人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试课时训练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试课时训练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)


1.eq \r(lg 9－12)等于( )


A．lg 9－1 B．1－lg 9


C．8 D．2eq \r(2)


解析：因为lg 9＜lg 10＝1，所以eq \r(lg 9－12)＝1－lg 9.


答案：B


2．函数y＝eq \f(1,lg2x－2)的定义域是( )


A．(－∞，2) B．(2，＋∞)


C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)


解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x－2≠0，,x－2＞0，))得x＞2且x≠3，故选C.


答案：C


3．函数f(x)＝eq \f(1,3x＋1)的值域是( )


A．(－∞，1) B．(0,1)


C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)


解析：∵3x＋1＞1，∴0＜eq \f(1,3x＋1)＜1，∴函数值域为(0,1)．


答案：B


4．函数f(x)＝xln x的零点为( )


A．0或1 B．1


C．(1,0) D．(0,0)或(1,0)


解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，


由f(x)＝0得x＝0或ln x＝0，


即x＝0或x＝1.


又因为x∈(0，＋∞)，所以x＝1.故选B.


答案：B


5．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是( )


A．0个 B．1个


C．2个 D．3个


解析：设f(x)＝0.9x－x，则f(x)为减函数，值域为R，故f(x)有1个零点，∴方程0.9x－x＝0有一个实数解．


答案：B


6．已知lg32＝a,3b＝5，则lg3eq \r(30)用a，b表示为( )


A.eq \f(1,2)(a＋b＋1) B.eq \f(1,2)(a＋b)＋1


C.eq \f(1,3)(a＋b＋1) D.eq \f(1,2)a＋b＋1


解析：因为3b＝5，所以b＝lg35，lg3eq \r(30)＝eq \f(1,2)lg330＝eq \f(1,2)(lg33＋lg32＋lg35)


＝eq \f(1,2)(1＋a＋b)．


答案：A


7．已知a＝5，b＝5，c＝(eq \f(1,5))，则( )


A．a＞b＞c B．b＞a＞c


C．a＞c＞b D．c＞a＞b


解析：c＝5lg3eq \f(10,3)只需比较lg23.4，lg43.6，lg3eq \f(10,3)的大小，又0＜lg43.6＜1，lg23.4＞lg33.4＞lg3eq \f(10,3)＞1，所以a＞c＞b.


答案：C


8．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝lgax的图象可能是( )





解析：方法一 当a＞1时，y＝xa与y＝lgax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0＜a＜1时，y＝xa为增函数，y＝lgax为减函数，排除A.由于y＝xa递增较慢，所以选D.


方法二 幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝lgax的图象知0＜a＜1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D对；C项中由对数函数f(x)＝lgax的图象知a＞1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．


答案：D


9．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )


A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%


C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x


解析：经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.


答案：D


10．设函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x与g(x)＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间为( )


A．(0,1) B．(1,2)


C．(2,3) D．(3,4)


解析：令h(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－(3－x)，则f(0)＝－2，f(1)＝－eq \f(5,3)，f(2)＝－eq \f(8,9)，f(3)＝eq \f(1,27).故h(x)的零点在(2,3)内，因此两函数图象交点在(2,3)内．选C.


答案：C


11．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：


则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( )


A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3


C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2


解析：三种常见增长型函数中，指数型函数呈爆炸式增长，而对数型函数增长越来越慢，幂函数型函数介于两者之间，结合题表，只有C符合上述规律，故选C.


答案：C


12．已知函数f(x)＝|x|＋1，g(x)＝k(x＋2)．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))


C．(1,2) D．(2，＋∞)


解析：作出f(x)，g(x)图象，如图．





因为A(0,1)，B(－2,0)，kAB＝eq \f(1－0,0－－2)＝eq \f(1,2)，


要使方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，由图可知，eq \f(1,2)＜k＜1.


答案：B


二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)


13．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ex－1，x＜2，,lg32x－1，x≥2，))则f(f(2))＝________.


