2020届二轮复习随机事件及其概率教案（全国通用）

2020届二轮复习  随机事件及其概率   教案（全国通用）

类型一、概率的相关概念

【例1】下面事件：

①实数的绝对值大于0；

②从标有1，2，3，4的4张号签中取一张，得到4号签；

③在标准大气压下，水在100°C沸腾；

④掷一枚硬币，出现反面；

⑤异性电荷相互吸引；

⑥3+5＞10；

随机事件有        ；必然事件        ；不可能事件：     .

【思路点拨】通过本例，要加深对必然事件，不可能事件，随机事件的理解.

【解析】随机事件：①、②、④；

不可能事件：⑥；

必然事件：③、⑤.

举一反三：

【变式】【高清课堂随机事件及其概率例1】 指出下列事件哪些是不可能事件，哪些是必然事件，哪些是随机事件？

（1）导体导电时发热；

（2）抛一块石头，下落；

（3）在标准大气压下且温度低于0℃时冰融化；

（4）某人射击一次中靶；

（5）掷一枚硬币，正面向上；

（6）摸彩票中头奖

【解答】随机事件： （4）、（5）、（6）

不可能事件： （3）

必然事件：（1）、（2）

【例2】一个口袋装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球：

（1）“取出的球是红球”是什么事件？

（2）“取出的球是黑球”是什么事件？

（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？

【思路点拨】结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念求解。

【解析】（1）由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件；

（2）由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件；

（3）由于口袋内装的黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球鞋。因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件。

【点评】对随机事件的理解应包含下面两个方面：

（1）随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；

（2）随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性。

【例3】从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.

（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；

（2）至少有1件次品和全是次品；

（3）至少有1件正品和至少有1件次品；

（4）至少有1件次品和全是正品.

【解析】依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，但它们不是对立事件，同理可以判断：（2）（3）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件

【总结升华】解决此类问题，应结合互斥事件和对立事件的定义.

【例4】已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：

①若任取x∈A，则x∈B是必然事件 ②若xA，则x∈B是不可能事件

③若任取x∈B，则x∈A是随机事件 ④若xB，则xA是必然事件

其中正确的个数是(    )

A、1 B、2 C、3 D、4

【思路点拨】本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用.

【解析】答案：C

①③④正确，②错误.

【名师指引】正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的．此类题目多见于选择判断题，比较简单，但要求对相关的的概念要掌握牢固，否则易出现混淆。

举一反三：

【变式】在1、2、3、……、10这10个数字中，任取3个数字，那么事件“这3个数字之和大于6”是（    ）

A.必然事件      B.不可能事件      C.随机事件   D.以上均不正确

【答案】C

类型二、随机事件的频率与概率

1．随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率；

2．概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近。只要次数足够多，所是频率就近似地当做随机事件的概率。

【例5】在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式

作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．

(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；

(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．

【思路点拨】采用列举法列举出基本事件个数，再利用概率公式加以求解。

【解析】设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B.

从六种中随机选两种共有(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)15种．

(1)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故P(A)＝.

(2)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于1”的取法有1种：(0,1)；“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于2”的取法有1种：(0,2)，

故P(B)＝1－(＋)＝.

【总结升华】将分类讨论的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，作到不重不漏．

举一反三：

【变式】据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别0.4,0.5,0.1.

(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；

(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．

【解析】法一：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，

∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.

(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．

∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2)．

∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，

一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，

∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)，由事件的独立性得

P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.

法二：(1)设事件A表示“一个月内被投诉2次”，事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”．

∵P(A)＝0.1，∴P(B)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.

(2)同法一．

类型三、互斥事件、对立事件的概率

【例6】一盒中装有各色小球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1球，求：

（1）       取出1球是红球或黑球的概率；

（2）       取出1球是红球或黑球或白球的概率.

【思路点拨】先设事件，再分析事件的性质，然后根据互斥事件概率求法求解。

【解析】记事件A1={任取一球为红球}，A2={任取一球为黑球}，A3={任取一球为白球}， A4={任取一球为绿球}，则

（1）

（2）

（或）

【总结升华】（1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定用哪一个公式进行计算。

（2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算。二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便。

（3）互斥事件、对立事件的定义是判断两事件是否是互斥事件、对立事件的一种最有效、最简便的基本方法。

举一反三：

【变式】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率．

【答案】

（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．

则互斥，且，故

于是．解得（舍去）．

（2）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．

若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有件，

故．

.

【例7】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．

（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；

（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．

【解析】记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，

则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．

，

．

（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．

表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．

表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．

则．

，．

∴．

【变式】某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）少于7环的概率.

【解析】（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为P=0.21+0.23=0.44.

（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03.