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    2020年贵州黔西南州中考数学试题(解析版)
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    2020年贵州黔西南州中考数学试题(解析版)

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    2020年贵州省黔西南州中考数学试卷
    考试时间:120分钟 满分:150分
    一、选择题(本题10小题,每题4分,共40分)
    1.2的倒数是(  )
    A.-2 B.2 C. D.
    2.某市为做好“稳就业、保民生”工作,将新建保障性住房360 000套,缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求.把360 000用科学记数法表示应是(  )
    A.0.36×106 B.3.6×105 C.3.6×106 D.36×105
    3.如图,由6个相同的小正方体组合成一个立体图形,它的俯视图为(  )
    A. B. C. D.
    4.下列运算正确的是(  )
    A.a3+a2=a5 B.a3÷a=a3 C.a2•a3=a5 D.(a2)4=a6
    5.某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试,每人投篮六次,投中的次数统计如下:4,3,5,5,2,5,3,4,1,这组数据的中位数、众数分别为(  )
    A.4,5 B.5,4 C.4,4 D.5,5
    6.如图,将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上,当∠2=37°时,∠1的度数为(  )
    A.37° B.43° C.53° D.54°

    7.如图,某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置,已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA′=α,则栏杆A端升高的高度为(  )
    A.米 B.4sinα米 C.米 D.4cosα米

    8.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是(  )
    A.m<2 B.m≤2 C.m<2且m≠1 D.m≤2且m≠1
    9.如图,在菱形ABOC中,AB=2,∠A=60°,菱形的一个顶点C在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则反比例函数的解析式为(  )
    A.y= B.y= C.y= D.y=

    10.如图,抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A,交过点A且平行于x轴的直线于另一点B,交x轴于C,D两点(点C在点D右边),对称轴为直线x=,连接AC,AD,BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上,下列结论中错误的是(  )
    A.点B坐标为(5,4) B.AB=AD C.a= D.OC•OD=16


    二、填空题(本题10小题,每题3分,共30分)
    11.把多项式a3-4a分解因式,结果是________.
    12.若7axb2与-a3by的和为单项式,则yx=________.
    13.不等式组的解集为________.
    14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠B=30°,∠ADC=60°,BC=,则BD的长度为________.

    15.如图,正比例函数的图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P,点P到x轴的距离是2,则这个正比例函数的解析式是________.

    16.如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平,再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,已知BC=2,则线段EG的长度为________.

    17.如图,是一个运算程序的示意图,若开始输入x的值为625,则第2020次输出的结果为________.

    18.有一人患了流感,经过两轮传染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人传染了________个人.
    19.如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑦个图形中菱形的个数为________.

    20.如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2,点D为AB的中点,以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在弧EF上,则图中阴影部分的面积为________.

    三、解答题(本题6小题,共80分)
    21.(1)计算:(-2)2-||-2cos45°+(2 020-π)0;

    (2)先化简,再求值:()÷,其中a=-1.

    22.规定:在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α(0°<α≤180°)后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角.例如:正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后,能与自身重合(如图1),所以正方形是旋转对称图形,且有两个旋转角.
    根据以上规定,回答问题:
    (1)下列图形是旋转对称图形,但不是中心对称图形的是________;
    A.矩形 B.正五边形 C.菱形 D.正六边形
    (2)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角是60度的有:________(填序号);

    (3)下列三个命题:①中心对称图形是旋转对称图形;②等腰三角形是旋转对称图形;③圆是旋转对称图形,其中真命题的个数有(  )个;
    A.0 B.1 C.2 D.3
    (4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成,旋转角有45°,90°,135°,180°,将图形补充完整.


    23.新学期,某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程.为了解学生对新开设课程的掌握情况,从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试.测试结果分为四个等级:A级为优秀,B级为良好,C级为及格,D级为不及格.将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图.根据统计图中的信息解答下列问题:

    (1)本次抽样测试的学生人数是________名;
    (2)扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________,并把条形统计图补充完整;
    (3)该校八年级共有学生500名,如果全部参加这次测试,估计优秀的人数为____;
    (4)某班有4名优秀的同学(分别记为E,F,G,H,其中E为小明),班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享.利用列表法或画树状图法,求小明被选中的概率.