解析：因为f(2)＝lg3(22－1)＝1，


所以f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.


答案：2


14．已知函数f(x)＝eq \f(2,3x＋1)＋a的零点为1，则实数a的值为________．


解析：由已知得f(1)＝0，即eq \f(2,31＋1)＋a＝0，解得a＝－eq \f(1,2).


答案：－eq \f(1,2)


15．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．


解析：由题意知，当t＝eq \f(1,2)时，y＝2，即2＝e，


∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.


当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.


即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.


答案：2ln 2 1 024


16．已知0




解析：函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点，分k>0和k<0作出函数f(x)的图象．


当0

当k＝1时，有一个交点；


当k>1或k<0时，没有交点，故当0

答案：(0,1)


三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)


17．(10分)计算：(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4))) －(－0.96)0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))＋1.5－2＋[(－eq \r(3,2))－4]；


(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,4)－lg 25))÷100＋7.


解析：(1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))－2＋[(eq \r(3,2))－4] ＝eq \f(3,2)－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))－2＋(eq \r(3,2))3＝eq \f(1,2)＋2＝eq \f(5,2).


(2)原式＝－(lg 4＋lg 25)÷100＋14＝－2÷10－1＋14＝－20＋14＝－6.


18．(12分)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2，x∈[1，＋∞，,x2－2x，x∈－∞，1，))求函数g(x)＝f(x)－eq \f(1,4)的零点．


解析：求函数g(x)＝f(x)－eq \f(1,4)的零点，


即求方程f(x)－eq \f(1,4)＝0的根．


当x≥1时，由2x－2－eq \f(1,4)＝0得x＝eq \f(9,8)；


当x<1时，由x2－2x－eq \f(1,4)＝0得x＝eq \f(2＋\r(5),2)(舍去)或x＝eq \f(2－\r(5),2).


所以函数g(x)＝f(x)－eq \f(1,4)的零点是eq \f(9,8)或eq \f(2－\r(5),2).


19．(12分)已知f(x)＝lg2(1＋x)＋lg2(1－x)．


(1)求函数f(x)的定义域．


(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以说明．


(3)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))的值．


解析：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋x>0，,1－x>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－1,x<1，))


即－1

所以函数f(x)的定义域为{x|－1

(2)函数f(x)为偶函数．证明如下：


因为函数f(x)的定义域为{x|－1

又因为f(－x)＝lg2[1＋(－x)]＋lg2[1－(－x)]＝lg2(1－x)＋lg2(1＋x)＝f(x)，


所以函数f(x)＝lg2(1＋x)＋lg2(1－x)为偶函数．


(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)))＋lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)))


＝lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)))))


＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝lg2eq \f(1,2)＝－1.


20．(12分)已知函数f(x)＝a3－ax(a>0且a≠1)．


(1)当a＝2时，f(x)<4，求x的取值范围．


(2)若f(x)在[0,1]上的最小值大于1，求a的取值范围．


解析：(1)当a＝2时，f(x)＝23－2x<4＝22,3－2x<2，得x>eq \f(1,2).


(2)y＝3－ax在定义域内单调递减，


当a>1时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，f(x)min＝f(1)＝a3－a>1＝a0，得1

当01，不成立．


综上：1

21．(12分)若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．


解析：(1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，函数必有一个零点－1.


(2)若a≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax2－x－1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a＝0，得a＝－eq \f(1,4).


综上，当a＝0或－eq \f(1,4)时，函数只有一个零点．


22．(12分)某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四月的污染度如下表：


污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：


f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝eq \f(20,3)(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|lg2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．


(1)选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；


(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60?


解析：(1)用h(x)模拟比较合理，理由如下：


因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，


h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5，


由此可得h(x)更接近实际值，


所以用h(x)模拟比较合理．


(2)因为h(x)＝30|lg2x－2|在x≥4时是增函数，


又因为h(16)＝60，故整治后有16个月的污染度不超过60.


x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 635
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
月数
1
2
3
4
…
污染度
60
31
13
0
…