中考数学试题附答案答案

2019-2020学年度第一学期九年级数学期末试题答案

一、选择题（本大题10小题，共30分）

1. 如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，“爱”字一面的相对面上的字是
    

A. 美 B. 丽 C. 靓 D. 湖

【答案】C

【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
有“爱”字一面的相对面上的字是靓．
故选C．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
 

2.当0＜x＜-1时，x，，x2的大小顺序是(　　)

A.＜x＜x2    B．x＜x2＜   C．x2＜x＜     D.＜x2＜x

【答案】A

3.2018年5月3日，中国科学院在上海发布了中国首款人工智能芯片：寒武纪（MLU100），该芯片在平衡模式下的等效理论峰值速度达每秒128 000 000 000 000次定点运算，将数128 000 000 000 000用科学记数法表示为（　　）

A．1.28×1014  B．1.28×10﹣14    C．128×1012    D．0.128×1011

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将128 000 000 000 000用科学记数法表示为：1.28×1014．

故选：A．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=60°，则∠2的度数是（　　）

A．120° B．60° C．45° D．30°

【分析】利用两直线平行，同位角相等就可求出．

【解答】解：∵直线被直线a、b被直线c所截，且a∥b，∠1=60°

∴∠2=∠1=60°．

故选：B．

【点评】本题考查了平行线的性质，应用的知识为两直线平行，同位角相等．

5.若，则的值为   

A. 4 B. 3 C. 1 D. 0

【答案】C

【解析】解：，
．
故选：C．
首先利用平方差公式，求得，继而求得答案．
此题考查了平方差公式的应用．注意利用平方差公式将原式变形是关键．
6.为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞50条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞50条鱼，发现只有2条鱼是前面做好记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量约为

A. 1250条 B. 1750条 C. 2500条 D. 5000条

【答案】A

【解析】解：由题意可得：条．
故选：A．
首先求出有记号的2条鱼在50条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
本题考查了统计中用样本估计总体，表示出带记号的鱼所占比例是解题关键．

7.若不等式组，只有三个正整数解，则a的取值范围为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】解：
解不等式得：，
又不等式组只有三个正整数解，
，
故选：A．
先确定不等式组的整数解，再求出a的范围即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，能根据已知不等式组的解集和整数解确定a的取值范围是解此题的关键．
8.方程（x+1）=9的根是（       ）

A．x=2       B.x=-4    C .x=2    x=-4   D .x=4   x=-2

解析： 把x=2、-2、4、-4分别代入方程（x+1）=9中

发现只有x=2和x=-4能使方程左右两边相等，所以选择答案C

9.如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是

A.     B.    C. ∽   D. ：：2
【答案】D
 

【解析】解：、E分别是AB、AC的中点，
，，
，∽，
，
，B，C正确，D错误；
故选：D．
根据中位线的性质定理得到，，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定．
该题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定；解题的关键是正确找出对应线段，准确列出比例式求解、计算、判断或证明．
 

10.如图，抛物线过点和点，且顶点在第三象限，设，则P的取值范围是

A.         B.
C.         D.
【答案】A

【解析】解：经过点和的直线解析式为，
当时，，
而时，，
，即，
故选：A．
先利用待定系数法求出经过点和的直线解析式为，则当时，，再利用抛物线的顶点在第三象限，从而得到所以，根据顶点的纵坐标和与y轴的交点坐标即可得出答案．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点
二．填空题（本题共8小题，共计24分）

11.函数中自变量x的取值范围是                   

答案： 且 

【解析】【分析】
本题考查了函数自变量的取值范围，要注意几点：被开方数为非负数；分母不为0；中根据被开方数为非负数和分母不为0列不等式计算．
【解答】

解：根据题意得：，
解得：且．

12.因式分解： ______ ．

【答案】

【解析】解：原式，
故答案为：．
首先提取公因式4，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

13.一组数据2，4，a，7，7的平均数，则方差________．

【答案】

【解析】解：数据2，4，a，7，7的平均数，
，
解得，
方差；
故答案为：．
根据平均数的计算公式：，先求出a的值，再代入方差公式进行计算即可．
本题主要考查的是平均数和方差的求法，一般地设n个数据，，，的平均数为，则方差
 

