2020届二轮复习空间向量与立体几何综合课时作业（全国通用） 练习

 第十三讲 空间向量与立体几何综合
A组
一、 选择题
1、已知是非零向量，若向量是平面的一个法向量，则“”是“向量所在的直线平行于平面”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
答案：B
2、已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（　　）
A．1 B. C. D.
【解析】 D 与互相垂直，
解得，故选D．
3、在空间直角坐标系中，平面的法向量为, 已知，则P到平面的距离等于 （　　）
A． B. C. D.
【解析】B 因为向量在平面OAB的法向量投影的绝对值为P到平面OAB的距离，所以
4、如图，空间四边形中，，分别是，的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析： 如图所示，连结，则由是的中点
可得，又，故
二、填空题
5、若,,则为邻边的平行四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】
因为,所以,故所求的平行四边形的面积为.
6、如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ）

A．21 B．22 C．23 D．25
【答案】B
【解析】在上取点，使得，则面，连结，则．在平面上，以所在直线为轴，以所在直线为轴，由题意可知，点轨迹为抛物线，其方程为，点坐标为，设，则（其中，当时，，故．

三、解答题
7．（2017年北京卷理）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（I）求证：M为PB的中点；
（II）求二面角B-PD-A的大小；
（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．


【解析】（I）设交点为，连接.
因为平面，平面平面，所以.
因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.

（II）取的中点，连接，.
因为，所以.
又因为平面平面，且平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为是正方形，所以.
如图建立空间直角坐标系，则，，，
，.
设平面的法向量为，则，即.
令，则，.于是.
平面的法向量为，所以.
由题知二面角为锐角，所以它的大小为.

（III）由题意知，，.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.

8．A
P
B
C
D
如图，在四棱锥P—ABCD中， ，，且四边形ABCD为菱形，，.
（1）求证：；
（2）求平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值。
【解析】（1）证：取AB边中点G，连接PG，DG，DB。
∵ ∴ ………2分
又∵四边形ABCD为菱形且 ∴为等边三角形 ∴
A
P
B
C
D
又∵ ∴
又∵ ∴ ………5分
（2）又∵，，
G
且
∴
G
A
P
B
C
D
x
y
z
∴以G为原点，GA，GD，GP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则
∴G(0，0，0),，，
∴，
∵，且，
∴
∴为的法向量，且
设为的法向量

令，则，且
∴∴
又平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角为锐角，故所求二面角的平面角的余弦值为。



9、如图，在斜三棱柱中，点O是的中点，平面.
已知,.
(1)求证：; (2)求与平面所成角的正弦值.
【解析】建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,
则,,,,
（1）,,,
(2)设,设平面的一个法向量是，则，
令，得

与平面所成角的正弦值为.
10、如图，四边形中，，，，面，，且.
（1）求证：面；
（2）若二面角的大小为，求与面所成角的正弦值.

【解析】（1）证明：设交于，连接，在中，由余弦定理可得：.
∴，∴，
∵，∴∽.
∴，∴，
又，∴四边形为平行四边形.
∴.
又∵面，面，
∴面.
（2）∵面
∴，，
分别以所在直线建立如图所示空间直角坐标系，
则，设，则
∴，，
设平面的法向量为，则
，即，
取，有
易知平面的一个法向量
∴
解得
∴，易知面的一个法向量，
∴
∴直线与面所成角的正弦为.
11、如图，已知边长为6的菱形与相交于，将菱形沿对角线折起，使．

（1）若是的中点，求证：在三棱锥中，直线与平面平行；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在三棱锥中，设点是上的一个动点，试确定点的位置，使得．
【解析】（1）证明：因为点是菱形的对角线的交点，
所以是的中点，
又点是棱的中点，
所以是的中位线，，
因为平面平面，
所以平面
（2）解：由题意可知，，
因为，所以，
又因为菱形，所以，
建立空间直角坐标系，如图所示，

则，
所以．　
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，所以．
因为，所以平面，
平面的法向量与平行，
所以平面的一个法向量为，
，
因为二面角的平面角是锐角
所以二面角的余弦值为
（3）解：设，因为是线段上的一个动点，设，
即，
所以，
则，
由，得：，即，
解得：
所以点的坐标为
12．（2017年全国1卷理）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=PD=AB=DC,,求二面角A-PB-C的余弦值.

