2020届二轮复习函数的奇偶性与周期性课时作业（全国通用） 练习
展开第3节 函数的奇偶性与周期性
课时作业
基础对点练(时间：30分钟)
1．下列函数为奇函数的是( )
(A)y＝ (B)y＝|sin x|
(C)y＝cosx (D)y＝ex－e－x
D 解析：y＝是非奇非偶函数；y＝|sin x|和y＝cos x是偶函数；y＝ex－e－x是奇函数，故选D.
2．f(x)＝是奇函数，则g(－4)＝( )
(A)2 (B)－
(C)－ (D)－2
D 解析：由题意知，当x＜0时，g(x)＝－(－x)，所以g(－4)＝－＝－2，故选D.
3．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
(A)奇函数，且在(0,1)上是增函数
(B)奇函数，且在(0,1)上是减函数
(C)偶函数，且在(0,1)上是增函数
(D)偶函数，且在(0,1)上是减函数
A 解析：f(x)定义域为(－1,1)，且关于原点对称，又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，显然，f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.
4．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)是偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log2 5)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
(A)a＜b＜c (B)a＜c＜b
(C)c＜a＜b (D)c＜b＜a
答案：C
5．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈(0，]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(x)在区间(1，]上是( )
(A)减函数且f(x)＞0 (B)减函数且f(x)＜0
(C)增函数且f(x)＞0 (D)增函数且f(x)＜0
B 解析：∵f(x)是R上的奇函数，则有f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)．若当x∈，则x－1∈，f(x)＝－f(x－1)＝－log2x，∴f(x)在区间内是减函数且f(x)＜0，故选B.
6．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
(A)－3 (B)－1 (C)1 (D)3
C 解析：∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由题意可知
f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，
则f(1)＋g(1)＝1，故选C.
7．(2019衡水中学)已知f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
(A) (B)
(C) (D)
B 解析：f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，－2b＋1＋b＝0，
∴b＝1，f(x)在[－2,0]上为增函数，
所以f(x)在[0,2]上为减函数，
由f(x－1)≤f(2x)得f(|x－1|)≤f(|2x|)，
故，
解得－1≤x≤，故选B.
8．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(－x)·x＞0的解集是( )
(A)(－1,0)∪(0,1) (B)(－1,1)
(C)(－3，－1)∪(0,1) (D)(－1,0)∪(1,3)
A 解析：∵f(x)是(－3,3)上的奇函数，∴f(x)的图像关于原点对称且f(－x)＝－f(x)．
又∵f(－x)·x＞0，即f(x)·x＜0，即或由图像可得0＜x＜1或－1＜x＜0，故选A.
9．已知函数f(x)为奇函数，函数f(x＋1)为偶函数，f(1)＝1，则f(3)＝______.
解析：根据条件可得f(3)＝f(2＋1)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
答案：－1
10．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________________．
解析：在f(x)－g(x)＝x中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.于是解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
11．设f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)<－.
解：(1)因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，
又因为当x>0时，f(x)＝，
所以当x<0时，
f(x)＝－f(－x)＝－＝.
(2)f(x)<－，当x>0时，即<－，
所以<－，所以>，所以3x－1<8，
解得x<2，所以x∈(0,2)，
当x<0时，即<－，所以>－，
所以3－x>32，所以x<－2，
所以解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
能力提升练(时间：15分钟)
12．函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，下列说法正确的是( )
①函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)；
②函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)；
③函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(x)；
④函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．
(A)①③ (B)②④
(C)①② (D)③④
C 解析：根据图象知函数f(x)的图象关于原点对称，故为奇函数，所以①正确；又其图象关于直线x＝1对称，所以②正确．
13．设函数f(x)是定义在R上奇函数，且f(x)＝，则g(－8)＝( )
(A)－2 (B)－3 (C)2 (D)3
A 解析：由分段函数解析式可知：g(－8)＝f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2，故选A.
14．(2018菏泽模拟)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)现有以下三种叙述：
①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．
其中正确的序号是________．
解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，得f(4＋x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．
答案：①②③
15．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
结合f(x)的图像知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)．
(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解：由f(x＋2)＝－f(x)，
且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，
所以当x∈[2,4]时，x－2∈[0,2]．
f(x)＝－f(x－2)＝－[2(x－2)－(x－2)2]＝x2－6x＋8.
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．
(3)解：因为f(0)＝0，f(2)＝0，
f(1)＝1，f(3)＝－1，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝f(2 016)＝f(0)＝0.
