2021高考数学大一轮复习考点规范练60随机事件的概率理新人教A版

考点规范练60　随机事件的概率

　考点规范练B册第44页　 

基础巩固

1.从正五边形的五个顶点中,随机选择三个顶点连成三角形,记“这个三角形是等腰三角形”为事件A,则下列推断正确的是(　　)

A.事件A发生的概率等于 B.事件A发生的概率等于

C.事件A是不可能事件 D.事件A是必然事件

答案:D

解析:因为从正五边形的五个顶点中随机选三个顶点连成的三角形都是等腰三角形,所以事件A是必然事件.故选D.

2.从1,2,…,9中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是(　　)

A.① B.②④ C.③ D.①③

答案:C

解析:从9个数字中取两个数有三种情况:一奇一偶,两奇,两偶,故只有③中两事件是对立事件.

3.从一箱产品中随机抽取一件,设事件A为“抽到一等品”,事件B为“抽到二等品”,事件C为“抽到三等品”,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为(　　)

A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.5

答案:C

解析:∵“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件,

∴所求概率为1-P(A)=0.35.

4.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　)

A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8

答案:B

解析:因为必然事件发生的概率是1,所以该同学的身高超过175cm的概率为1-0.2-0.5=0.3,故选B.

5.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,已知甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,则中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为　　　　　. 

答案:

解析:因为事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为

6.(2019全国Ⅱ,理13)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　　　　. 

答案:0.98

解析:由题意,得经停该高铁站的列车的正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2,其中车次数为10+20+10=40,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为=0.98.

7.下列命题:

①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件.

其中正确命题的序号是　　　　　. 

答案:①

解析:根据对立事件与互斥事件的关系,得①正确,②不正确.

当A,B是互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),③不正确.

P(A)+P(B)+P(C)不一定等于1,还可能小于1,④不正确.

例如:袋中有除颜色外,其余均相同的红、黄、黑、绿4个球,从袋中任摸一个球,设事件A={摸到红球或黄球},事件B={摸到黄球或黑球},显然事件A与B不是对立事件,但P(A)+P(B)==1.

8.某班选派5人参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:

(1)若获奖人数不超过2的概率为0.56,求x的值;

(2)若获奖人数最多为4的概率为0.96,最少为3的概率为0.44,求y,z的值.

解:记“在竞赛中,有k人获奖”为事件Ak(k∈N,k≤5),则事件Ak彼此互斥.

(1)∵获奖人数不超过2的概率为0.56,

∴P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56,解得x=0.3.

(2)由获奖人数最多为4的概率为0.96,得P(A5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.

由获奖人数最少为3的概率为0.44,

得P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,

即y+0.2+0.04=0.44.

解得y=0.2.

9.在某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:

(1)P(A),P(B),P(C);

(2)1张奖券的中奖概率;

(3)1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率.

解:(1)由题意可知P(A)=,

P(B)=,

P(C)=

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.

设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C.

∵A,B,C两两互斥,

∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=

故1张奖券的中奖概率为

(3)设“1张奖券不中特等奖,且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,

故P(N)=1-P(A∪B)=1-,

即1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率为

能力提升

10.空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级,0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;大于300为严重污染.一环保人士从当地某年的AQI记录数据中随机抽取10个,用茎叶图记录如图.根据该统计数据,估计此地该年AQI大于100的天数为　　　　.(该年为365天) 

答案:146

解析:该样本中AQI大于100的频数是4,频率为,由此估计此地该年AQI大于100的概率为,

故估计此地该年AQI大于100的天数为365=146.

11.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图所示.

(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率;

(2)在这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率.

解:(1)甲品牌产品寿命小于200h的频率为,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200h的概率为

(2)根据频数分布直方图可得寿命不低于200h的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200h的产品是甲品牌的频率是据此估计已使用了200h的该产品是甲品牌的概率为

12.袋中有除颜色外其他完全相同的12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,分别求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少.

解:(方法一)从袋中选取一个球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A,B,C,D,则P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,

P(C∪D)=P(C)+P(D)=,P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-,解得P(B)=,P(C)=,P(D)=,因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是

(方法二)设红球有n个,则,即n=4,即红球有4个.

又得到黑球或黄球的概率是,

所以黑球和黄球共有5个.

又总球数是12,所以绿球有12-4-5=3个.

又得到黄球或绿球的概率也是,所以黄球和绿球共有5个,而绿球有3个,所以黄球有5-3=2个.

所以黑球有12-4-3-2=3个.

因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是

13.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;

(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;

(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)

解:(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.

第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50,故所求概率为=0.025.

(2)设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.

没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628(部).

由古典概型概率公式得P(B)==0.814.

(3)第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1.

高考预测

14.我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(单位:吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100名居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中a的值;

(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x.估计x的值,并说明理由.

解:(1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,

同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.

由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,

解得a=0.30.

(2)由(1),100名居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000.

(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.

由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.

所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.