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    直线、射线、线段(基础)知识讲解

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    法二:用刻度尺作一条线段等于已知线段.例如:可以先量出线段a的长度,再画一条等于这个长度的线段.

    4.基本性质:两点的所有连线中,线段最短.简记为:两点之间,线段最短.

    如图6所示,在AB两点所连的线中,线段AB的长度是最短的.

     

    要点诠释:

    (1)线段是直的,它有两个端点,它的长度是有限的,可以度量,可以比较长短.

    (2)连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离.

    (3)线段的比较:

    度量法:用刻度尺量出两条线段的长度,再比较长短.

    叠合法:利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上,使其中一个端点重合,另一个端点位于重合端点同侧,根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.

    5.线段的中点:把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如图7所示,点C是线段AB的中点,则,或AB2AC2BC

     

    要点诠释:

    若点C是线段AB的中点,则点C一定在线段AB上

    要点三、射线

    1.概念:直线上一点和它一侧的部分叫射线,这个点叫射线的端点.

    如图8所示,直线l上点O和它一旁的部分是一条射线,点O是端点.

     

    2.特征:是直的,有一个端点,不可以度量,不可以比较长短,无限长.

    3.表示方法:1可以用两个大写英文字母表示,其中一个是射线的端点,另一个是射线上除端点外的任意一点,端点写在前面,如图8所示,可记为射线OA

              2)也可以用一个小写英文字母表示,如图8所示,射线OA可记为射线l

    要点诠释:

    (1)端点相同,而延伸方向不同,表示不同的射线.如图9中射线OA,射线OB是不同的射线.

     

    (2)端点相同且延伸方向也相同的射线,表示同一条射线.如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线.

    要点四、直线、射线、线段的区别与联系

    1.直线、射线、线段之间的联系

    1)射线和线段都是直线上的一部分,即整体与部分的关系.在直线上任取一点,则可将直线分成两条射线;在直线上取两点,则可将直线分为一条线段和四条射线.

    2)将射线反向延伸就可得到直线;将线段一方延伸就得到射线;将线段向两方延伸就得到直线.

    2.三者的区别如下表

    要点诠释:

    (1) 联系与区别可表示如下:

    2)在表示直线、射线与线段时,勿忘在字母的前面写上直线”“射线”“线段字样

    【典型例题】

    类型一、相关概念

    1.下列说法中,正确的是(   )

         A.射线OA与射线AO是同一条射线

         B.线段AB与线段BA是同一条线段

         C.过一点只能画一条直线

         D.三条直线两两相交,必有三个交点

    【答案】B

    解析射线OA的端点是O,射线AO的端点是A,所以射线OA与射线AO不是同一条射线,故A错误;过一点能画无数条直线,所以C错误;三条直线两两相交,有三个交点或一个交点(三条直线相交于一点时),所以D错误;线段AB与线段BA是同一条线段,所以B正确.

    【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时,与字母的前后顺序无关,但射线必须是表示端点的字母写在前面,不能互换.

    举一反三:

    【变式1】以下说法中正确的是      

    A.延长线段AB到C                     B.延长射线AB

    C.直线AB的端点之一是A               D.延长射线OA到C

    【答案】A

    【变式2】如图所示,请分别指出图中的线段、射线和直线的条数,并把它们分别表示出来.

    答案

    解:图所示,在直线上点A左侧和点C右侧分别任取点X和Y.

    图中有6条射线:射线AX、射线AY、射线BX、射线BY、射线CX、射线CY.

    有3条线段:线段AB(或BA)、线段BC(或CB)、线段AC(或CA)

    有1条直线:直线AC(或AB,BC).

    类型二、有关作图

    2如图所示,线段a,b,且a>b.

    用圆规和直尺画线段:(1)a+b;(2)a-b.

    答案与解析

    解:(1) 画法如图(1),画直线AF,在直线AF上画线段AB=a,再在AB的延长线上画线段BC=b,线段AC就是a与b的和,记作AC=a+b.

