2020届二轮复习解析几何综合问题作业
展开题型练7 大题专项(五) 解析几何综合问题
题型练第61页
1.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
解:设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F,
故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=-.
从而-,得t=-.
所以l的方程为y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.
从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=.
故|AB|=.
2.设椭圆E的方程为=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.
解:(1)由题设条件知,点M的坐标为,
又kOM=,从而,
进而得a=b,c==2b,
故e=.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为=1,点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为b+,-b+.
又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,
从而有解得b=3.
所以a=3,故椭圆E的方程为=1.
3.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.
解:(1)设F(c,0),由,
即,可得a2-c2=3c2,
又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
所以,椭圆的方程为=1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0),
则直线l的方程为y=k(x-2).
设B(xB,yB),由方程组
消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
解得x=2或x=,
由题意得xB=,从而yB=.
由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),.
由BF⊥HF,得=0,所以=0,
解得yH=.
因此直线MH的方程为y=-x+.
设M(xM,yM),由方程组消去y,
解得xM=.
在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,
即(xM-2)2+,化简得xM≥1,
即≥1,解得k≤-或k≥.
所以,直线l的斜率的取值范围为.
4.已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.
(1)求直线l的斜率的取值范围;
(2)设O为原点,=λ=μ,求证:为定值.
(1)解因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),
所以4=2p,解得p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
由题意可知直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).
由得k2x2+(2k-4)x+1=0.
依题意,Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,
解得k<0或0<k<1.
又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k≠-3.
所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).
(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2).
由(1)知x1+x2=-,x1x2=.
直线PA的方程为y-2=(x-1).
令x=0,得点M的纵坐标为yM=+2=+2.
同理得点N的纵坐标为yN=+2.
由=λ=μ,
得λ=1-yM,μ=1-yN.
所以
=
==2.
所以为定值.
5.(2019山东济南3月模拟)设M是抛物线E:x2=2py(p>0)上的一点,抛物线E在点M处的切线方程为y=x-1.
(1)求E的方程.
(2)已知过点(0,1)的两条不重合直线l1,l2的斜率之积为1,且直线l1,l2分别交抛物线E于A,B两点和C,D两点.是否存在常数λ使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)(方法一)由消y,
得x2-2px+2p=0.
由题意得Δ=4p2-8p=0.
因为p>0,所以p=2.
故抛物线E的方程为x2=4y.
(方法二)设P.由x2=2py,得y=,y'=.
由
解得p=2.
故抛物线E的方程为x2=4y.
(2)假设存在常数λ使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|成立,
则λ=.
由题意知,l1,l2的斜率存在且均不为零.
设l1的方程为y=kx+1(k≠0),
则由消去y得,x2-4kx-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=4k,x1·x2=-4.
所以|AB|==4(1+k2).
所以λ=.
所以,存在常数λ=,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|成立.
