整式的概念知识讲解及巩固练习

（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．

【典型例题】

类型一、整式概念辨析 

1．指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？

，，，10，，，，，，

【答案与解析】单项式有：，10，，；

    多项式有：，，，；

    整式有：，，，10，，，，．

【总结升华】不是整式，因为分母中含有字母； 也不是多项式，因为不是单项式．

举一反三：

【变式】下列代数式：，其中是单项式的是_______________，是多项式的是_______________.

【答案】①②③，④⑥

类型二、单项式

2．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．

    ，，，，，a-3，，，

【答案与解析】，，，，，，是单项式，其中

     的系数是，次数是3；的系数是-1，次数是1；的系数是，次数是4；

的系数是，次数是4；为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；

的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3；

只含有字母因数，系数是l，次数为字母指数之和为3．

【总结升华】（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如中，的指数4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）是常数，不能看作字母．

举一反三：

【变式1】单项式3x2y3的系数是　　．

【答案】3．

【变式2】下列结论正确的是(  )．

    A．没有加减运算的代数式叫做单项式．

    B．单项式的系数是3，次数是2．

C．单项式m既没有系数，也没有次数．

D．单项式的系数是-1，次数是4．

【答案】D

类型三、多项式

3.多项式，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是什么？常数项是什么？这是几次几项式?

【答案与解析】这个多项式中共有四项，分别为：，它们的次数分别为：3,6,1,0；

其中的次数是6，是最高次项，一次项的系数是-1，常数项是1，它是六次四项式．

【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：（1）先求多项式中每一项的次数；（2）取这些次数中的最大的数即为多项式的次数．

4. 已知多项式．

    (1)求多项式各项的系数和次数．

    (2)如果多项式是七次五项式，求m的值．

【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．

(2)由多项式是七次五项式，可得的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2．

【总结升华】对于单项式的次数为3m+1的认识会不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．

举一反三：

【变式】多项式是关于的二次三项式，求a与b的差的相反数．

【答案】

类型四、整式的应用

5. 用整式填空：

    (1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．

    (2)甲商品的进价为1400元，若标价为a元，按标价的9折出售；乙商品的进价是400元，若标价为b元，按标价的8折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：________  乙：________．

【答案】(1)；(2)甲商品的利润率为×100%，

乙商品的利润率为： ×100%．

【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几．

【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润＝售价－进价; (2)利润率＝．

举一反三：

【变式】（2014秋•栖霞市期末）对下列代数式作出解释，其中不正确的是（  ）

A. a﹣b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，小明比他爸爸小（a﹣b）岁

B. a﹣b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，则小明出生时，他爸爸为（a﹣b）岁

C. ab：长方形的长为acm，宽为bcm，长方形的面积为abcm2

D. ab：三角形的一边长为acm，这边上的高为bcm，此三角形的面积为abcm2

【答案】D.

