳,从看似杂乱的问题中找出内在的规律,使问题变得有章可循.
举一反三:
【变式】已知21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,…,观察上面的规律,试猜想22008的末位数字是________.
【答案】6
【巩固练习】
一、选择题
1.(2015•郴州)计算(﹣3)2的结果是( )
A.﹣6 B. 6 C. ﹣9 D. 9
2.下列说法中,正确的是( )
A.一个数的平方一定大于这个数; B.一个数的平方一定是正数;
C.一个数的平方一定小于这个数; D.一个数的平方不可能是负数.
3.下列各组数中,计算结果相等的是 ( ).
A.-23与(-2)3 B.-22与(-2)2 C.与 D.与
4.式子的意义是 ( )
A. 4与5商的立方的相反数 B.4的立方与5的商的相反数 C.4的立方的相反数除5
D.的立方
5.计算(-1)2+(-1)3=( )
A.-2 B.- 1 C.0 D.2
6.观察下列等式:71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649…由此可判断7100的个位数字是( ) .
A.7 B.9 C.3 D.1
7.一根1米长的绳子,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半,如此下去,第6次后剩下的绳子的长度为( ) .
A.米 B.米 C.米 D.米
二、填空题
8.在(-2)4中,指数是________,底数是________,在-23中,指数是________,底数是________,在中底数是________,指数是________.
9.(2015•湖州)计算:23×()2= .
10. ; ;= ; .
11. ,
12. , , ,……,
从而猜想:…….
13.
三、解答题
14.(2014秋•渭城区校级期末)﹣23+(﹣3)2﹣32×(﹣2)2.
15. 已知x的倒数和绝对值都是它本身,y、z是有理数,并且,求的值.
16. 探索规律:观察下面三行数,
2, -4, 8, -16, 32, -64,… ①
-2, -8, 4, -20, 28, -68,… ②
-1, 2, -4, 8, -16, 32,… ③
(1) 第①行第10个数是多少?
(2) 第②③行数与第①行数分别有什么关系?
(3) 取每行第10个数,计算这三个数的和.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D
2.【答案】D
【解析】一个数的平方与这个数的大小不定,例如:;而;,从而A,C均错;一个数的平方是正数或0,即非负数,所以B错,只有D对.
3.【答案】A
【解析】-23=-8, (-2)3= -8.
4.【答案】B
【解析】表示4的立方与5的商的相反数
5.【答案】C
【解析】 (-1)2=1,(-1)3=-1
6.【答案】D
【解析】个位上的数字每4个一循环,100是4的倍数,所以的个位数字应为1.
7.【答案】C
二、填空题
8.【答案】4 , -2 , 3 , 2, 2, 2
【解析】依据乘方的定义解答
9.【答案】2.
【解析】23×()2=8×=2.
10.【答案】3, -32,
11.【答案】-27,72
12.【答案】
【解析】 , ,, ……
从而猜想:每组数中,右边的幂的底数与左边的最后一个数的关系是:.
所以…….
13.【答案】
【解析】
三、解答题
14.【解析】
解:﹣23+(﹣3)2﹣32×(﹣2)2
=﹣8+9﹣9×4
=﹣8+9﹣36
=﹣44+9
=﹣35.
15.【解析】因为x的倒数和绝对值都是它本身,
所以x=1,又因为|y+3|+(2x+3z)2=0,所以y+3=0且2x+3z=0.
所以y=-3.当x=1时,2x+3z=0,.
把x=1,y=-3,代入得:.
16.【解析】(1)2, -4, 8, -16, 32, -64,… ①
第①行可以改写为:2, ,,,……,,……
由-2的指数规律,可以知道n=10时,即 =-1024为第 ①行第10个数.
(2)第②行数是第①行相应的数减4;第③行数是第①行相应的数的-0.5倍;
(3)第②行第10个数为-1024-4=-1028
第③行第10个数为(-0.5)(-1024)=512
所以第①行、第②行、第③行第10个数字之和为-1024+(-1028)+512=-1540.