初中数学人教版九年级上册21.2 解一元二次方程综合与测试课后复习题
展开根的判别式
一.选择题(共10小题)
1.若关于x的方程x2﹣x﹣m=0没有实数根,则m的值可以为( )
A.﹣1B.﹣C.0D.1
2.下列方程中,有两个相等实数根的是( )
A.x2+1=2xB.x2+1=0C.x2﹣2x=3D.x2﹣2x=0
3.一元二次方程x2﹣3x+6=0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
4.关于x的一元二次方程x2+(k﹣3)x+1﹣k=0根的情况,下列说法正确的是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.无实数根D.无法确定
5.关于x的一元二次方程(x+1)(x﹣3)﹣p2=0的根的情况是( )
A.只有一个实数根B.有两个相等的实数根
C.两个不相等的实数根D.条件不足,无法计算
6.如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1=0有两个实数根,那么k的取值范围是( )
A.kB.k且k≠0C.k且k≠0D.k
7.直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是( )
A.0个B.1个C.2个D.1个或2个
8.定义运算:m☆n=mn2﹣mn﹣1.例如:4☆2=4×22﹣4×2﹣1=7.则方程1☆x=0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.无实数根D.只有一个实数根
9.定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有a*b=(a+b)(a﹣b)﹣1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例4*3=(4+3)(4﹣3)﹣1=7﹣1=6.若x*k=x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况为( )
A.有一个实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根D.没有实数根
10.关于x的方程kx2﹣(2k+1)x+k+1=0(k为非零常数),下列说法:①当k=1时,该方程的实数根为x=2;②x=1是该方程的实数根;③该方程有两个不相等的实数根.其中正确的是( )
A.①②B.②③C.②D.③
二.填空题(共4小题)
11.一元二次方程x2+3x﹣1=0根的判别式的值为 .
12.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 .
13.已知a、b、c为△ABC的三边长,且方程(a+b)x2﹣2cx+a=b有两个相等的实数根,则△ABC的形状是 .
14.对于实数m、n,定义一种运算“※”为:m※n=mn+n.如果关于x的方程(a※x)※x=有两个相等的实数根,则实数a的值 .
三.解答题(共4小题)
15.已知关于x的方程ax2+2x﹣3=0有实数根.
(1)求a的取值范围;
(2)若该方程有两个相等的实数根,求a的值及方程的根.
16.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2+2(x﹣m)=0(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程有一个根为4,求m的值.
17.已知:关于x的方程mx2﹣4x+1=0(m≠0)有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若方程的根为有理数,求正整数m的值.
18.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+=0.
(1)若x=1是方程的一个解,写出a、b满足的关系式;
(2)当b=a+1时,利用根的判别式判断方程根的情况.
参考答案
一.选择题(共10小题)
1.解:∵关于x的方程x2﹣x﹣m=0没有实数根,
∴△=(﹣1)2﹣4×1×(﹣m)=1+4m<0,
解得:,
选:A.
2.解:A、△=(﹣2)2﹣4×1×1=0,有两个相等实数根;
B、△=0﹣4=﹣4<0,没有实数根;
C、△=(﹣2)2﹣4×1×(﹣3)=16>0,有两个不相等实数根;
D、△=(﹣2)2﹣4×1×0=4>0,有两个不相等实数根.
选:A.
3.解:∵x2﹣3x+6=0,
△=(﹣3)2﹣4×1×6=﹣6<0,
∴方程没有实数根,
即一元二次方程x2﹣3x+6=0的根的情况为没有实数根,
选:D.
4.解:△=(k﹣3)2﹣4(1﹣k)
=k2﹣6k+9﹣4+4k
=k2﹣2k+5
=(k﹣1)2+4,
∴(k﹣1)2+4>0,即△>0,
∴方程总有两个不相等的实数根.
选:A.
5.解:原方程整理为:x2﹣2x﹣(3+p2)=0,
∵△=(﹣2)2+4(3+p2)=16+4p2>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
选:C.
6.解:∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1=0有两个实数根,
∴△=(﹣3)2﹣4×k×1≥0且k≠0,
解得k≤且k≠0,
选:C.
7.解:∵直线y=x+a不经过第二象限,
∴a≤0,
当a=0时,关于x的方程ax2+2x+1=0是一次方程,解为x=﹣,
当a<0时,关于x的方程ax2+2x+1=0是二次方程,
∵△=22﹣4a>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
选:D.
8.解:由题意可知:1☆x=x2﹣x﹣1=0,
∴△=1﹣4×1×(﹣1)=5>0,
选:A.