    (2) 画法如图(2),画直线AF,在直线AF上画线段AB=a,再在线段AB上画线段BD=b,线段AD就是a与b的差,记作AD=a-b.

    【总结升华】在画线段时,为使结果更准确,一般用直尺画直线,用圆规量取线段的长度.

    举一反三:

    【变式1】2014商丘期末)如图,C是线段AB外一点,按要求画图:

    1)画射线CB

    2)反向延长线段AB

    3)连接AC,并延长AC至点D,使CD=AC

    【答案

    解:

    【变式2】用直尺作图:P是直线a外一点,过点P有一条线段b与直线a不相交.

    【答案】

    解:

    类型三、有关条数及长度的计算

    3.如图,A、B、C、D为平面内任意三点都不在一条直线上的四点,那么过其中两点,可画出      条直线.

    思路点拨根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数.

    【答案】6条直线

    解析由两点确定一条直线知,点A与B,C,D三点各确定一条直线,同理BC、D各确定一条直线,CD确定一条直线,综上:共有直线:3+2+1=6(条).

    【总结升华】平面上有个点,其中任意三点不在一条直线上,则最多确定的直线条数为:

    举一反三:

    【变式1】如图所示,已知线段AB上有三个定点C、D、E

      (1)图中共有几条线段?

    (2)如果在线段CD上增加一点,则增加了几条线段?你能从中发现什么规律吗?

    【答案】

    解:(1)线段的条数:4+3+2+1=10(条)

    (2)如果在线段CD上增加一点P,则P与其它五个点各组成一条线段,因此,增加了5条线段.

    注解:若在线段AB上增加一点,则增加2条线段,此时线段总条数为1+2;若再增加一点,则又增加了3条线段,此时线段总条数为1+2+3;…;当线段AB上增加到n个点(即增加n-2个点)时,线段的总条数为1+2+……+(n-1)=n(n-1) .

    【变式2】)如图直线m上有4个点A、B、C、D,则图中共有________条射线.

     【答案】8 

     4. 如图所示,AB=40,点C为AB的中点,点D为CB上的一点,点E是BD的中点,且EB=5,求CD的长.

    思路点拨显然CD=CB-BD,要求CD的长,应先确定CB和BD的长.

    答案与解析

    解:因为AB=40,点C为AB的中点,

        所以

        因为点E为BD的中点,EB=5,

    所以BD=2EB=10.所以CD=CB-BD=20-10=10.

    【总结升华】求线段的长度,注意围绕线段的和、差、倍、分展开,若每一条线段长度均已确定,所求问题便可迎刃而解.

    举一反三:

    【变式】在直线l上按指定方向依次取点ABCD,且使ABBCCD=234,如图所示,若AB的中点MCD的中点N的距离是15cm,求AB的长.

     

     

     

    答案

    解:依题意,设AB=2x cm,那么BC=3x cm,CD=4x cm.则有:

         MN=BM+BC+CN= x+3x+2x=15

    解得:

    所以AB=2x =cm.

    类型四、最短问题

    5. 2015新疆)如图所示,某同学的家在A处,星期日他到书店去买书,想尽快赶到书店,请你帮助他选择一条最近的路线(  )

      AACDB B ACFB C ACEFB D ACMB

    【答案B

    【解析】

    根据两点之间的线段最短,

    可得CB两点之间的最短距离是线段CB的长度,

    所以想尽快赶到书店,一条最近的路线是:ACFB

    【总结升华】两点之间线段最短在实际生活中有广泛的应用,此类问题要与线段的性质联系起来,这里线段最短是指线段的长度最短,连接两点的线段的长度叫做两点间的距离,线段是图形,线段长度是数值.

    举一反三:

    【变式】 (1)如图1所示,把原来弯曲的河道改直,A、B两地间的河道长度有什么变化?

    (2)如图2,公园里设计了曲折迂回的桥,这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一座直的桥相比,这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出上述问题中的道理.

    【答案】

    解:(1)河道的长度变小了.

         (2)由于两点之间,线段最短,这样做增加了游人在桥上行走的路程,有利于游人更好地观赏湖面风光,起到休闲的作用.

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