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    《几何图形初步》全章复习与巩固(基础)知识讲解及练习巩固
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    《几何图形初步》全章复习与巩固(基础)知识讲解及练习巩固

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    ①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉,例如正方体的 11种展开图,三棱柱,圆柱等的展开图;
    ②不同的几何体展成不同的平面图形,同一几何体沿不同的棱剪开,可得到不同的平面图形,那么排除障碍的方法就是:联系实物,展开想象,建立“模型”,整体构想,动手实践.
    (2)从不同方向看:
    主(正)视图---------从正面看
    几何体的三视图 左视图-----从左(右)边看
    俯视图---------------从上面看
    要点诠释:
    ①会判断简单物体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图.
    ②能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
    (3)几何体的构成元素及关系
    几何体是由点、线 、面构成的.点动成线,线与线相交成点;线动成面,面与面相交成线;面动成体,体是由面组成.
    要点二、直线、射线、线段
    1. 直线,射线与线段的区别与联系

    2. 基本性质
    (1)直线的性质:两点确定一条直线. (2)线段的性质:两点之间,线段最短.
    要点诠释:
    ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如:要在墙上固定一个木条,只要两个钉子就可以了,因为如果把木条看作一条直线,那么两点可确定一条直线.
    ②连接两点间的线段的长度,叫做两点间的距离.
    3.画一条线段等于已知线段
    (1)度量法:可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
    (2)用尺规作图法:用圆规在射线AC上截取AB=a,如下图:





    4.线段的比较与运算
    (1)线段的比较:
    比较两条线段的长短,常用两种方法,一种是度量法;一种是叠合法.
    (2)线段的和与差:
    如下图,有AB+BC=AC,或AC=a+b;AD=AB-BD。



    (3)线段的中点:
    把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如下图,有:


    要点诠释:
    ①线段中点的等价表述:如上图,点M在线段上,且有,则点M为线段AB的中点.
    ②除线段的中点(即二等分点)外,类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图,点M,N,P均为线段AB的四等分点.


    要点三、角
    1.角的度量
    (1)角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边;此外,角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
    (2)角的表示方法:角通常有三种表示方法:一是用三个大写英文字母表示,二是用角的顶点的一个大写英文字母表示,三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图:

    要点诠释:
    ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义;
    ②当一个角的顶点有多个角的时候,不能用顶点的一个大写字母来表示.
    (3)角度制及角度的换算
    1周角=360°,1平角=180°,1°=60′,1′=60″,以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制.
    要点诠释:
    ①度、分、秒的换算是60进制,与时间中的小时分钟秒的换算相同.
    ②度分秒之间的转化方法:由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行;由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
    ③同种形式相加减:度加(减)度,分加(减)分,秒加(减)秒;超60进一,减一
    成60.
    (4)角的分类
    ∠β
    锐角
    直角
    钝角
    平角
    周角
    范围
    0<∠β<90°
    ∠β=90°
    90°<∠β<180°
    ∠β=180°
    ∠β=360°



    (5)画一个角等于已知角
    (1)借助三角尺能画出15°的倍数的角,在0~180°之间共能画出11个角.
    (2)借助量角器能画出给定度数的角.
    (3)用尺规作图法.
    2.角的比较与运算
    (1)角的比较方法: ①度量法;②叠合法.
    (2)角的平分线:
    从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线,例如:如下图,因为OC是∠AOB的平分线,所以∠1=∠2=∠AOB,或∠AOB=2∠1=2∠2.
    类似地,还有角的三等分线等.





    3.角的互余互补关系
    余角补角
    (1)若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角,∠2是∠1的余角.
    (2)若∠1+∠2=180°,则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角,∠2是∠1的补角.
    (3)结论: 同角(或等角)的余角相等;同角(或等角)的补角相等.
    要点诠释:
    ①余角(或补角)是两个角的关系,是成对出现的,单独一个角不能称其为余角(或补角).
    ②一个角的余角(或补角)可以不止一个,但是它们的度数是相同的.
    ③只考虑数量关系,与位置无关.
    ④“等角是相等的几个角”,而“同角是同一个角” .
    4.方位角
    以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫做方位角.
    要点诠释:
    (1)方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西,三要确定旋转角度的大小.
    (2)北偏东45 °通常叫做东北方向,北偏西45 °通常叫做西北方向,南偏东45 °通常叫做东南方向,南偏西45 °通常叫做西南方向.
    (3)方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
    【典型例题】
    类型一、概念或性质的理解
    1.下列说法正确的是( )
    A.射线AB与射线BA表示同一条射线. B.连结两点的线段叫做两点之间的距离.
    C.平角是一条直线. D.若∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则∠2=∠3.
    【答案】D
    【解析】选项A中端点和延伸方向不同,所以是两条射线;选项B中两点之间的距离是指线段的长度,是一个数值,而不是图形;C中角和直线是两种不同的概念,不能混淆.
    【总结升华】理解概念,掌握概念与概念的本质区别,并进行“比较”性分析和记忆.
    举一反三:
    【变式】下列结论中,不正确的是 ( ).
    A.两点确定一条直线 B.两点之间,直线最短
    C.等角的余角相等 D.等角的补角相等
    【答案】B
    类型二、立体图形与平面图形的相互转化
    2.(2015•泰州)一个几何体的表面展开图如图所示,则这个几何体是(  )

