2021高考数学大一轮复习考点规范练41直线平面平行的判定与性质理新人教A版

考点规范练41　直线、平面平行的判定与性质

　考点规范练A册第28页　 

基础巩固

1.(2019重庆六校联考)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是(　　)

A.存在一条直线a,a∥α,a∥β

B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β

C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α

D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α

答案:D

解析:对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交,若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β,所以选项A是α∥β的一个必要条件;同理,选项B,C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.

2.下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

答案:C

解析:对于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.

3.设l表示直线,α,β表示平面.给出四个结论:

①若l∥α,则α内有无数条直线与l平行;

②若l∥α,则α内任意的直线与l平行;

③若α∥β,则α内任意的直线与β平行;

④若α∥β,对于α内的一条确定的直线a,在β内仅有唯一的直线与a平行.

以上四个结论中,正确结论的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:C

解析:②中α内的直线与l可异面,④中可有无数条.

4.已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析:当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;但反过来不成立,即m∥α不一定有m∥n,m与n还可能异面.故选A.

5.已知平面α和不重合的两条直线m,n,下列选项正确的是(　　)

A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥α

B.如果m⊂α,n与α相交,那么m,n是异面直线

C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥n

D.如果m⊥α,n⊥m,那么n∥α

答案:C

解析:如图(1)可知A错;如图(2)可知B错;如图(3),m⊥α,n是α内的任意直线,都有n⊥m,故D错.

∵n∥α,∴n与α无公共点.∵m⊂α,∴n与m无公共点.

又m,n共面,∴m∥n,故选C.

6.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,G为MC的中点.则下列结论不正确的是(　　)

A.MC⊥AN

B.GB∥平面AMN

C.平面CMN⊥平面AMN

D.平面DCM∥平面ABN

答案:C

解析:显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方体中(如图),取AN的中点H,连接HB,MH,则MC∥HB,又HB⊥AN,所以MC⊥AN,所以A正确;

由题意易得GB∥MH,又GB⊄平面AMN,MH⊂平面AMN,

所以GB∥平面AMN,所以B正确;

因为AB∥CD,DM∥BN,且AB∩BN=B,CD∩DM=D,所以平面DCM∥平面ABN,所以D正确.

7.已知平面α∥β,P∉α,且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为　　　　　. 

答案:或24

解析:如图(1),∵AC∩BD=P,∴经过直线AC与BD可确定平面PCD.

图(1)

∵α∥β,α∩平面PAB=AB,β∩平面PCD=CD,∴AB∥CD,

即

解得BD=

如图(2),同理可证AB∥CD.

图(2)

,即

解得BD=24.

综上所述,BD=或24.

8.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　　　条. 

答案:6

解析:过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.

9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为　　　　　　　　. 

答案:平行

解析:取PD的中点F,连接EF,AF,

在△PCD中,EFCD.

∵AB∥CD且CD=2AB,∴EFAB,

∴四边形ABEF是平行四边形,∴EB∥AF.

又EB⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.

10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件　　　　　　　　　　　　　　　　　时,有平面D1BQ∥平面PAO. 

答案:Q为CC1的中点

解析:如图,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QB∥PA.

连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1B∥PO.

又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.

又D1B∩QB=B,

所以平面D1BQ∥平面PAO.

故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.

11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,△A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.

(1)若BE=3EC,求证:DE∥平面A1MC1;

(2)若AA1=1,求三棱锥A-MA1C1的体积.

(1)证明如图①,取BC的中点N,连接MN,C1N,

∵M是AB的中点,∴MN∥AC∥A1C1,

∴M,N,C1,A1共面.

∵BE=3EC,∴E是NC的中点.

又D是CC1的中点,∴DE∥NC1.

∵DE⊄平面MNC1A1,NC1⊂平面MNC1A1,

∴DE∥平面A1MC1.

(2)解如图②,当AA1=1时,则AM=1,A1M=,A1C1=

∴三棱锥A-MA1C1的体积

AM·AA1·A1C1=

①

②

12.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1,试探究:在AC上是否存在点F,满足EF∥平面A1ABB1?若存在,请指出点F的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.

解法一当AF=3FC时,EF∥平面A1ABB1.

