2020届二轮复习　抽样方法与总体分布的估计学案（全国通用）

2020届二轮复习 　抽样方法与总体分布的估计 学案
五年高考
考点一　随机抽样
1.(2018湖北,2,5分)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.134石 B.169石
C.338石 D.1 365石
答案　B
2.(2018湖南,2,5分)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则(　　)
A.p1=p2 C.p1=p3 答案　D
3.(2018江苏,3,5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取　　　　件. 
答案　18
4.(2018湖南,13,5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.

若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是　　　　. 
答案　4
5.(2018天津,9,5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取　　　　名学生. 
答案　60
教师用书专用(6—11)
6.(2018陕西,2,5分)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为(　　)

A.167 B.137 C.123 D.93
答案　B
7.(2018广东,6,5分)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)

图1

图2
A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10
答案　A
8.(2018课标全国Ⅰ,3,5分)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(　　)
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样 D.系统抽样
答案　C
9.(2018湖南,2,5分)某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是(　　)
A.抽签法 B.随机数法
C.系统抽样法 D.分层抽样法
答案　D
10.(2018陕西,4,5分)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为(　　)
A.11 B.12 C.13 D.14
答案　B
11.(2018江西,4,5分)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(　　)
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481

A.08 B.07 C.02 D.01
答案　D
考点二　用样本估计总体
1.(2018课标全国Ⅲ,3,5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2018年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.

根据该折线图,下列结论错误的是(　　)
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
答案　A
2.(2018山东,3,5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)

A.56 B.60 C.120 D.140
答案　D
3.(2018重庆,3,5分)重庆市2018年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下:
0
8
9



1
2
5
8


2
0
0
3
3
8
3
1
2




则这组数据的中位数是(　　)
A.19 B.20
C.21.5 D.23
答案　B
4.(2018安徽,6,5分)若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为(　　)
A.8 B.15 C.16 D.32
答案　C
5.(2018江苏,4,5分)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是　　　　. 
答案　0.1
6.(2018四川,16,12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.

解析　(1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,
解得a=0.30.
(2)由(1),100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.
(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.
由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.
所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.
教师用书专用(7—15)
7.(2018山东,7,5分)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为(　　)

A.6 B.8 C.12 D.18
答案　C
8.(2018福建,4,5分)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为(　　)

　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.588 B.480
C.450 D.120
答案　B
9.(2018重庆,4,5分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).

已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为(　　)
A.2,5 B.5,5
C.5,8 D.8,8
答案　C
10.(2018辽宁,5,5分)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是(　　)

A.45 B.50 C.55 D.60
答案　B
11.(2018江苏,2,5分)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为　　　　. 
答案　6
12.(2018江苏,6,5分)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有　　　　株树木的底部周长小于100 cm. 

答案　24
13.(2018湖北,11,5分)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中x的值为　　　　; 
(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为　　　　. 

答案　(1)0.004 4　(2)70
14.(2018江苏,6,5分)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为　. 
答案　2
15.(2018广东,17,12分)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
1
7
9

2
0
1
5
3
0



(1)根据茎叶图计算样本均值;
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人;
(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.
解析　(1)样本均值为==22.
(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为=,故推断该车间12名工人中有12×=4名优秀工人.
(3)设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则P(A)==.
三年模拟
A组　2018—2018年模拟·基础题组
考点一　随机抽样
1.(2018江西重点中学盟校第一次联考,1)要从已编号(1~70)的70枚最新研制的某型导弹中随机抽取7枚来进行发射试验,用系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能是(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.5,10,15,20,25,30,35 B.3,13,23,33,43,53,63
C.1,2,3,4,5,6,7 D.1,8,15,22,29,36,43
答案　B
2.(2018湖南永州模拟,3)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则从高二年级抽取的学生人数为(　　)
A.15 B.20 C.25 D.30
答案　A
3.(2018江苏南京联合体学校调研,3)为检验某校高一年级学生的身高情况,现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法抽取一个容量为210的样本,已知每个学生被抽取的概率为0.3,且男女生的比例是4∶3,则该校高一年级女生的人数是　　　　. 
答案　300
4.(2018广东东莞高三模拟,12)要考察某公司生产的500克袋装牛奶中三聚氰胺的含量是否超标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表法抽取样本时,先将800袋牛奶按000,001,…,799进行编号,如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读,则得到的第4个样本个体的编号是　. 
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　 83 92 12 06 76(第7行)
63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　 44 39 52 38 79(第8行)
33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　 99 66 02 79 54(第9行)
答案　068
考点二　用样本估计总体
5.(2018四省名校(南宁二中等)第一次大联考,3)如图是2018年国庆中秋长假期间某客运站客运量比去年同期增减情况的条形图.根据图中的信息,以下结论中不正确的是(　　)