14.若，是一元二次方程的两个根，则的值是______．

【答案】15

【解析】解：
，是一元二次方程的两个根，
，，
，
故答案为：15．
由根与系数的关系可求得与的值，代入计算即可．
本题主要考查根与系数的关系，由根与系数的关系求得与的值是解题的关键．
 

15.如图，在中，C是弦AB上一点，，连接OC，过点C作，与交于点D，DC的长为______．



 

【答案】

【解析】解：延长DC交于点E．

，
，
相交弦定理，可以证明∽得到，
，
，
，
故答案为．
延长DC交于点由相交弦定理构建方程即可解决问题．
本题考查垂径定理，相交弦定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
16.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为，测得底部C的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为______米．精确到1米，参考数据：
【答案】208

【解析】解：由题意可得：，
解得：，
，
解得：，
故该建筑物的高度为：，
故答案为：208．
分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．
此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．

　17.如图，三角形ABC是边长为1的正三角形，与所对的圆心角均为120°，则图中阴影部分的面积为　      　．

18.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结则线段OQ的最大值是             
 

【答案】

【解析】解：连接BP，如图，
当时，，解得，，则，，
是线段PA的中点，
为的中位线，
，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到位置时，BP最大，
，
，
线段OQ的最大值是．
连接BP，如图，先解方程得，，再判断OQ为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到位置时，BP最大，然后计算出即可得到线段OQ的最大值．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．
三、解答题（本题共计10个小题，共计66分）

19．（本题满分4分）计算：+（﹣3）0﹣6cos45°+（）﹣1．

【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式=3+1﹣6×+2=3+1﹣3+2=3．

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

20．（本题满分4分）解不等式＜x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．

【分析】根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．依次计算可得．

【解答】解：去分母，得：5x﹣1＜3x+3，

移项，得：5x﹣3x＜3+1，

合并同类项，得：2x＜4，

系数化为1，得：x＜2，

将不等式的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．

21.（本题满分5分）关于x的分式方程﹣＝总无解，求a的值．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，分类讨论a的值，使分式方程无解即可．

【解答】解：去分母得：3﹣x﹣a（x﹣2）＝﹣2，即（a+1）x＝2a+5，

当a＝﹣1时，显然方程无解；

当a≠﹣1时，x＝，

当x＝2时，a不存在；

当x＝3时，a＝2，

综上，a的值为﹣1，2．

【点评】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．

22.（本题满分8分）某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，回答下列问题：

（1）杨老师采用的调查方式是　      　（填“普查”或“抽样调查”）；

（2）请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集多少件作品？

（3）如果全校征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率．

【分析】（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．

（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品数为：6÷＝24（件），C班作品的件数为：24﹣4﹣6﹣4＝10（件）；继而可补全条形统计图；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中两名学生性别相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．

故答案为抽样调查．

（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷＝24件，

平均每个班＝6件，C班有10件，

∴估计全校共征集作品6×30＝180件．

条形图如图所示，

（3）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，两名学生性别相同的有8种情况，

∴恰好抽中两名学生性别相同的概率为：＝．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．

23.（本题满分6分）如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连CF

（1）求证：四边形BCFE是菱形；

（2）若CE＝6，∠BEF＝120°，求菱形BCFE的面积．

【分析】（1）从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE＝BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE＝FE，所以是菱形；

（2）由∠BEF是120°，可得∠EBC为60°，即可得△BEC是等边三角形，求得BE＝BC＝CE＝6，再过点E作EG⊥BC于点G，求的高EG的长，即可求得答案．