    24.随着人们“节能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜欢骑自行车出行,也给自行车商家带来商机.某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元.今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年相同,那么今年的销售总额将比去年减少10%,求:
    (1)A型自行车去年每辆售价多少元?
    (2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍.已知,A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元,计划B型车销售价格为2 400元,应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多?


    25.古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆.如图,线段AB是⊙O的直径,延长AB至点C,使BC=OB,点E是线段OB的中点,DE⊥AB交⊙O于点D,点P是⊙O上一动点(不与点A,B重合),连接CD,PE,PC.
    (1)求证:CD是⊙O的切线;
    (2)小明在研究的过程中发现是一个确定的值.回答这个确定的值是多少?并对小明发现的结论加以证明.



    26.已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)交x轴于点A(6,0)和点B(-1,0),交y轴于点C.
    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
    (2)如图(1),点P是抛物线上位于直线AC上方的动点,过点P分别作x轴,y轴的平行线,交直线AC于点D,E,当PD+PE取最大值时,求点P的坐标;
    (3)如图(2),点M为抛物线对称轴l上一点,点N为抛物线上一点,当直线AC垂直平分△AMN的边MN时,求点N的坐标.




















    2020年贵州省黔西南州中考数学试卷答案解析
    考试时间:120分钟 满分:150分
    一、选择题(本题10小题,每题4分,共40分)
    1.2的倒数是(  )
    A.-2 B.2 C. D.
    1.D,解析:本题考查了倒数的定义,乘积为1的两个数互为倒数,由于2×=1,因此本题选D.

    2.某市为做好“稳就业、保民生”工作,将新建保障性住房360 000套,缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求.把360 000用科学记数法表示应是(  )
    A.0.36×106 B.3.6×105 C.3.6×106 D.36×105
    2.B,解析:本题考查了科学记数法,科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥1时,n是非负数;当原数的绝对值<1时,n是负数.360 000=3.6×105,因此本题选B.

    3.如图,由6个相同的小正方体组合成一个立体图形,它的俯视图为(  )
    A. B. C. D.
    3.D,解析:本题考查了几何体的俯视图,从几何体的上方向下看到的图形是几何体的俯视图,从该几何体上方向下看,一共看到四个相邻的正方形排成一行,因此本题选D.

    4.下列运算正确的是(  )
    A.a3+a2=a5 B.a3÷a=a3 C.a2•a3=a5 D.(a2)4=a6
    4.C,解析:本题考查了整式的加减运算及幂的运算性质,求解时根据选项中的运算选择相应的法则进行计算.a2·a3=a3+2=a5,因此本题选C.
    5.某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试,每人投篮六次,投中的次数统计如下:4,3,5,5,2,5,3,4,1,这组数据的中位数、众数分别为(  )
    A.4,5 B.5,4 C.4,4 D.5,5
    5.A,解析:本题考查了求一组数据的中位数,众数.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.将4,3,5,5,2,5,3,4,1按由小到大的顺序排列为:1,2,3,3,4,4,5,5,5,处在最中间的数是4,所以中位数是4,其中5出现了3次,出现次数最多,所以众数是5,因此本题选A.

    6.如图,将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上,当∠2=37°时,∠1的度数为(  )
    A.37° B.43° C.53° D.54°

    6.C,解析:本题考察了平行线的性质,平角、直角的意义.如答图,因为AB∥CD,所以∠2=∠3=37°,又因为∠FEG=90°,所以∠1=180°-90°-∠3=90°-37°=53°,因此本题选C.


    7.如图,某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置,已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA′=α,则栏杆A端升高的高度为(  )
    A.米 B.4sinα米 C.米 D.4cosα米

    7.B,解析:本题考查了锐角三角函数的应用.如答图,过点A′作A′C⊥AB于点C.在Rt△OCA′,sinα=,所以A′C=A′O·sinα.由题意得A′O=AO=4,所以A′C=4sinα,因此本题选B.

