【数学】河北省沧州市河间市第四中学2019-2020学年高二期中考试试卷

河北省沧州市河间市第四中学2019-2020学年

高二期中考试试卷

一、选择题（每个小题5分，共60分）

1．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　)

A．－1＋i         B．－1－i      C．1＋i     D．1－i

2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为(　　)

A．1           B．2         C．e           D．

3． A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数是(　　)

A．6                B．24           C．48             D．120

4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 015的末两位数字为(　　)

A．01              B．43           C．07              D．49

5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)

A．                B． C．                D．

6．设有一个回归方程为＝2－2.5x，则变量x增加一个单位时(　　)

A．y平均增加2.5个单位       B．y平均增加2个单位   

C．y平均减少2.5个单位       D．y平均减少2个单位

7．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　)

A．0.477      B．0.628      C．0.954     D．0.977

8．若随机变量X～B(n,0.6)，且E(X)＝3，则P(X＝1)的值是(　　)

A．2×0.44    B．2×0.45    C．3×0.44    D．3×0.64

9．已知ξ的分布列为

若η＝2ξ＋2，则D(η)的值为(　　)

A．－    B.    C.     D.

10．C＋C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)

A．C          B．C C．C            D．C

11．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)

A．(2,3)           B．(3，＋∞)          C．(2，＋∞)         D．(－∞，3)

12.函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)

A．0≤a＜1        B．0＜a＜1        C．－1＜a＜1        D．0＜a＜

二、填空题（每个小题5分，共20分）

13．已知复数＝1－bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.

14．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.

15．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．

16．函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下面四个判断．

①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；

②x＝－1是f(x)的极小值点；

③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；

④x＝3是f(x)的极小值点．

其中，所有正确判断的序号是________．

三、解答题（共70分）

17.(10分)在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.

18．(12分)求(2－)6的展开式中，

(1)第3项的二项式系数及系数；

(2)含x2的项及项数．

19．(12分)若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，求b，c的值.

20.（12分）某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.

(1)求恰有一名同学当选的概率；

(2)求至多有两人当选的概率．

21．(12分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:

已知在全部50人中随机抽取1人抽到爱打篮球的学生的概率为.

(1)请将上面的列联表补充完整；

(2)是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关;请说明理由．

附参考公式:K2＝,其中n＝a＋b＋c＋d.

22．（12分）某商场经销某种商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列如下表：

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．

(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；

(2)求η的分布列及期望E(η).

参考答案

选择题：1-12、AABBD    CCCDD  BB

填空题：13.      14.3    15.     16. ②③

1.A解析：由题意得z＝＝＝－1＋i.

2.A解析：由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|x＝0＝e0＝1.

3. B解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A＝24(种)，故选B.

4. B解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649，…，

所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.

又2 015＝4×503＋3，所以72 015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43.

5.D解析：选.问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝，故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.

6.[答案]　C

7. C [解析]　∵P(ξ>2)＝0.023，∴P(ξ<－2)＝0.023，故P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝0.954.

8. C [解析]　∵n·0.6＝3，∴n＝5，∴P(X＝1)＝C(0.6)1·(0.4)4＝5×0.6×0.44＝3×0.44.故应选C.

9. D[解析]　E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，∴D(η)＝D(2ξ＋2)＝4D(ξ)＝＝.故应选D.

10.D解析：选.原式＝＋C＋C＋…＋C＝＋C＋…＋C＝(C＋C)＋…＋C＝C＝C＝C.

11. B解析：因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个增区间是(3，＋∞)．

12.B解析：∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1，故选B.

13.解析：由＝1－bi，得2－ai＝i(1－bi)＝i－bi2＝b＋i，

所以b＝2，－a＝1，即a＝－1，b＝2，所以|a＋bi|＝|－1＋2i|＝.

14.3解析：∵M(1，f(1))为切点，∴代入切线方程，得f(1)＝×1＋2＝.又∵f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.

15. 解析：用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为P()＝P()·P()·P()＝××＝.故至少有一人去北京旅游的概率为1－＝.

16.②③解析：由题中函数y＝f(x)的导函数的图象可知：f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数．f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．

17.解：设P点坐标为(x0，y0)，∵y′＝－8x－3，∴y′|x＝x0＝－8x＝tan 135°＝－1，即8x＝1，

∴x0＝2.将x0＝2代入曲线方程得y0＝1，∴所求P点坐标为(2,1)．

18.解：(1)第3项的二项式系数为C＝15，又T3＝C(2)4(－)2＝24·Cx，∴第3项的系数为24C＝240.

(2)Tk＋1＝C(2)6－k(－)k＝(－1)k26－kCx3－k，令3－k＝2，得k＝1.∴含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.

19.解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由条件知即解得b＝－3，c＝－9.

20.解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A、B、C，则有P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.

(1)因为事件A、B、C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为

P(A)＋P(B)＋P (C)

＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)

＝××＋××＋××＝.

(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.

21.解：(1)列联表补充如下:

 (2)∵K2＝≈8.333＞7.879，∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．

22.[解析]　(1)由A表示事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，知表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．

P()＝(1－0.4)3＝0.216，故P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.

(2)η的可能取值为200元，250元，300元．

P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，

P(η＝300)＝1－P(η＝200)－P(η＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2.

η的分布列如下表：

E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．