2020届二轮复习 随机事件及其概率 教案（全国通用）

2020届二轮复习  随机事件及其概率  教案（全国通用）

【典型例题】

类型一、概率的相关概念

【例1】下面事件：

①实数的绝对值大于0；

②从标有1，2，3，4的4张号签中取一张，得到4号签；

③在标准大气压下，水在100°C沸腾；

④掷一枚硬币，出现反面；

⑤异性电荷相互吸引；

⑥3+5＞10；

随机事件有        ；必然事件        ；不可能事件：     .

【思路点拨】通过本例，要加深对必然事件，不可能事件，随机事件的理解.

【解析】随机事件：①、②、④；

不可能事件：⑥；

必然事件：③、⑤.

【例2】一个口袋装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球：

（1）“取出的球是红球”是什么事件？

（2）“取出的球是黑球”是什么事件？

（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？

【思路点拨】结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念求解。

【解析】（1）由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件；

（2）由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件；

（3）由于口袋内装的黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球鞋。因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件。

【点评】对随机事件的理解应包含下面两个方面：

（1）随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；

（2）随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性。

【例3】已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：

①若任取x∈A，则x∈B是必然事件 ②若xA，则x∈B是不可能事件

③若任取x∈B，则x∈A是随机事件 ④若xB，则xA是必然事件

其中正确的个数是(    )

A、1 B、2 C、3 D、4

【思路点拨】本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用.

【解析】答案：C

①③④正确，②错误.

【名师指引】正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的．此类题目多见于选择判断题，比较简单，但要求对相关的的概念要掌握牢固，否则易出现混淆。

举一反三：

【变式】事件“时，”是（　　）

A.必然事件      B.不可能事件      C.随机事件   D.以上均不正确

【答案】A

类型二、随机事件的频率与概率

1．随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率；

2．概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近。只要次数足够多，所是频率就近似地当做随机事件的概率。

【例4】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：

（1）计算表中进球的频率；

（2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？

【思路点拨】解答本题可根据频率的计算公式，其中为相同条件下重复的试验次数，为事件A出现的次数，且随着试验次数的增多，频率接近概率。

【解析】（1）由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为

（2）由（1）知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在的附近摆动，可知该运动员投篮一次，进球的概率约为。

【例5】在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式

作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．

(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；

(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．

【思路点拨】采用列举法列举出基本事件个数，再利用概率公式加以求解。

【解析】设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B.

从六种中随机选两种共有(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)15种．

(1)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故P(A)＝.

(2)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于1”的取法有1种：(0,1)；“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于2”的取法有1种：(0,2)，

故P(B)＝1－(＋)＝.

【总结升华】将分类讨论的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，作到不重不漏．

举一反三：

【变式】据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别0.4,0.5,0.1.

(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；

(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．

【解析】法一：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，

∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.

(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．

∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2)．

∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，

一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，

∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)，由事件的独立性得

P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.

法二：(1)设事件A表示“一个月内被投诉2次”，事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”．

∵P(A)＝0.1，∴P(B)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.

(2)同法一．

类型三、互斥事件、对立事件的概率

【例6】甲、乙两人参加普法知识问答，共有10个不同的题目，其中选择题6个、判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题

（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

（2）甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少？

【思路点拨】先设事件，再分析事件的性质，然后根据互斥事件概率求法求解。

【答案】甲、乙两人依次抽一题的结果有个

（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的结果有个，

所求概率；

（2）

法一：因为甲，乙二人都没有抽到选择题的概率是，

故甲，乙二人中至少有一人抽到的概率为.

法二：甲，乙二人中至少有一人抽到选择题包含着三种情况：

甲，乙二人都抽到选择题，其概率为

甲抽到选择题，乙抽到判断题，其概率为

甲抽到判断题，乙抽到选择题，其概率为，

三种情况是三个互斥事件，

故甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率P=.

【总结升华】求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算。二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便。

举一反三：

【变式1】【高清课堂随机事件及其概率例题7】从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是(   )

A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

【答案】C.

【变式2】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率．

【答案】

（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．

则互斥，且，故

于是．解得（舍去）．

（2）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．

若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有件，

故．

.

【例7】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．

（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；

（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．

【解析】记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，

则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．

，

．

（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．

表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．

表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．

则．

，．

∴．

【变式】某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）少于7环的概率.

【解析】（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为P=0.21+0.23=0.44.

（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03.

【例8】某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人.

(I) 求这三个社团共有多少人？

(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.

【思路点拨】（I）根据围棋社共有60人，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人，得到三个社团的总人数．

（II）本题是一个等可能事件的概率，列举出试验发生包含的事件，根据概率公式得到结果．

【解析】（I）围棋社共有60人，                                

        由可知三个社团一共有150人.

（II）设初中的两名同学为，高中的3名同学为,

     随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:

     ，共10个基本事件.

     设事件表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”，

     则事件共有  6个基本事件.

   .                                       

     故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为.   

【总结升华】本题主要考查等可能事件的概率，解决等可能事件的概率问题最有效的工具是列举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数．