6. （2015•重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（　　）

A. 21             B. 24            C.27            D. 30

【答案】 B

【解析】观察图形得：

第1个图形有3+3×1=6个圆圈，

第2个图形有3+3×2=9个圆圈，

第3个图形有3+3×3=12个圆圈，

…

第n个图形有3+3n=3（n+1）个圆圈，

当n=7时，3×（7+1）=24，

故选B．

【总结升华】找规律问题一般应经历四个阶级“特例引路”、“对比分析”、“总结规律”、“反思检验”等．

【巩固练习】

一、选择题

1．（2014秋•章丘市校级期末）下面的说法正确的是（　　）

A. ﹣2不是代数式         B. ﹣a表示负数   

C. 的系数是3         D. x+1是代数式

2．已知单项式，下列说法正确的是(    )．

    A．系数是-4，次数是3

    B．系数是，次数是3

    C．系数是，次数是3

    D．系数是，次数是2

3．如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数(    )．

    A．都小于3    B．都等于3    C．都不小于3    D．都不大于3

4．下列式子：a+2b，，，，0中，整式的个数是(    )．

    A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

5.．关于单项式，下列结论正确的是(    )．

    A．系数是-2，次数是4

    B．系数是-2，次数是5

    C．系数是-2，次数是8

    D．系数是-23，次数是5

6．一组按规律排列的多项式：，，，，…，其中第10个式子是(    )．

    A．    B．     C．    D．

二、填空题

7．代数式，，，，0，中是单项式的是________，是多项式的是________．

8.关于的多项式的次数是2，那么．

9．多项式2x2-3x+5是_      次______项式．

10．（2015•长春模拟）今年五．一假期，张老师一家四口开着一辆轿车去长春市净月潭森林公园度假．若门票每人a元，进入园区的轿车每辆收费20元，则张老师一家开车进入净月潭森林公园园区所需费用是　   　元（用含a的代数式表示）．

11．有一组单项式：，，，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式：________．

12．关于x的二次三项式的一次项的系数为5，二次项的系数为-3，常数项为-4，按照x的次数逐渐降低排列，这个二次三项式为________．

13．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒……按此规律，请你推测第n组应该取种子数是________粒．

14. 如图所示，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n＝________．

三、解答题

15．（2015•宜宾）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为多少？

16．已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值．

17．某电影院有20排座位，已知第一排有18个座位，后面一排都比前一排多2个座位，试用代数式表示出第n排的座位数，并求第19排的座位数．

18．已知多项式，

    (1)请你按照上述规律写出该多项式的第5项，并指出它的系数和次数；

    (2)这个多项式是几次几项式?

【答案与解析】

一、选择题

1. 【答案】D 

【解析】A、﹣2是代数式，故此选项错误；B、﹣a不一定是负数，故此选项错误；

C、的系数是，故此选项错误；D、x+1是代数式，故此选项正确．

2．【答案】B  

3．【答案】D

【解析】多项式的次数是该多项式中各项次数最高项的次数。

4．【答案】C

【解析】整式有，，，0．

5．【答案】D

6．【答案】B

【解析】观察每个式子知，每个多项式都是二项式，且a、b的指数与式子的个数n之间的关系是a的指数为n，b的指数为2n-1，而且含a项的系数都是1，含b项的系数为，即第n个式子为，所以第10个式子是．

二、填空题

7. 【答案】，，，0 ； ，

【解析】单项式是数与字母的乘积，多项式是单项式的和．

8．【答案】1，2

【解析】要使多项式中不含某项，则需令此项的系数为0.

9．【答案】二，三

10．【答案】 4a+20

【解析】张老师一家开车进入净月潭森林公园园区所需费用是（4a+20）元．

11．【答案】．

12．【答案】

【解析】①只含字母x，且二次项系数为-3，一次项系数为5，常数项为-4；②二次三项式；③按x的降幂排列．

13．【答案】 

【解析】本题考查规律探索，第一组3粒（3＝1×2+1），第二组5粒（5＝2×2+1），第三组7粒（7＝2×3+1），第四组9粒（9＝2×4+1），…，按此规律，第n组应该取的种子数为2n+1．

14. 【答案】30 

【解析】2+4+6+…+2n＝930，即2(1+2+3+…n)＝930，2×即n(n+1)＝930，故n＝30．

三、解答题

15. 【解析】

解：由题意可得：阴影部分的面积和为：

π（22﹣12）+π（42﹣32）+π（62﹣52）+…+π（202﹣192）

=3π+7π+11π+15π+…+39π

=5（3π+39π）

=210π．

16．【解析】

．

17. 【解析】

解：第一排有18个座位；第二排有(18+2)个；第三排有(18+2+2)个；第四排有(18+2+2+2)个．…第n排有[18+2(n-1)]个座位．

    当n＝19时  18+2(n-1)＝18+2×(19-1)＝54

    答：第n排有[18+2(n-1)]个座位，第19排有54个座位．

18. 【解析】

解：（1）该多项式的第5项为，它的系数是-1，次数是12；

（2）十二次十三项式．