2019届二轮复习 函数与方程 学案（全国通用）
展开【学习目标】
1、理解函数最大（小）值及其几何意义；
2、能够借助函数图像的直观性得出函数最值；
3、能够用函数的性质解决日常生活中简单的实际问题。
【重难点】
1、重点：理解函数最大（小）值及其几何意义；
2、难点：利用函数单调性求函数最值。
【自主学习】
1、观察下列各个函数的图象.
探讨下列变化规律：① 随x的增大，y的值有什么变化？
② 能否看出函数的最大、最小值？
2、画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
（1）说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
（2）指出图象的最高点或最低点。
① ②，
③ ④
【知识梳理】 ]
1、函数最大值概念： 学, , ,X,X,K]
一般地，设函数的定义域为. 如果存在实数满足：
对于任意，都有 ；
存在，使得 .
那么，称是函数 的最大值.
2、仿照函数最大值的定义，试给出函数的最小值的定义
注意：
最值——包括最大值和最小值，最值可能存在，也可能不存在，由自变量的取值范围决定.
3、函数最值与单调性的联系
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为 ，最小值为 ．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为 ，最小值为 ．
核心能力必练
一、选择题
1.设函数是R上的减函数，则有 ( ) ]
- B. C. D.
【答案】C
【解析】函数要为减函数需满足，即.
2.函数f(x)在[－4，4]上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分别是 ( )
A．f(－4)， 0 B．0，4
C．f(－4)，4 D．f(4)，4
【答案】C
3．函数y＝－3x2＋6x－2的单调递减区间是( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
【答案】B
【解析】∵y＝－3x2＋6x－2＝－3(x－1)2+1，
∴函数的单调递减区间是[1，＋∞)．
4.下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是 （ ）
- B. C. D.
【答案】C
5．函数y＝f(x)在R上为减函数，且f(3a)<f(－2a＋10)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(0，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【答案】C
【解析】因为函数y＝f(x)在R上为减函数，且f(3a)<f(－2a＋10)，所以3a＞－2a＋10，即a＞2.
6．已知函数y＝x2－4x＋7在闭区间[0，m]上有最大值7，最小值3，则m的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[0，4]
C．(－∞，4] D．[2，4]
【答案】 D
【解析】f(x)＝(x－2)2＋3，∵f(x)min＝3，f(x)max＝7，且f(2)＝3，f(0)＝f(4)＝3，∴2≤m≤4，故选D.
7．已知函数y＝−mx和y＝在(0，＋∞)上都是增函数，则函数f(x)＝mx＋n在R上是( )
A．减函数且f(0)＜0 B．增函数且f(0)＜0
C．减函数且f(0)＞0 D．增函数且f(0)＞0
【答案】A
【解析】∵y＝−mx和y＝在(0，＋∞)都是增函数，∴m＜0，n＜0，f(x)＝mx＋n为减函数且f(0)＝n＜0，故选A.
8．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是 ( )
A．(，0) B．[，0)
C．(－∞，2] D．(－∞，0)
【答案】B
【解析】由x≥1时，f(x)＝－x2＋ax－3a是减函数，得a≤2， ]
由x<1时，函数f(x)＝2ax＋1是减函数，得a<0，
分段点1处的值应满足－12＋a×1－3a≤1×2a＋1，
解得a≥，∴≤a<0.
]
二、填空题
9.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x+5)＜f(3－x)，则x的取值范围为 ．
【答案】
10．对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c（a∈R，且a≠0），在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝ax2＋bx＋c的下确界，则f(x)=x2－4x＋6的下确界为 ．
【答案】2
【解析】f(x)=x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，则f(x)=x2－4x＋6的下确界为2.
11.某超市将进货单价为10元的商品按12元一件的价格出售时，每天可销售80件，现在准备采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，当该商品利润最大时，售价应定为 元.
【答案】15
【解析】设商品售价定为x元时，利润为y元，则y＝(x－10)[80－(x－12)·10]
＝－10[(x－15)2－25]＝－10(x－15)2＋250(10＜x＜20)，
当且仅当x＝15时，y有最大值250，
即售价定为15元时可获取最大利润250元.
三、解答题
12.已知二次函数f(x)＝ax2＋4ax＋1在区间[－4，3]上的最大值为5，求a的值．
【答案】－1或
【解析】f(x)＝a(x2＋4x)＋1＝a(x＋2)2－4a＋1.
①若a<0，则当x＝－2时，f(x)max＝f(－2)=－4a＋1=5，∴a＝－1.
②若a>0，则当x＝3时，f(x)max＝f(3)=21a+1=5，∴a＝.
∴a的值为－1或.
13．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝2，试证f(x)在(－∞，2)上单调递减；
(2)若 且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
【答案】(1)略 （2）
14.要建造一个容积为1 600立方米，深为4米的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为每平方米200元，池底的造价为每平方米100元．
(1)把总造价y元表示为池底的一边长x米的函数；
(2)由于场地原因，蓄水池的一边长不能超过20米，问蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低？总造价最低是多少？
【答案】（1）y＝1 600(x＋)＋40 000，x∈(0，＋∞) （2）20，104 000
【解析】(1)由已知得池底的面积为＝400(平方米)，底面的另一边长为米，则池壁的面积为2×4×(x＋)平方米．
所以y＝1 600(x＋)＋40 000，x∈(0，＋∞)．