    A.四棱锥 B.四棱柱 C.三棱锥 D.三棱柱
    【答案】A.
    【总结升华】此题主要考查了几何体的展开图,熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键.
    举一反三:
    【变式】 (瞿州模拟)下面形状的四张纸板,按图所示的线经过折叠可以围成一个直三棱柱的是( ).

    【答案】C
    3. (浙江金华)如图所示几何体的主视图是 ( )

    【答案】A
    【解析】从正面看球位于桌面右方,故选A.
    【总结升华】从正面看所得到的图形是主视图,先得到球体的主视图,再得到长方体的主视图,再根据球体在长方体的右边可得出答案.
    类型三、互余互补的有关计算
    4. 已知∠A=53°27′,则∠A的余角等于( ).
    A.37° B.36°33′ C.63° D.143°
    【思路点拨】根据互为余角的定义求解.
    【答案】B
    【解析】∠A的余角为90°-53°27′=36°33′.
    【总结升华】本题考查角互余的概念:和为90度的两个角互为余角.
    举一反三:
    【变式】(2015•东莞模拟)一个角的余角比这个角的补角的一半小40°,则这个角为   度.
    【答案】80.
    解:设这个角为x,则它的余角为(90°﹣x),补角为(180°﹣x),
    由题意得,(180°﹣x)﹣(90°﹣x)=40°,
    解得x=80°.

    类型四、方位角
    5.如图,射线OA的方向是:________; 射线OB的方向是:_________;射线OC的方向是:________ .

    【思路点拨】OA表示的方向是北偏东,再加上其偏转的角度即可,同理OB、OC也是如此.
    【答案】北偏东15°;北偏西40°;南偏东45°.
    【解析】根据方位角的定义解答.
    【总结升华】熟知方位角的定义结合图形便可解答.
    类型五、钟表上的角
    6. (广西钦州)钟表分针的运动可看作是一种旋转现象,一只标准时钟的分针匀速旋转,经过15分钟旋转了________度.
    【答案】90
    【解析】根据钟表的特征;整个钟面是360°,分针每5分钟旋转30°,所以经过15分钟旋转了90°.
    【总结升华】在钟表问题中,常利用时针与分针转动的度数关系:时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°,时针一分钟转过的度数为0.5°;两个相邻数字间的夹角为30°,每个小格夹角为6°,并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形.
    类型六、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算
    1.方程的思想方法
    7. 如图所示,在射线OF上,顺次取A、B、C、D四点,使AB:BC:CD=2:3:4,又M、N分别是AB、CD的中点,已知AD=90cm,求MN的长.

    【思路点拨】有关比例问题,可设每一份为x,列方程求解,再利用中点定义,找出线段的和、差.
    【答案与解析】
    解:设线段AB,BC,CD的长分别是2x cm,3x cm,4x cm,
    ∵AB+BC+CD=AD=90 cm,∴ 2x+3x+4x=90,x=10,
    ∴AB=20 cm, BC=30 cm, CD=40 cm,
    ∴MN=MB+BC+CN=AB+BC+CD=10+30+20=60(cm).
    【总结升华】当已知某线段被分成的几条线段的长度比时,可根据比设未知数x,用x的式子表示相关的线段的长度,列方程求出x的值,进而求出线段的长.
    举一反三:
    【变式】如图所示,已知∠AOC=∠BOD=100°,且∠AOB:∠AOD=2:7,求∠BOC和∠COD的度数.