【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）在平面内做，垂足为，
由（1）可知，平面，故，可得平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）及已知可得，，，.
所以，，，.
设是平面的法向量，则
，即，
可取.
设是平面的法向量，则
，即，
可取.
则，
所以二面角的余弦值为.


B组
一、 选择题
1、已知平面的法向量为,点不在内,则直线与平面的位置关系为
A． B．
C．与相交不垂直 D．
【答案】D
【解析】
,而点不在内,故
2、在正方体中,若是的中点,则异面直线与所成角的大小是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
如图建系,设正方形棱长为2,则,,
则,,∵,即,
即异面直线与所成角为.
3、空间四边形中,,,,点在上,且,点为中点,则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由题意 ；又 ,,,．故选B．
4、正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，则，设为平面的一个法向量，则，取，设与平面所成的角为，则
图3
二、填空题
5、如图3，在棱长为的正方体内（含正方体表面）任取一点，则的概率 .
【解析】由几何概型的计算公式得.
6、在直三棱柱中,底面ABC为直角三角形,,. 已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点,Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若,则线段的长度的最小值为 .
【答案】
【解析】
建立直角坐标系,以Ａ为坐标原点,ＡＢ为ｘ轴,ＡＣ为ｙ轴,ＡＡ１为ｚ轴,则（
）,,,（）.所以,.
因为,所以,由此推出 .又,
,从而有 .
三、解答题
7、如图，在三棱柱中，已知，，，.
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.

【解析】（1）连结，在中，
∵
∴.
又，∴由勾股定理的逆定理，得为直角三角形.
∴.
∵，，,
∴平面.
∵平面
∴
（2）在中，∵,,则由勾股定理的逆定理，得为直角三角形，
∴.
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
设平面的法向量为.
由.
令，则平面的一个法向量为.
设平面的法向量为.
由.
令，则平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，易知为锐角.
∴.



8、如图，四棱锥中，底面是平行四边形，且平面，，与底面所成角为.
（I）证明：平面平面；
（II）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.
【解析】（I） 底面是平行四边形，且,
又平面，
，面…
平面平面
（II）平面，与底面所成角为
在中，
在中，
，故 ，
设与相交于点，取的中点，连结，则
平面，平面
以分别为轴方向建立空间直角坐标系，则 ， ,

，，
设平面的法向量
由 得 ，取 ，
则
故平面的一个法向量为
由 得 ，取 ，则
平面的一个法向量

设平面与平面所成二面角为，且因为为锐角.
，即平面与平面所成二面角的余弦值为
9、如图，在空间几何体中，平面平面，与都是边长为2的等边三角形，，点在平面上的射影在的平分线上，已知和平面所成角为.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.

【解析】证明：由题意知，与都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则.又∵平面平面，平面,作平面,那么，根据题意，点落在上，∵和平面所成角为，∴.∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴.∵平面，平面，∴平面
（2）由已知，两两互相垂直，故以为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，得.


∴,设平面的一个法向量为.
∵,∴.令∴取
又∵平面的一个法向量，
∴.
又由图知，所求二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值.
10、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）若二面角大小的为 ，求的长．
【解析】（1）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形， ∴CD // BQ (2分)
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面MQB，∴平面MQB⊥平面PAD (5分)
（2）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD． (6分)
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则，，，，
由 ，且，得
所以 又，
∴ 平面MBQ法向量为
由题意知平面BQC的法向量为
∵二面角M-BQ-C为60° ∴，∴
∴



（C组）
二、 选择题
1、在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A． B．且
C．且 D．且
【答案】D
【解析】
三棱锥在平面上的投影为，所以，
设在平面、平面上的投影分别为、，则在平面、上的投影分别为、，因为，，所以，
故选D.