9.解:∵x*k=x(k为实数)是关于x的方程,
∴(x+k)(x﹣k)﹣1=x,
整理得x2﹣x﹣k2﹣1=0,
∵△=(﹣1)2﹣4(﹣k2﹣1)
=4k2+5>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
选:C.
10.解:关于x的方程kx2﹣(2k+1)x+k+1=0(k为非零常数),
①当k=1时,方程即为x2﹣3x+2=0,则x=1或2,故说法①错误,不符合题意;
②把x=1代入方程,左边=k﹣(2k+1)+k+1=0,右边=0,左边=右边,所以x=1是该方程的实数根,
故说法②正确,符合题意;
③∵k为非零常数,
∴kx2﹣(2k+1)x+k+1=0是关于x的一元二次方程,
∵△=[﹣(2k+1)]2﹣4k(k+1)=1>0,
∴该方程有两个不相等的实数根,
故说法③正确,符合题意;
选:B.
二.填空题(共4小题)
11.解:∵a=1,b=3,c=﹣1,
∴△=b2﹣4ac=9+4=13.
所以一元二次方程x2+3x﹣1=0根的判别式的值为13.
故答案为:13.
12.解:∵方程有两个不相等的实数根,a=1,b=﹣1,c=2m
∴△=b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×1×2m>0,
解得m<,
故答案为m<.
13.解:∵方程(a+b)x2﹣2cx+a=b有两个相等的实数根,
∴△=0,
即(﹣2c)2﹣4(a+b)(a﹣b)=0,
c2﹣(a2﹣b2)=0,
c2﹣a2+b2=0,
c2+b2=a2,
∴△ABC的形状为直角三角形,
故答案为:直角三角形.
14.解:∵a※x=ax+x,
(ax+x)※x=(ax+x)x+x,
∵(a※x)※x=,
∴(ax+x)x+x=,
整理得(a+1)x2+x﹣=0,
根据题意得a+1≠0且△=12﹣4(a+1)×(﹣)=0,
∴a=﹣.
故答案为﹣.
三.解答题(共4小题)
15.解:(1)当a≠0时,是一元二次方程,
∵原方程有实数根,
∴△=22﹣4×(﹣3)a=4+12a≥0,
∴a≥﹣;
当a=0时,2x﹣3=0是一元一次方程,有实数根.
∴a的取值范围为a≥﹣;
(2)根据题意得△=22﹣4×(﹣3)a=0,
解得 a=﹣,
原方程变形为﹣x2+2x﹣3=0,
所以x1=x2=3.
16.(1)证明:(x﹣m)2+2(x﹣m)=0,
原方程可化为x2﹣(2m﹣2)x+m2﹣2m=0,
∵a=1,b=﹣(2m﹣2),c=m2﹣2m,
∴△=b2﹣4ac=[﹣(2m﹣2)]2﹣4(m2﹣2m)=4>0,
∴不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:将x=4代入原方程,得:(4﹣m)2+2(4﹣m)=0,即m2﹣10m+24=0,
解得:m1=4,m2=6.
故m的值为4或6.
17.解:(1)∵m≠0,
∴关于x的方程mx2﹣4x+1=0为一元二次方程,
∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+1=0有实数根,
∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×m×1=16﹣4m≥0,
解得:m≤4.
∴m的取值范围是m≤4且m≠0.
(2)∵m为正整数,
∴m可取1,2,3,4.
当m=1时,△=16﹣4m=12;当m=2时,△=16﹣4m=8;当m=3时,△=16﹣4m=4;当m=4时,△=16﹣4m=0.
∵方程为有理根,
∴m=3或m=4.
18.解:(1)若x=1是方程的一个解,则a(1)2+b(1)+=0,
解得:a+b=﹣;
(2)△=b2﹣4a×=b2﹣2a,
∵b=a+1,
∴△=(a+1)2﹣2a
=a2+2a+1﹣2a
=a2+1>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
初中数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程综合与测试课后测评: 这是一份初中数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程综合与测试课后测评,文件包含专题175一元二次方程根的判别式解析版docx、专题175一元二次方程根的判别式原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共12页, 欢迎下载使用。
人教版九年级上册期末复习:第2讲 根的判别式与根系关系-解题技巧训练 (含解析): 这是一份人教版九年级上册期末复习:第2讲 根的判别式与根系关系-解题技巧训练 (含解析),文件包含第2讲根的判别式与根系关系-解题技巧训练学生版doc、第2讲根的判别式与根系关系-解题技巧训练教师版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共14页, 欢迎下载使用。
初中数学北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系随堂练习题: 这是一份初中数学北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系随堂练习题,文件包含一元二次方程根的判别式及根与系数的关系知识讲解提高doc、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系巩固练习提高doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共11页, 欢迎下载使用。