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    江苏省盐城市2020届高三数学第四次模拟考试试题

    20206

    第I卷(必做题,共160分)

    一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)

    1.若集合A,B且AB{m},则实数m的值为      

    2已知i为虚数单位,复数z满足z(3i)10的值为      

    3.从数字012中任取两个不同的数字构成一个两位数,则所得的两位数大于10的概率为      

    4.如图所示,一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[050)[50100)[100150)[150200)[200250] .若一个月以30天计算,估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为      

    5.执行如图所示的流程图,输出k的值为      

      

     

     

     

     

     

     

     

                              第4题

     

                                                           

                                                                第5题

    6.若双曲线(a0b0)的渐近线为,则其离心率的值为      

    7.若三棱柱ABCA1B1C1的体积为12点P为棱AA1上一点,则四锥PBCC1B1的体积为      

    8.“2”是“函数的图象关于点(,0)对称”的       条件.(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一).

    9.在ABC中,CB,ABAC,则tanB的值为      

    10.若数列的前n项和为,则的值为      

    11.若集合PQ则PQ表示的曲线的长度为      

    12.若函数的图象上存在关于原点对称的相异两点,则实数m的最大值是      

    13.在ABC中,AB10,AC15A的平分线与边BC的交点为D点E为边BC的中点,若90的值是      

    14.若实数xy满足4x24xy7y2l则7x24xy4y2最小值是      

    二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

    15.(本小题满分14分)

    若函数(M000)的最小值是2最小正周期是2,且图象经过点N(1).

    (1)求的解析式;

    (2)在ABC中,若,求cosC的值.

     

     

     

     

     

     

    16.(本小题满分14分)

    如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PCBC,点E是PC的中点,且平面 PBC平面ABCD.求证:

    (1)求证PA面BDE;

    (2)求证平面PAC平面BDE.

     

     

    17.(本小题满分14分)

    如图,在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1l2,一自然景观的边界近似为圆形,其半径约为1千米,景观的中心C到l1l2的距离相等,点C到点O的距离约为 10千米.现拟新建四条游览道路方便游客参观,具体方案在线段OC上取一点P,新建一条道路OP,并过点P新建两条与圆C相切的道路PMPNMN为切点,同时过点P新建一条与OP垂直的道路ABAB分别在l1l2.为促进沿途旅游经济,新建道路长度之和越大越好,求新建道路长度之和的最大值.所有道路宽度忽略不计

     

     

     

     

     

    18.(本小题满分16分)

    如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆C(ab0)的短轴长为2,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,过点F2的动直线与椭圆交于点PQ过点F2与PQ垂直的直线与椭圆C交于A、B两点.当直线AB过原点时,PF13PF2

    (1)求椭圆的标准方程;

    (2)若点H(30),记直线PHQHAHBH的斜率依次为,求直线PQ的斜率;的最小值.

     

     

     

     

     

     

    19.(本小题满分16分)

    如果存在常数k使得无穷数列满足恒成立,则称为P(k)数列

    (1)若数列是P(1)数列,,求

    (2)若等差数列是P(2)数列,求数列通项公式;

    (3)是否存在P(k)数列,使得是等比数列?若存在,请求出所有满足条件的数列;若不存在,请说明理由.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    20.(本小题满分16分)

    设函数

    (1)若a0时,求函数的单调递增区间;

    (2)若函数x1时取极大值,求实数a的取值范围;

    (3)设函数的零点个数为m,试求m的最大值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    第II卷(附加题,共40分)

    21.【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

    A.选修4—2:矩阵与变换

    已知矩阵A,若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为,求该矩阵属于另一个特征值的特征向量.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    B.选修4—4:坐标系与参数方程

    在极坐标系中,已知直线lm为实数),曲线C:,当直线l被曲线C截得的弦长取得最大值时,求实数m的值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    C.选修4—5:不等式选讲

    已知实数xyz满足,求的最小值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

    22.(本小题满分10分)

    如图,抛物线C(p0)的焦点为F,过点P(20)作直线l与抛物线交于AB两点,当直线lx轴垂直时AB的长为

    (1)求抛物线的方程;

    (2)若APF与BPO的面积相等,求直线l的方程.

     

     

     

    23.(本小题满分10分)

    若有穷数列共有k(k2),且当1rk1时恒成立.设

    (1)求

    (2)求

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    盐城市2020届高三年级第四次模拟考试

    数学参考答案

    一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.

    1.      2.         3.      4.       5.          6.         7.

    8.充分不必要     9.     10.    11.     12.     13.       14.

