初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质教案配套ppt课件

这是一份初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质教案配套ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了导入新课，问题引入，讲授新课，探究发现，你能验证这一结论吗，验证结论，典例精析，4作直线CF，想一想，合作探究等内容，欢迎下载使用。

1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．(重点）2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．（难点）
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
猜想：点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB．
　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB．　　又 AC =CB，PC =PC，　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．　　∴ PA =PB．
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　)
A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm
解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C .
求作：AB的垂线，使它经过点C .
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.
直线CF就是所求作的垂线.
（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？
（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？
例3 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，∴PA=PB.同理 PB=PC.∴PA=PB=PC.
结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
例4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．(2)先根据线段垂直平分线的性质得出出AB＝BF，再结合（1）即可解答．
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C．则∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB，PC =PC，∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴ AC =BC．又 PC⊥AB，∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：∵　PA =PB，∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
　这些点能组成什么几何图形？
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
　与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点 的距离相等的所有点的集合.
应用格式：∵　AB =AC，MB =MC，∴　直线AM 是线段BC 的垂直 平分线．
这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.
例5 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴ OE是CD的垂直平分线.
又∵OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC.
例6 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ 点O在AC的垂直平分线上.
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　）A．AB垂直平分CD；B ．CD垂直平分AB ；C．AB与CD互相垂直平分；D．CD平分∠ ACB ．
2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点
4.下列说法：①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有 （填序号）.
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有　　　　种.
5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm.
6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 ∵AB与CD相交于点O，
7.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF.∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.
8.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分， ∴OC＝OD，AO＝OB， 且AC＝BC＝AD＝BD； (2)OE＝OF，理由如下： 在△AOC和△AOD中， ∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD， ∴△AOC≌△AOD(SSS)， ∴∠CAO＝∠DAO. 又∵OE⊥AC，OF⊥AD， ∴OE＝OF.