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    2019届二轮复习小题专练 三角恒等变换、解三角形作业(全国通用)
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    2019届二轮复习小题专练 三角恒等变换、解三角形作业(全国通用)

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    小题专练·作业() 三角恒等变换、解三角形

    1.若角α的终边过点A(2,1),则sin(  )

    A.-   B.-

    C   D

    解析 由题意知cosα,所以sin=-cosα=-。故选A

    答案 A

    2.已知tanθ2,则sin2θ的值为(  )

    A   B

    C   D

    解析 解法一:原式=sin2θ,将tanθ2代入,得原式=。故选C

    解法二:在平面直角坐标系xOy中,tanθ2,不妨设θ为锐角,角θ的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,在终边上取点P(1,2),则|OP|,由三角函数的定义,得sinθcosθ,所以sin2θ2。故选C

    答案 C

    3.若角α满足sinα2cosα0,则tan2α(  )

    A.-   B

    C.-   D

    解析 解法一:由题意知,tanα=-2tan2α。故选D

    解法二:由题意知,sinα=-2cosαtan2α。故选D

    答案 D

    4(2018·全国卷)ABC的内角ABC的对边分别为abc。若ABC的面积为,则C(  )

    A   B

    C   D

    解析 由题可知SABCabsinC,所以a2b2c22absinC,由余弦定理a2b2c22abcosC,所以sinCcosC。因为C(0π),所以C。故选C

    答案 C

    5(2018·河南联考)线段的黄金分割点的定义:若点C在线段AB上,且满足AC2BC·AB,则称点C为线段AB的黄金分割点。在ABC中,ABACA36°,若角B的平分线交边AC于点D,则点D为边AC的黄金分割点,利用上述结论,可以求出cos36°(  )

    A   B

    C   D

    解析 不妨设AB2,利用黄金分割点的定义得AD1,易知AABD36°,故ADBD1。在ABD中,cos36°。故选B

    答案 B

    6(2018·陕西调研)ABC中,内角ABC的对边分别是abc,已在abc成等比数列,且cosB,则(  )

    A   B

    C   D

    解析 由已知有b2accosB,所以sinB。由b2ac及正弦定理得sin2BsinAsinC,所以。故选D

    答案 D

    7(2018·洛阳统考)ABC中,角ABC的对边分别为abc,若abc成等比数列,且a2c2acbc,则(  )

    A   B

    C   D

    解析 由题意得b2aca2c2acbc,故a2c2b2bc,则cosA。因为A(0π),所以A。根据正弦定理有sin2BsinAsinC,故。故选B

    答案 B

    8(2018·辽宁模拟)a(cosxsinx)b(,-1),且ab,则tan2x________

    解析 由题意得cosxsinx0,则tanx,所以tan2x=-

    答案 

    9(2018·洛阳统考)已知sinαcosα,则cos4α________

    解析 由题设有12sinαcosα,所以sin2α,所以cos4α12sin22α1

    答案 

    10(2018·全国卷)ABC的内角ABC的对边分别为abc。已知bsinCcsinB4asinBsinCb2c2a28,则ABC的面积为________

    解析 根据题意,结合正弦定理可得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC,即sinA,结合余弦定理可得2bccosA8,所以A为锐角,且cosA,从而求得bc,所以ABC的面积为SbcsinA××

    答案 

    11(2018·北京高考)ABC的面积为(a2c2b2),且C为钝角,则B________的取值范围是________

    解析 ABC的面积SacsinB(a2c2b2)×2accosB,所以tanB,因为0°<B<180°,所以B60°。因为C为钝角,所以0°<A<30°,所以0<tanA<,所以>2,故的取值范围为(2,+)

    答案 60° (2,+)

    12.在ABC中,角ABC的对边分别是abc,若a2bABC的面积记作S,则下列结论一定成立的是(  )

    AB>30°   BA2B

    Cc<b   DSb2

    解析 a2b,得sinA2sinB1,则sinB,因为B不是最大角,所以0°<B30°A错误;sinA2sinBA2B没有关系,B错误;若a4b2c5,符合a2b,但c>bC错误;三角形面积SabsinCb2sinCb2。故选D

    答案 D

    13.已知ABC的内角ABC的对边分别为abc。若abcosCcsinB,且ABC的面积为1,则b的最小值为(  )

    A2     B3

    C    D.

    解析 abcosCcsinB及正弦定理,得sinAsinBcosCsinCsinB,即sin(BC)sinBcosCsinCsinB,得sinCcosBsinCsinB,又sinC0,所以tanB1。因为B(0π),所以B。由SABCacsinB1,得ac24。又b2a2c22accosB2acac(2)·(42)4,当且仅当ac时等号成立,所以b2b的最小值为2。故选A

    答案 A

    14(2018·江苏高考)ABC中,角ABC所对的边分别为abcABC120°ABC的平分线交AC于点D,且BD1,则4ac的最小值为________

    解析 因为ABC120°ABC的平分线交AC于点D,所以ABDCBD60°,由三角形的面积公式可得acsin120°asin60°csin60°,化简得acac,又a>0c>0,所以1,则4ac(4ac552 9,当且仅当c2a时取等号,故4ac的最小值为9

    答案 9

    15(2018·石家庄模拟)如图,平面四边形ABCD的对角线的交点位于四边形的内部,AB1BCACCDACCD,当ABC变化时,对角线BD的最大值为________

    解析 ABCθθ(0π),则由余弦定理得AC232cosθ,由正弦定理得,得sinACB。在DCB中,由余弦定理可得,BD2CD222CDcosAC222ACsinACB32cosθ22AC×52(sinθcosθ)54sin,当θ时,max1,所以BD9,所以BDmax3

    答案 3

     

     

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