证明如下:在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G,连接AG.

因为B1E=3EC1,所以EG=A1C1.

又因为AF∥A1C1,且AF=A1C1,

所以AF?EG,所以四边形AFEG为平行四边形,所以EF∥AG.

又因为EF⊄平面A1ABB1,AG⊂平面A1ABB1,所以EF∥平面A1ABB1.

解法二当AF=3FC时,EF∥平面A1ABB1.

证明如下:在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G,因为EG∥BB1,EG⊄平面A1ABB1,BB1⊂平面A1ABB1,所以EG∥平面A1ABB1.

因为B1E=3EC1,所以BG=3GC,

所以FG∥AB.

又因为AB⊂平面A1ABB1,FG⊄平面A1ABB1,

所以FG∥平面A1ABB1.

又因为EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,

所以平面EFG∥平面A1ABB1.

因为EF⊂平面EFG,所以EF∥平面A1ABB1.

能力提升

13.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水(未满),固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:

①没有水的部分始终呈棱柱形;

②水面EFGH所在四边形的面积为定值;

③棱A1D1始终与水面所在平面平行;

④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.

其中正确命题的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:C

解析:由题图,显然①是正确的,②是错误的;

对于③,∵A1D1∥BC,BC∥FG,

∴A1D1∥FG,且A1D1⊄平面EFGH,FG⊂平面EFGH,

∴A1D1∥平面EFGH(水面).

③是正确的;

对于④,∵水是定量的(定体积V),

∴S△BEF·BC=V,即BE·BF·BC=V.

∴BE·BF=(定值),即④是正确的,故选C.

14.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=　　　　　. 

答案:

解析:如图所示,连接AC,易知MN∥平面ABCD.

又平面PQNM∩平面ABCD=PQ,MN⊂平面PQNM,

∴MN∥PQ.

又MN∥AC,∴PQ∥AC.

∵AP=,,

∴PQ=AC=a.

15.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点.如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为　　　　　. 

答案:

解析:取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.

因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,所以SB∥HD.

同理SB∥FE.

又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF?AC?DE,

所以四边形DEFH为平行四边形.

又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,

所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=

16.如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.

(1)求证:平面AB1C∥平面DA1C1;

(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.

(1)证明由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质,知AB1∥DC1,A1D∥B1C.

∵AB1∩B1C=B1,A1D∩DC1=D,

∴平面AB1C∥平面DA1C1.

(2)解存在这样的点P满足题意.

如图,在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,

∵B1B?CC1,∴BB1?CP,

∴四边形BB1CP为平行四边形,∴BP∥B1C.

∵A1D∥B1C,∴BP∥A1D.

又A1D⊂平面DA1C1,BP⊄平面DA1C1,

∴BP∥平面DA1C1.

高考预测

17.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF位置,使得A'C=2

(1)求五棱锥A'-BCDFE的体积;

(2)在线段A'C上是否存在一点M,使得BM∥平面A'EF?若存在,求A'M;若不存在,请说明理由.

解:(1)连接AC,设AC∩EF=H,连接A'H.

因为四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,

所以H是EF的中点,且EF⊥AH,EF⊥CH.

从而有A'H⊥EF,CH⊥EF,

又A'H∩CH=H,所以EF⊥平面A'HC,且EF⊂平面ABCD.从而平面A'HC⊥平面ABCD.

过点A'作A'O垂直HC且与HC相交于点O,则A'O⊥平面ABCD.

因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,所以A'H=2,CH=4,

所以cos∠A'HC=

所以HO=A'H·cos∠A'HC=,则A'O=

所以五棱锥A'-BCDFE的体积

V=

(2)在线段A'C上存在点M,使得BM∥平面A'EF,此时A'M=

证明如下:

连接OM,BD,BM,DM,且易知BD过O点.

A'M=A'C,HO=HC,

所以OM∥A'H.

又OM⊄平面A'EF,A'H⊂平面A'EF,

所以OM∥平面A'EF.

又BD∥EF,BD⊄平面A'EF,EF⊂平面A'EF,

所以BD∥平面A'EF.

又BD∩OM=O,所以平面MBD∥平面A'EF,

因为BM⊂平面MBD,

所以BM∥平面A'EF.