有理数的乘除(基础)知识讲解及巩固练习
展开法则一:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,即.
法则二:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.
要点诠释:(1)一般在不能整除的情况下应用法则一,在能整除时应用法则二方便些.
(2)因为0没有倒数,所以0不能当除数.
(3)法则二与有理数乘法法则相似,两数相除时先确定商的符号,再确定商的绝对值.
要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算,应按从左往右的顺序计算,一般先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后算出结果.
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算,如无括号,则按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如有括号,则先算括号里面的.
【典型例题】
类型一、有理数的乘法运算
1.(2015•台湾)算式(﹣1)×(﹣3)×之值为何?( )
A. B. C. D.
【思路点拨】根据有理数的乘法法则,先确定符号,然后把绝对值相乘即可
【答案】D.
【解析】
解:原式=××= .
【总结升华】本题考查的是有理数的乘法,掌握乘法法则是解题的关键,计算时,先确定符号,然后把绝对值相乘.
2. (1);
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20);
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0.
【答案与解析】几个不等于零的数相乘,首先确定积的符号,然后把绝对值相乘.因数是小数的要化为分数,是带分数的通常化为假分数,以便能约分.几个数相乘,有一个因数为零,积就为零.
(1);
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20);
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0=0.
【总结升华】几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数确定,与正因数的个数无关.当因数中有一个数为0时,积为0.
3.运用简便方法计算:
(1)
(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4
(3)
【思路点拨】 (1)根据题目特点,可以把折成,再运用乘法分配律进行计算.(2)运用乘法结合律,把第1、4个因式结合在一起.(3)逆用乘法分配律:ab+ac=a(b+c).
【答案与解析】
解:(1)
(分配律)
(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4
=(-4×0.25)×[0.5×(-100)] (交换律)
=-1×(-50)=50(结合律)
(3)
(逆用乘法的分配律)
【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点.适当运用“凑整法”进行交换和结合.
举一反三:
【变式1】(2014•玄武区一模)计算16.8×+7.6×的结果是 .
【答案】7.
解:原式=8.4×
=(8.4+7.6)×
=16×
=7.
【变式2】;
【答案】(
类型二、有理数的除法运算
4.计算:(1)(-32)÷(-8) (2)
【答案与解析】 (1)(-32)÷(-8)=+(32÷8)= 4 ……用法则二进行计算.
(2) ……用法则一进行计算.
【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的,两数相乘除,同号得正,异号得负;(2)除法的两个法则是一致的,应学会灵活选择.
举一反三:
【变式】 计算:(1)
【答案】原式
类型三:有理数的乘除混合运算
5.计算:
【答案与解析】在有理数的乘除运算中,应按从左到右的运算顺序进行运算.
【总结升华】在有理数的乘除运算中,可将除法运算转化为乘法运算.乘除运算是同一级运算,应按从左到右的顺序进行.
举一反三:
【变式1】计算:(-9)÷(-4)÷(-2)
【答案】 (-9)÷(-4)÷(-2)=-9÷4÷2=
【变式2】计算:(1) (2)
【答案】 (1)
(2)
类型四、有理数的加减乘除混合运算
6. 计算(1); (2)
【答案与解析】(1)
=6-2+9-5=8
(2)法1:原式=
法2:由(1)知:,所以
【总结升华】除法没有分配律,在进行有理数的除法运算时,若除数是和的形式,一般先算括号内的,然后再进行除法运算,也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决.
举一反三:
【变式】
【答案】 原式
类型五:利用有理数的加减乘除,解决实际问题
7.气象统计资料表明,高度每增加1000米,气温就降低6℃.如果现在地面的气温是27℃,那么8000米的高空的气温大约是多少?
【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系.由于“高度每增加1000米,气温就降低6℃”,8000米的高空比地面高度增加8000米,因此气温降低6×8=48℃,由此便可求出高空的气温.
【答案与解析】
解:(℃)
因此8000米的高空的气温大约是-21℃.
【总结升华】本题是生活实际中的问题,关键是读懂题意,弄清各数量之间的关系,再列出正确的算式.
【巩固练习】
一、选择题
1.(2015•佛山)﹣3的倒数为( )
A.﹣ B. C. 3 D. ﹣3
2.下列命题中,正确的是( ).
A.若a·b>0,则a>0,b>0 B.若a·b>0,则a<0,b<0
C.若a·b=0,则a=0且b=0 D.若a·b=0,则a=0或b=0
3. 下列说法错误的是 ( )
A.一个数与1相乘仍得这个数. B.互为相反数(除0外)的两个数的商为-1.