A.总体上,今年国庆长假期间客运站的客流比去年有所增长
B.10月3日、4日的客流量比去年增长较多
C.10月6日的客流量最小
D.10月7日同比去年客流量有所下滑
答案　C
6.(2018广东清远清新一中一模,5)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是(　　)
1
2
3
4
5
6
2 5
0 2 3 3
1 2 4 4 8 9
5 5 5 7 7 8 8 9
0 0 1 1 4 7 9
1 7 8

A.46,45,56 B.46,45,53
C.47,45,56 D.45,47,53
答案　A
7.(2018山西大学附属中学第二次模拟,3)某高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图,根据图中的信息,可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为(　　)

A.20,2 B.24,4 C.25,2 D.25,4
答案　C
8.(2018上海浦东新区期中联考,9)从总体中抽取一个样本:3、7、4、6、5,则总体标准差的估计值为　　　　. 
答案　
B组　2018—2018年模拟·提升题组
(满分:55分　时间:50分钟)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2018山东师大附中第三次模拟,6)下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

A.51 B.58 C.61 D.62
答案　D
2.(2018山东济南外国语学校12月考试,4)给出下列四个命题:
①将A,B,C三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查,若抽取的A个体的个体数为12个,则样本容量为30;
②一组数据1、2、3、4、5的平均数、中位数相同;
③甲组数据的方差为5,乙组数据为5、6、9、10、5,那么这两组数据中较稳定的是甲;
④统计的10个样本数据为95,105,114,116,120,120,122,125,130,134,则样本数据落在[114.5,124.5]内的频率为0.4.其中真命题为(　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
答案　D
3.(2018安徽淮北第二次模拟,4)为比较甲乙两地某月11时的气温情况,随机选取该月5天11时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图,已知甲地该月11时的平均气温比乙地该月11时的平均气温高1 ℃,则甲地该月11时的平均气温的标准差为(　　)
甲

乙
9　8
2
6　8　9
2　m　0
3
1　1

A.2 B. C.10 D.
答案　B
4.(2018广东惠州第一中学第二次调研,5)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)的统计图如图所示,假设得分值的中位数为m,众数为n,平均数为,则(　　)

A.m=n= B.m=n<
C.m 答案　D

二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2018陕西榆林第二中学第七次模拟,13)某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出的钱数在[30,40)的同学比支出的钱数在[10,20)的同学多26人,则n的值为　　　　. 

答案　100
6.(2018安徽安庆二模,15)某学校高二年级共有女生300人,现调查她们每天的课外运动时间,发现她们的课外运动时间介于30分钟到90分钟,根据统计结果绘制的频率分布直方图如下,则她们的平均运动时间大约是　　　　分钟. 

答案　56.5

三、解答题(共25分)
7.(2018四省名校(南宁二中等)第一次大联考,18)在某单位的食堂中,食堂每天以10元/千克的价格购进米粉,然后以4.4元/碗的价格出售,每碗内含米粉0.2千克,如果当天卖不完,剩下的米粉以2元/千克的价格卖给养猪场.根据以往统计资料,得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示,若食堂购进了80千克米粉,以x(千克)(其中50≤x≤100)表示米粉的需求量,T(元)表示利润.
(1)估计该天食堂利润不少于760元的概率;
(2)在直方图的需求量分组中,以区间中间值作为该区间的需求量,以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率,求T的分布列和数学期望.