    8.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是(  )
    A.m<2 B.m≤2 C.m<2且m≠1 D.m≤2且m≠1
    8.D,解析:本题考查了根的判别式的性质:当b2-4ac≥0时,方程有实数根.因为关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根,所以b2-4ac=22-4(m-1)×1≥0,解得m≤2.又因为(m-1)x2+2x+1=0是一元二次方程,所以m-1≠0.综合知,m的取值范围是m≤2且m≠1,因此本题选D.

    9.如图,在菱形ABOC中,AB=2,∠A=60°,菱形的一个顶点C在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则反比例函数的解析式为(  )
    A.y= B.y= C.y= D.y=

    9.B,解析:本题考查了待定系数法,菱形的性质,点的坐标的意义.因为在菱形ABOC中,∠A=60°,菱形边长为2,所以OC=2,∠COB=60°.如答图,过点C作CD⊥OB于点D,则OD=OC·cos∠COB=2×cos60°=2×=1,CD=OC·sin∠COB=2×sin60°=2×=.因为点C在第二象限,所以点C的坐标为(-1,).因为顶点C在反比例函数y═的图象上,所以=,得k=,所以反比例函数的解析式为y=,因此本题选B.


    10.如图,抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A,交过点A且平行于x轴的直线于另一点B,交x轴于C,D两点(点C在点D右边),对称轴为直线x=,连接AC,AD,BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上,下列结论中错误的是(  )
    A.点B坐标为(5,4) B.AB=AD C.a= D.OC•OD=16

    10.D,解析:本题考查了二次函数的性质,点的坐标意义,平行线的性质,等腰三角形的判定与性质及勾股定理.因为抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A,所以A(0,4).因为对称轴为直线x=,AB∥x轴,所以B(5,4),选项A正确,不符合题意.如答图,过点B作BE⊥x轴于点E,则BE=4,AB=5.因为AB∥x轴,所以∠BAC=∠ACO.因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上,所以∠ACO=∠ACB,所以∠BAC=∠ACB,所以BC=AB=5.在Rt△BCE中,由勾股定理得EC=3,所以C(8,0),因为对称轴为直线x=,所以D(-3,0).在Rt△ADO中,OA=4,OD=3,所以AD=5,所以AB=AD,选项B正确,不符合题意.设y=ax2+bx+4=a(x+3)(x-8),将A(0,4)代入得4=a(0+3)(0-8),解得a=,选项C正确,不符合题意.因为OC=8,OD=3,所以OC•OD=24,选项D错误,符合题意,因此本题选D.


    二、填空题(本题10小题,每题3分,共30分)
    11.把多项式a3-4a分解因式,结果是________.
    11.a(a+2)(a-2),解析:本题考查了因式分解.把一个多项式分解因式,一般先提公因式,然后再考虑运用公式法,要注意分解因式一定要彻底.a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2),因此本题答案为a(a+2)(a-2).

    12.若7axb2与-a3by的和为单项式,则yx=________.
    12.8,解析:本题考查了整式的加减法法则,同类项的意义(所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项).因为7axb2与-a3by的和为单项式,所以7axb2与-a3by是同类项,所以x=3,y=2,所以yx=23=8,因此本题答案为8.

    13.不等式组的解集为________.
    13.-6<x≤13,解析:本题考查了一元一次不等式组的解法,先求出每个不等式的解集,再确定出各个解集的公共部分作为不等式组的解集.解不等式2x-6<3x得x>-6;解不等式≥0得x≤13,所以不等式组的解集为-6<x≤13,因此本题答案为-6<x≤13.

    14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠B=30°,∠ADC=60°,BC=,则BD的长度为________.

    14.,解析:本题考查了解直角三角形,含30°角的直角三角形的性质(在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半).因为∠C=90°,∠ADC=60°,所以∠DAC=30°,所以CD=AD.因为∠B=30°,∠ADC=60°,所以∠BAD=30°,所以BD=AD,所以BD=2CD.因为BC=,所以CD+2CD=,所以CD=,所以DB=,因此本题答案为.

    15.如图,正比例函数的图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P,点P到x轴的距离是2,则这个正比例函数的解析式是________.