    【答案】
    解:设∠AOB的度数为2x,则∠AOD的度数为7x.
    由∠AOD=∠AOB+∠BOD及∠BOD=100°,
    可得7x=2x+100°.
    解得x=20°,所以∠AOB=2x=40°.
    所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=100°-40°=60°,
    ∠COD=∠BOD-∠BOC=100°-60°=40°.
    2.分类的思想方法
    8.以∠AOB的顶点O为端点的射线OC,使∠AOC:∠BOC=5:4.
    (1)若∠AOB=18°,求∠AOC与∠BOC的度数;
    (2)若∠AOB=m,求∠AOC与∠BOC的度数.
    【答案与解析】
    解:(1)分两种情况:
    ①OC在∠AOB的外部,可设∠AOC=5x,则∠BOC=4x
    得∠AOB=x,即x=18°
    所以∠AOC=90°,∠BOC=72°
    ②OC在∠AOB的内部,可设∠AOC=5x,则∠BOC=4x
    ∠AOB=∠AOC+∠BOC=9x
    所以9x=18°, 则x=2°
    所以∠AOC=10°,∠BOC=8°
    (2)仿照(1),可得:若∠AOB=m,则∠AOC=,∠BOC=,或∠AOC=5m,∠BOC=4m.
    【总结升华】本题中的已知条件没有明确地说明OC在∠AOB的内部或外部,所以两个问题都必须分类讨论.
    举一反三:
    【变式1】已知线段AB=8cm,在直线AB上画线段BC=3cm,求线段AC的长.
    【答案】
    解:分两种情况:



    (1)如图(1),AC=AB-BC=8-3=5(cm);
    (2)如图(2),AC=AB+BC=8+3=11(cm).
    所以线段AC的长为5cm或11cm.
    【变式2】下列判断正确的个数有 ( )
    ①已知A、B、C三点,过其中两点画直线一共可画三条
    ②过已知任意三点的直线有1条
    ③三条直线两两相交,有三个交点
    A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
    【答案】A
    3.类比的思想方法
    9.(1)如图,线段AD上有两点B、C,图中共有______条线段.

    (2)如图,在∠AOD的内部有两条射线OB、OC,则图中共有 个角.

    【答案】(1)6; (2)6.
    【解析】(1)以A为端点的线段有3条,同样以B,C,D为一个端点的线段也各有3条,又因为所有线段均重复了一次,所以共有线段条数:(条).
    (2)以射线OA为一边的角有3个,同样以OB,OC,OD为一边的角也各有3个,又因为所有角均重复一次,所以共有角的个数:(个).
    【总结升华】用同样的方法解决了不同的问题,用已知的知识类比地学习未知的内容.
    【巩固练习】
    一、选择题
    1.从左边看图1中的物体,得到的是图2中的( ).


    2.如图所示是正方体的一种平面展开图,各面都标有数,则标有数“-4”的面与其对面上的数之积是( ).

    A.4 B.12 C.-4 D.0

    3.在下图中,是三棱锥的是( ).

    4.如图所示,点O在直线AB上,∠COB=∠DOE=90°,那么图中相等的角的对数是( ).

    A.3 B.4 C.5 D.7
    5.如图所示的图中有射线( ).

    A.3条 B.4条 C.2条 D.8条
    6.(2015•宝应县校级模拟)在地理课堂上,老师组织学生进行寻找北极星的探究活动时,李佳同学使用了如图所示的半圆仪,则下列四个角中,最可能和∠AOB互补的角为(  )

    A. B. C. D.
    7.十点一刻时,时针与分针所成的角是( ).
    A.112°30′ B.127°30′ C.127°50′ D.142°30′

    8.在海面上有A和B两个小岛,若从A岛看B岛是北偏西42°,则从B岛看A岛应是( ).
    A.南偏东42° B.南偏东48° C.北偏西48° D.北偏西42°

    二、填空题
    9.把一条弯曲的公路改为直道,可以缩短路程,其理由是________.
    10.已知∠α=30°18′,∠β=30.18°,∠γ=30.3°,则相等的两角是________.
    11.用平面去截一个几何体,如果得出的横截面是圆形,那么被截的几何体是________(填一个答案即可).
    12.(2015秋•泾阳县期中)如图是一个正方体的展开图,和C面的对面是  面.


    13.若∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则∠2=∠3,其根据是________.
    14.若∠α是它的余角的2倍,∠β是∠α的2倍,那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的角是________度.
    15.一副三角板如图摆放,若∠BAE=135 °17′,则∠CAD的度数是 .

    16.如下图,点A、B、C、D代表四所村庄,要在AC与BD的交点M处建一所“希望小学”,请你说明选择校址依据的数学道理 .