解析　(1)一千克米粉的售价是4.4×5=22元.
当50≤x≤80时,T=22x-10×80+2(80-x)=20x-640.
当80 故T=
设利润不少于760元为事件A,
当50≤x≤80时,由20x-640≥760解得x≥70,所以70≤x≤80.
当80760显然成立,故70≤x≤100.
由直方图可知,当70≤x≤100时,
P(A)=10×(0.03+0.015+0.02)=0.65.
(2)当x=55时,T=20×55-640=460;
当x=65时,T=20×65-640=660;
当x=75时,T=20×75-640=860;
当x>80时,T=960.
所以T的可能取值为460,660,860,960.
P(T=460)=0.015×10=0.15,
P(T=660)=0.02×10=0.2,
P(T=860)=0.03×10=0.3,
P(T=960)=(0.015+0.02)×10=0.35.
故T的分布列为
T
460
660
860
960
P
0.15
0.2
0.3
0.35

E(T)=460×0.15+660×0.2+860×0.3+960×0.35=795.
8.(2018湖北襄阳四中五模,18)为了引导居民合理用水,某市决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如表:
阶梯级别
第一阶梯水量
第二阶梯水量
第三阶梯水量
月用水量范围
(单位:立方米)
(0,10]
(10,15]
(15,+∞)

从该市随机抽取了10户家庭,统计了同一个月的用水量,得到如图所示的茎叶图.
(1)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯水量的户数X的分布列和均值;
(2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况,从全市依次随机抽取10户,若抽到n户月用水量为第二阶梯水量的可能性最大,求出n的值.


0
1
2
3
7 9
1 2 3 3 4 5
0
2


解析　(1)由茎叶图可知,抽取的10户家庭中用水量为一阶的有2户,二阶的有6户,三阶的有2户.取到第二阶梯水量的户数X的可能取值为0,1,2,3.则P(X=k)=,可得P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.
故X的分布列为:
X
0
1
2
3
P





EX=0×+1×+2×+3×=.
(2)设从全市依次随机抽取10户,抽到Y户月用水量为第二阶梯水量,则Y~B.
P(Y=k)=(k=0,1,2,…,10).
设t==(k=1,2,…,10).若t>1,则k<6.6,P(Y=k-1)6.6,P(Y=k-1)>P(Y=k),∴k取6时P(Y=k)取到最大值.
经过验证k=6时符合题意.∴n=6.
C组　2018—2018年模拟·方法题组
方法1　抽样方法
1.(2018安徽亳州二中5月模拟)某学校有2 500名学生,其中高一1 000人,高二900人,高三600人,为了了解学生的身体健康状况,采用分层抽样的方法,从该校学生中抽取100人,若样本中高一和高三的人数分别为a,b,且直线ax+by+8=0与以A(1,-1)为圆心的圆交于B,C两点,且∠BAC=120°,则圆A的方程为(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(x-1)2+(y+1)2=1 B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y+1)2= D.(x-1)2+(y+1)2=
答案　C
2.(2018山东潍坊高考三模,5)一个总体中有600个个体,随机编号为001,002,…,600,利用系统抽样的方法抽取容量为24的一个样本,总体分组后在第一组随机抽得的编号为006,则在编号为051~125之间抽得的编号为(　　)
A.056,080,104 B.054,078,102
C.054,079,104 D.056,081,106
答案　D
方法2　频率分布直方图的应用
3.(2018湖南长沙二模,18)某种产品的质量以其质量指标衡量,并依据质量指标值划分等级如表:
质量指标值m
m<185
185≤m<205
m≥205
等级
三等品
二等品
一等品

从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如图所示的频率分布直方图:
(1)根据抽样调查的数据,能否认为该企业生产这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的92%”的规定?
(2)在样本中,按产品等级用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率.

解析　(1)根据抽样调查数据知,一、二等品所占比例的估计值为0.200+0.300+0.260+0.090+0.025=0.875,
由于该估计值小于0.92,故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的92%”的规定.
(2)由频率分布直方图知,一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5和0.125,故可抽取一等品3件,二等品4件,三等品1件,
再从这8件产品中随机抽取4件,一、二、三等品都有的情形有2种,
①一等品2件,二等品1件,三等品1件;
②一等品1件,二等品2件,三等品1件,
故所求的概率P==.
方法3　求样本的数字特征及用其估计总体的数字特征
4.(2018贵州遵义航天高中模拟,3)某学生在一门功课的22次考试中,所得分数茎叶图如图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为(　　)

A.117 B.118 C.118.5 D.119.5
答案　B
5.(2018河北衡水武邑中学二模,14)已知一组正数x1,x2,x3的方差s2=(++-12),则数据x1+1,x2+1,x3+1的平均数为　　　　. 
答案　3