    二、解答题:本大题共6小题,计90分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内

     

    15.解析:(1)因为的最小值是-2,所以M=2.          ……………2分

    因为最小正周期是,所以                    ……………4分

    又由图象经过点,可得

    所以kZ

    ,所以,故,即……………6分

    (2)由(1)知,又

    ,即

    又因为

    所以………10分

    所以

            ……………14分

    16.证明:(1)设,连结, 因为底面是菱形,中点

    又因为点的中点,所以                     ……………2分

    又因为平面BDE平面BDE, 所以平面BDE.……………6分

    (2)    因为平面平面,平面平面平面

    所以平面                                  ……………9分

    平面,所以

    是菱形,∴

    平面平面

    所以平面                                   ……………12分

    平面,所以平面平面            ……………14分

    17.解析:连接CM,设,则

    设新建的道路长度之和为,则,……6分

    ,设

    ,令 …10分

    的情况如下表:

    +

    0

    -

    极大

    由表可知有最大值,

    此时  ……………13分

    答:新建道路长度之和的最大值为千米.             ……………14分

    注:定义域扩展为,求出最值后验证也可.

    18.解析:(1)因为椭圆的短轴长为2,所以

    当直线过原点时,轴,所以为直角三角形,

    由定义知,而,故

    ,化简得

    故椭圆的方程为                             ……………4分

    (2)①设直线,代入到椭圆方程得:

    ,则 ……………6分

    所以

    化简可得                        ……………10分

    解得:,即为直线PQ的斜率              ……………12分

    ②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时,

    当两条直线与坐标轴都不垂直时,

    由①知,同理可得      ……………14分

    当且仅当时取等号.

    综上,的最小值为                   ……………16分

    19.解析:(1)由数列数列得,可得…2分

    (2)由数列知恒成立,取恒成立,

    时满足题意,此时

    时,由可得,取

    设公差为,则解得或者

    综上,,经检验均合题意.……………8分

    (3)方法一:假设存在满足条件的数列,不妨设该等比数列的公比为

    则有,可得,①

    ,可得,②

    综上①②可得                          ……………10分

    ,代入,则当…12分

    时,不妨设为奇数,

    ,所以

    综上,满足条件的数列有无穷多个,其通项公式为……………16分

    方法二:同方法一得,当

    时,,而,故,以下同方法一.

    方法三:假设存在满足条件的数列,显然的所有项及k均不为零,

    不妨设该等比数列的公比为

    时,,两式相除可得

    故当也为等比数列,                       ……………10分

    ,则,由,且当                                     ………………………………12分

    ,∴,∴

    故当

    综上,满足条件的数列有无穷多个,其通项公式为……………16分

    20.解析:(1)当时,,所以…1分

    ,当时,;当时,

    所以函数的单调增区间为                                      …3分

    (2)由题意得

    ,则

    时,恒成立,得上递减,在上递增,所以是函数的极小值点;

    时,此时恒成立,上递减,在上递增,所以是函数的极小值点;

    时,易得上递减,在上递增,所以是函数的极小值点;                                                         …6分

    时,解得(舍),

    时,设的两个零点为,所以,不妨设

    ,所以,故

    时,;当时,;当时,

    时,;∴上递减,在上递增,在上递减,在上递增;所以是函数极大值点.

    综上所述                                                      …10分

    (3)①由(2)知当时,函数上单调递减,在上单调递增,故函数

    至多有两个零点,欲使有两个零点,需,得

    此时

    时,,此时函数上恰有1个零点;              …12分

    又当时,

    由(1)知上单调递增,

    所以,故此时函数恰有1个零点;

    由此可知当时,函数有两个零点.                               …14分

    ②当时,由(2)知上递减,在上递增,在上递减,在上递增;

    ,所以

    此时函数也至多有两个零点.

    综上①②所述,函数的零点个数的最大值为2.                      ……16分

     

    附加题答案

    21A解:由题意知,所以,即,…………4分

    所以矩阵的特征多项式

    ,解得                                  …………8分

    时,,令,则

    所以矩阵的另一个特征值为,对应的一个特征向量为         …………10分

    21B解:题意知直线的直角坐标方程为             …………2分

    又曲线的极坐标方程,即

    所以曲线的直角坐标方程为

    所以曲线是圆心为的圆,                                       …………8分

    当直线被曲线截得的弦长最大时,得,解得     …………10分

    21C解:由柯西不等式     …………6分

    所以(当且仅当取等),       …………8分

    所以的最小值是                                         …………10分

    22解:(1)当直线轴垂直时的长为,又……1分

    所以,解得,所以抛物线的方程为            …………2分

    (2)由题意知

    ,所以                                      …………4分

    时,直线与抛物线不存在两个交点,所以

    故设直线的方程为,代入抛物线方程得

    所以                                       …………6分

    时,,所以

    所以,直线的方程为                          …………8分

    时,同理可得直线的方程为          

    综上所述,直线的方程为                            …………10分

    23解:(1)当时,,由,得  …1分

    时,,由,得

                             …………3分

    (2)因累乘法得

    所以     ………5分

    所以                                         ………6分

    时,也适合

    所以                     ………8分

    所以                            ………10分

     

     

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