【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE∥BC且2DE＝BC，

又∵BE＝2DE，EF＝BE，

∴EF＝BC，EF∥BC，

∴四边形BCFE是平行四边形，

又∵BE＝EF，

∴四边形BCFE是菱形；

（2）解：∵∠BEF＝120°，

∴∠EBC＝60°，

∴△EBC是等边三角形，

∴BE＝BC＝CE＝6，

过点E作EG⊥BC于点G，

∴EG＝BE•sin60°＝6×＝3，

∴S菱形BCFE＝BC•EG＝6×3＝18．

【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．注意证得△BEC是等边三角形是关键．

24. （本题满分7分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．
    求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；
    已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？

【答案】解：设甲型机器人每台价格是x万元，乙型机器人每台价格是y万元，根据题意得

解这个方程组得：

答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元．
设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人台，根据题意得

解这个不等式组得

为正整数
的取值为2，3，4，
该公司有3种购买方案，分别是
购买甲型机器人2台，乙型机器人6台
购买甲型机器人3台，乙型机器人5台
购买甲型机器人4台，乙型机器人4台

26.（本题满分7分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．

（1）填空：n的值为      ，k的值为        ；

（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；

（3）考察反比函数的图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围．

（1）3,12

26.（本题满分7分）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．

（1）正方体的棱长为　   　cm；

（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．

【解答】解：（1）由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm，12秒后水槽内高度变化趋势改变，

故正方体的棱长为10cm；

故答案为：10；

（2）设线段AB对应的函数解析式为：y=kx+b，

∵图象过A（12，10），B（28，20），

∴，

解得：，

∴线段AB对应的解析式为：y=x+（12≤x≤28）；

（3）∵28﹣12=16（s），

∴没有立方体时，水面上升10cm，所用时间为：16秒，

∵前12秒由立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒，

∴将正方体铁块取出，经过4秒恰好将此水槽注满．

27.（本题满分9分）如图，内接于，CD平分交于D，过点D作分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．

(1)   求证：PQ是的切线；

(2)   求证：；
若AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，且，求的半径．
 

28.（本题满分9分）如图，抛物线l：与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，将抛物线l在x轴下方部分沿轴翻折，x轴上方的图象保持不变，就组成了函数f的图象．
若点A的坐标为．
求抛物线l的表达式，并直接写出当x为何值时，函数f的值y随x的增大而增大；
如图2，若过A点的直线交函数f的图象于另外两点P，Q，且，求点P的坐标；
当时，若函数f的值随x的增大而增大，直接写出h的取值范围．
 

4.【答案】解：把代入抛物线中得：
，
解得：或，
点A在点B的左侧，
，
，
抛物线l的表达式为：，
抛物线的对称轴是：直线，
由对称性得：，
由图象可知：当或时，函数f的值y随x的增大而增大；
如图2，作轴于点D，延长PD交抛物线l于点F，作轴于E，则，
由对称性得：，
，
，
，
，
∽，
，
，
设，则，，，
点F、Q在抛物线l上，
，
，
，
解得：或舍，
；
当时，，
解得：或，
点A在点B的左侧，
，，
如图3，作抛物线的对称轴交抛物线于点C，
分两种情况：
由图象可知：图象f在AC段时，函数f的值随x的增大而增大，
则，
，
由图象可知：图象f点B的右侧时，函数f的值随x的增大而增大，
即：，
，
综上所述，当或时，函数f的值随x的增大而增大．

【解析】利用待定系数法求抛物线的解析式，由对称性求点B的坐标，根据图象写出函数f的值y随x的增大而增大即呈上升趋势的x的取值；
如图2，作辅助线，构建对称点F和直角角三角形AQE，根据，得，证明∽，则，得，设，根据列方程可求得a的值，并计算P的坐标；
先令求抛物线与x轴的两个交点坐标，根据图象中呈上升趋势的部分，有两部分：分别讨论，并列不等式或不等式组可得h的取值．
本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的增减性问题、三角形相似的性质和判定，与方程相结合，找等量关系，第二问还运用了数形结合的思想解决问题．