初中数学第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教课课件ppt

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1、一元二次方程的一般形式？      2、一元二次方程有实数根的条件是什么？ 3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？4、一元二次方程的求根公式是什么？
问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2，与x1 • x2系数有什么规律？ 猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1,, x2
x1+ x2，x1∙x2与系数有什么规律?
猜想： 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，则： x1+x2和x1.x2与系数a，b，c 的关系.
韦达（1540－1603）
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。
任何一个一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1 + X2= , X1 ·X2=
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0
如果方程x2+px+q=0的两根是x1 ，x2，那么x1+x2= , x1x2=
一、直接运用根与系数的关系
例1、不解方程，求下列方程两根的和与积.
题1　口答１．下列方程的两根和与两根积各是多少？ ⑴.X2－3X+1=0 ⑵.3X2－2X=2 ⑶.2X2+3X=0 ⑷.3X2=1
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用X1+X2=－ 时， 注意“－ ”不要漏写.
当m= 时,此方程的两根互为相反数.
当m= 时,此方程的两根互为倒数.
应用二：求关于两根的对称式或代数式的值
二、求关于两根的对称式或代数式的值
例2、设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
关于两根几种常见的求值
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
设 的两个实数根 为 则: 的值为( )A. 1 B. －1 C. D.
以 为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:
求作新的一元二次方程时:1.先求原方程的两根和与两根积.2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积)3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程.
例题:1.以2和 －３为根的一元二次方程（二次项系数为１）为：　　　　　　　　　　　　　　　　
开启 智慧
（4）求一个一元二次方程，使它的两个根分别为：
【跟踪训练】3．请写出一个两实数根符号相反的一元二次方程
_____________________________．
x2－x－6＝0(答案不唯一)
4．任写一个一根为－1，另一根大于 0 小于 1 的一元二次
方程________________________．
例3、求一个一元二次方程，使 它的两个根是2和3，且二 次项系数为1.变式：且二次项系数为5
题5 以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ ）A、y2＋3y-5=0 B、 y2－3y-5=0 C、y2＋3y＋5=0 D、 y2－3y＋5=0
分析:设原方程两根为 则:
例5、已知关于x的方程x2-5x-2=0（1）,且关于y的方程的两根分别是关于方程（1）的两根
例6、小明和小敏解同一个一元二次方程时，小明看错了一次项系数所求出的根为-9和-1；小敏看错了常数项所求出的根是8和2。你知道原来的方程是什么吗？
练习、甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出的根为1，4；乙看错了一次项系数所求出的根是-2，-3。则这个一元二次方程为__________________
四、求方程中的待定系数
例7、如果－1是方程的一个根，则另一个根是____ｍ=____。
练习：已知3是方程 的一根，求m及另一根
想一想，还有其他方法吗？
例8、方程 的两根同为正数，求p、q的取值范围.
变式:方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围.
题9 方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
△≥0X1X2＞0X1+X2＞0
△≥0X1X2＞0X1+X2＜0
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1
∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
解得k1=9,k2= -3
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
例9、 已知方程　　　　　　　　的两 个实数根是　　　且　　　　　 求k的值。
一元二次方程根与系数的关系？
题6 　已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。
解法(一):设两数分别为x,y则:
ｘ＝－1y=2
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:
三　已知两个数的和与积，求两数　
　已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是
*已知两个数的和与积，求两数　
*求未知系数的取值范围
*例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0. (1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?
(1)列出△的代数式,证其恒大于零(2)(x1-1)(x2-1)<0
解:(1)∵△=(m+7)2-4(m-3)=(m+5)2+36>0 ∴方程总有两个不相等的实数根
当 时方程的一根大于1,另一根小于1
*1.当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0,只有正实数根?*2.已知:x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实根,问x1,x2能否同号?若能同号,请求出相应m的取值范围;若不能同号,请说明理由.
***题9 在△ABC中a,b,c分别为∠A, ∠B,∠C 的对边,且c= ,若关于x的方程 有两个相等的实数根,又方程 的两实数根的平方和为6,求△ABC的面积.
【例 3】设x1，x2是关于x的方程x2－(m－1)x－m＝0(m≠0)思路点拨：本题是对根的判别式和根与系数关系的综合考查，因为方程有两个实数根，所以Δ＝b2－4ac≥0，求出m 的取
【跟踪训练】5．已知关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋k＋1＝0 的两个实
A．8B．7C．6D．5
6．已知方程 x2＋3x＋m＝0 的两根为 x1，x2，当 m 为何值时，3x1－x2＝4？解：∵3x1－x2＝4，∴3(x1＋x2)－4x2＝4.∵x1＋x2＝－3，
1．已知三角形的两边长是方程x2-12x+k=0 的两个根，三角形的第三条边长为4,求这 个三角形的周长。2.变式训练： 已知三角形的两边长是方程x2-12x+k==0 的两个根，三角形的第三条边能等于15吗？3.利用根与系数的关系，求作一个一元二 次方程，使它的两根为2和3.
4、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的3倍少 10，求k的值.