2、已知棱长为2的正方体，是过顶点圆上的一点，为中点，则与面所成角余弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，连结，交于点，过作的垂线交延长，交于，结合图形得与面所成角余弦值是与面所成角余弦值的最小值，过作的平行线交圆于，此时与面所成角余弦值的取最大值，由此能求出与面所成角余弦值的取值范围．
3、如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（ ）
A． B．
C． D．

【答案】D
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,设平面的法向量为,则由题设,即,令,则,所以由平面,则,即,也即,所以.因平面的法向量为,故与平面所成角的正弦值,正切值,令,则,所以,即,所以应选D.

4、在正三棱锥中，底面边长，侧棱，，分别是线段，上的动点（可以和端点重合），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】如下图所示，设，，，，
∴
，∴当，时，
，当，或时，，即的取值范围是，故选A.


二、填空题
5、直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1、M
N
A
C
B
z
x
y
C1
B1
A1
A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为
【解析】 如图，分别以C1B1，C1A1，C1C为x，y，z轴，建立坐标系，
令CA＝2，则A（0，2，2），B（2，0，2），
M（1，1，0），N（0，1，0）．　∴　＝（－1，1，－2），
＝（0，－1，－2）．
cos＝＝＝，
6、如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .


【解答】：（求解对照）以A为坐标原点，AB为轴，AQ为轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则 设，其中，
，
，令，则

当，即M在Q时，取最大值.
三、解答题
7、三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示．设，分别是线段，的中点，为线段上的点，且．
（1） 证明：为线段的中点；
（2） 求二面角的余弦值．





【解析】（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图知，在三棱锥中：
平面平面，．设为的中点，连接，．于是，且，所以平面，进而．
因为，分别为线段，的中点，所以，又，于是．
假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线，从而平面，这与矛盾．所以是线段的中点．
（2）过作交于，因为，所以；又因为，所以即为二面角的平面角．连接，在中，，（其中），所以．
8、如图，矩形中，（），将其沿翻折，使点到达点的位置，且二面角的直二面角.
（1）求证：平面平面；
（2）设是的中点，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围.

【解析】（Ⅰ）二面角为直二面角，
平面


平面
平面平面

（Ⅱ）解法1：如图，以为坐标原点，以长为一个单位长度，
建立如图空间直角坐标系，

则
则
设平面的法向量为
则，取，则
同理设平面的法向量为


解法2：过作于，过作于，连，则
则二面角的平面角为
为的中点

由，得


9、如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，,为棱的中点.
（Ⅰ）证明:；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若为中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.


【解析】（Ⅰ）证明：因为底面，
　所以．
　因为，
z
y
x
E
B
C
D
A
P
　所以.
由于，
所以有．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………４分
（Ⅱ）解：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），
　不妨设，可得，，，
　.
由为棱的中点，得.
　向量,.
　设为平面的法向量，则即．
　不妨令，可得（1,1,1）为平面的一个法向量.
所以 .
　所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）解：向量，，.
　由点在棱上，设.
　故 .
　由，得，
　因此，，解得.
所以 .
10、如图1，在等腰梯形中，，，， 为中点，点分别为的中点．将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）侧棱上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不
存在，请说明理由．

【解析】（Ⅰ）如图1，在等腰梯形中，
由，，，为中点，
所以为等边三角形．如图2,
　
因为为的中点，所以．
又因为平面平面，
且平面平面，
所以平面，所以．
（Ⅱ）连结，由已知得，又为的中点，
所以．
A1
xzX
yzX
zzX
F
O
B

C
D
E
P
由（Ⅰ）知平面，
所以，
所以两两垂直．
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为，易知．
所以，
所以．
设平面的一个法向量为，
由 得 即
取，得．
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）假设在侧棱上存在点，使得平面．
设，．
因为，
所以．
易证四边形为菱形，且，
又由（Ⅰ）可知，，所以平面．
所以为平面的一个法向量．
由，得．
所以侧棱上存在点，使得平面，且．