C.一个数与-1相乘得这个数的相反数. D.互为倒数的两个数的商为1.
4.两个数之和为负,商为负,则这两个数应是 ( )
A.同为负数
B.同为正数
C.一正一负且正数的绝对值较大
D.一正一负且负数的绝对值较大
5.计算:的结果是 ( )
A.-8 B.8 C.-2 D.2
6. 在算式中的所在位置,填入下列哪种运算符号,计算出来的值最小( ).
A.+ B.- C.× D.÷
7. 下列计算:①0-(-5)=-5;②;③;④;⑤若,则x的倒数是6.其中正确的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
8.(2015•镇江二模)(﹣6)×(﹣)= .
9.若,则 0, 0, 0.
10. 若|a|=5,b=-2,且a÷b>0,则a+b=________.
11.在-2,3,4,-5这四个数中,任取两个数相乘所得积最大的是 ,所得的商最小是
12.如果6个不等于0的数相乘得积为负数,则在这6个乘数中,正的乘数有 个
13.如果,那么 0.
14. 是一个简单的数值运算程序,当输入-1时,则输出的数值____.
三、解答题
15.计算:
(1)(-0.125)×(-18)×(-8)×0×(-1)
(2)
(3)(-6)×45+(-6)×55
(4)
16.(2014秋•朝阳区期末)计算:.
17.已知:a、b互为相反数,c、d互为倒数,m的倒数等于它本身,则的结果是多少?
18.受金融危机的影响,华盛公司去年1~3月平均每月亏损15万元,4~6月平均每月盈利20万元,7~10月平均每月盈利17万元,11~12月平均每月亏损23万元这个公司决定:若平均每月盈利在3万元以上,则继续做原来的生产项目,否则要改做其他项目.请你帮助该公司进行决策是否要改做其他项目,并说明你的理由.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A.
2.【答案】D
【解析】当a·b>0时,a、b同号,可能同为正,也可能同为负,故A错误;当a·b<0时,a、b异号,所以B错误;当a·b=0时,a、b中必有一个字母的值为0,但不一定同时为零,故C错误,D错误.
3.【答案】D
【解析】D错误,因为互为倒数的两个数的积是1,而不是商.
4.【答案】D
【解析】商为负,说明两数异号;和为负,说明负数的绝对值较大.
5.【答案】A
【解析】
6.【答案】C
【解析】填入“+”时,算式4-|-3+5|=4-2=2;填入“-”时,算式4-|-3-5|=4-8=-4;填入“×”时,算式4-|-3×5|=4-15=-11;填入“÷”时,4-|-3÷5|=.因此,填入“×”时,计算出来的值最小.
7.【答案】B
【解析】②③正确.0-(-5)=5;(-36)÷(-9)=4.
二、填空题
8.【答案】2.
【解析】(﹣6)×(﹣)=2.
9.【答案】<,<,>
【解析】由可得:同号,又,所以同负,进而可得:这两个数的商应为正数.
10.【答案】-7
【解析】由|a|=5,知a=±5.而ab>0,说明a、b是同号,而b=-2<0,所以a=-5,所以a+b=(-5)+(-2)=-7.
11.【答案】12;-2
【解析】选择3和4相乘所得的积最大,选择4和-2,并且4除以-2所得的商最小.
12.【答案】1,3,5
【解析】积为负数,说明其中负因子的个数为奇数个,因为共有偶数个因子,所以正因子的个数也为奇数个,所以为:1,3,5
13.【答案】<
【解析】由可得:异号,又与同号,所以而所以
14.【答案】4
【解析】(-1)×(-1)+3=4
三、解答题
15.【解析】
(1)(-0.125)×(-18)×(-8)×0×(-1)=0
(2)
(3)(-6)×45+(-6)×55=(-6)×(45+55)=-600
(4)原式=
16.【解析】
解:原式=×(﹣60)﹣×(﹣60)﹣×(﹣60)
=﹣40+55+56
=71.
17.【解析】由题意得a+b=0,cd=1,m=1或m=-1.
当m=1时,原式;
当m=-1时,原式.
综合可知:的结果是0或-2.
18.【解析】不需要改做其他项目.
理由:(-15)×3+20×3+17×4+(-23)×2=-45+60+68-46=37(万元).因为
,所以不需要改做其他项目.