    三、解答题
    17. (2015春•淄博校级期中)如图,已知点C为AB上一点,AC=12cm,CB=AC,D、E分别为AC、AB的中点,求DE的长.

    18.如图所示,已知∠COB=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=19°,求∠AOB的度数.




    19.在一张城市地图上,如图所示,有学校、医院、图书馆三地,图书馆被墨水染黑,具体位置看不清,但知道图书馆在学校的北偏东45°方向,在医院的南偏东60°方向,你能确定图书馆的位置吗?

    20.如图所示,线段AB=4,点O是线段AB上一点,C、D分别是线段OA、OB的中点,小明据此很轻松地求得CD=2.在反思过程中突发奇想:若点O运动到AB的延长线上,原来的结论“CD=2”是否仍然成立?请帮小明画出图形并说明理由.

    【答案与解析】
    一、选择题
    1.【答案】B
    【解析】从左边看,圆台被遮住一部分,故选B.
    2.【答案】B
    【解析】由正方体的平面展开图可知,标有数-4的面的对面是标有数-3的面,故两个数之积为12.
    3.【答案】B
    【解析】A选项是四棱锥,B选项是三棱锥,C、D两项都是三棱柱,故选B.
    4.【答案】C
    【解析】因为∠COB=90°,所以∠BOD+∠COD=90°,即∠BOD=90°-∠COD.因为∠DOE=90°,所以∠EOC+∠COD=90°,即∠EOC=90°-∠COD,所以∠BOD=∠EOC.同理∠AOE=∠COD.又因为∠AOC=∠COB=∠DOE=90°(∠AOC=∠COB,∠AOC=∠DOE,∠COB=∠DOE),所以图中相等的角有5对,故选C.
    5.【答案】D
    6.【答案】D.
    【解析】根据图形可得∠AOB大约为135°,∴与∠AOB互补的角大约为45°,
    综合各选项D符合.
    7.【答案】D
    【解析】一刻是15分钟,十点一刻,即10点15分时,时针与分针所成的角为:
    =142.5°=142°30′,故选D.
    8.【答案】A
    【解析】方位角存在这样的规律:甲、乙两地之间的方位角,方向相反,角度相等.由此可知从B岛看A岛的方向为南偏东42°,故选A.

    二、填空题
    9. 【答案】两点之间,线段最短
    【解析】本题是应用线段的性质解释生活中的现象,由于这是两点之间连线长度的比较,符合“两点之间,线段最短”.
    10.【答案】∠α和∠γ
    【解析】,于是∠α=∠γ.
    11.【答案】圆柱(圆锥、圆台、球体等)
    【解析】答案不唯一,例如用平面横截圆锥即可得到圆形.
    12.【答案】F.
    【解析】这是一个正方体的平面展开图,共有六个面,其中面“B”与面“D”相对,面“A”与面“E”相对,“C”与面“F”相对.
    13.【答案】同角的余角相等
    【解析】根据余角的性质解答问题.
    14.【答案】60度或180
    【解析】先求出∠α=60°,∠β=120°;再分∠α在∠β内部和外部两种情况来讨论.
    15.【答案】44°43′;
    【解析】∠BAD+∠CAE=180°,即∠BAE+∠CAD=180°,所以
    ∠CAD=180°-135°17′=44°43′.
    16.【答案】两点之间,线段最短.
    三、解答题
    17.【解析】
    解:∵AC=12cm,CB=AC,
    ∴CB=6cm,
    ∴AB=AC+BC=12+6=18cm,
    ∵E为AB的中点,
    ∴AE=BE=9cm,
    ∵D为AC的中点,
    ∴DC=AD=6cm,
    所以DE=AE﹣AD=3cm.

    18.【解析】
    解:设∠AOC=x°,则∠COB=2x°.
    因为OD平分∠AOB,所以∠AOD=∠AOB= (∠AOC+∠BOC)=x°.
    又因为∠DOC=∠AOD-∠AOC,所以.解得x=38,
    所以∠AOB=3x°=114°.
    19.【解析】
    解:如图所示.在医院A处,以正南方向为始边,逆时针转60°角,得角的终边射线AC.在学校B处,以正北方向为始边,顺时针旋转45°角,得角的终边射线BD.AC与BD的交点为点O,则点O就是图书馆的位置.

    20.【解析】
    解:原有的结论仍然成立,理由如下:
    当点O在AB的延长线上时,如图所示,CD=OC-OD=(OA-OB)=AB=.


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