    15.y=-2x,解析:本题考查了一次函数的性质,正比例函数的性质,点的坐标意义.∵点P到x轴的距离为2,∴点P的纵坐标为2,∵点P在一次函数y=-x+1上,∴2=-x+1,解得x=-1,∴点P的坐标为(-1,2).设正比例函数解析式为y=kx,把P(-1,2)代入得2=-k,解得k=-2,∴正比例函数解析式为y=-2x,因此本题答案为y=-2x.

    16.如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平,再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,已知BC=2,则线段EG的长度为________.

    16.,解析:本题考查了矩形、勾股定理、图形的变换等知识. 考查了翻折变换的性质以及矩形的性质.如答图,由第一次折叠得EF⊥AD,AE=DE,∴∠AEF=90°,AD=2AE.∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠DAB=90°,∴∠AEF=∠D,∴EF∥CD,∴△AEN∽△ADM,∴==,∴AN=AM,∴AN=MN,又由第二次折叠得∠AGM=∠D=90°,∴NG=AM,∴AN=NG,∴∠2=∠4.由第二次折叠得∠1=∠2,∴∠1=∠4.∵AB∥CD,EF∥CD,∴EF∥AB,∴∠3=∠4,∴∠1=∠2=∠3.∵∠1+∠2+∠3=∠DAB=90°,∴∠1=∠2=∠3=30°.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=2.由第二次折叠得AG=AD=2.由第一次折叠得AE=AD=×2=1.在Rt△AEG中,由勾股定理得EG===,因此本题答案为.


    17.如图,是一个运算程序的示意图,若开始输入x的值为625,则第2020次输出的结果为________.

    17.1,解析:本题考查了求代数式的值以及规律探究.当x=625时,x=125;当x=125时,x=25;当x=25时,x=5;当x=5时,x=1;当x=1时,x+4=5;当x=5时,x=1,…,于是可知,从第3次输入开始,输出结果以5,1为循环节循环出现.因为(2 020-2)÷2=1 010,所以输出的结果是1,因此本题的答案为1.

    18.有一人患了流感,经过两轮传染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人传染了________个人.
    18.10,解析:本题考查了一元二次方程的实际应用.设每轮传染中平均每人传染了x人,根据题意得1+x+x(1+x)=121,即(1+x)2=121,解得x1=10,x2=-12(舍去),因此本题答案为10.
    19.如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑦个图形中菱形的个数为________.

    19.57,解析:本题考查了图形规律探究.第①个图形中一共有3个菱形,即2+1×1=3;第②个图形中一共有7个菱形,即3+2×2=7;第③个图形中一共有13个菱形,即4+3×3=13;…,按此规律排列下去,所以第⑦个图形中菱形的个数为:8+7×7=57,因此本题答案为57.

    20.如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2,点D为AB的中点,以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在弧EF上,则图中阴影部分的面积为________.

    20.,解析:本题考查了扇形的面积计算和图形的旋转.如答图,连接CD,作DM⊥BC,DN⊥AC,垂足分别为M,N.∵CA=CB,∠ACB=90°,点D为AB的中点,∴DC=AB=1,四边形DMCN是正方形,DM=,∴扇形FDE的面积为=.∵CA=CB,点D为AB的中点,∴CD平分∠BCA,又∵DM⊥BC,DN⊥AC,∴DM=DN.∵∠GDH=∠MDN=90°,∴∠GDM=∠HDN.在△DMG和△DNH中,∴△DMG≌△DNH(AAS),∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=,∴阴影部分的面积为,因此本题答案为.

    三、解答题(本题6小题,共80分)
    21.(1)计算:(-2)2-||-2cos45°+(2 020-π)0;
    21.本题考查了实数的综合运算能力,包括有理数的平方,无理数绝对值,特殊角的三角函数值,零指数幂.
    解:原式=4--2×+1==4--+1=5-.

    21.(2)先化简,再求值:()÷,其中a=-1.
    本题考查了分式的化简求值,先进行括号内的运算,再进行除法运算,最后将a的值代入求值.
    解:原式=[]÷=·=
    ·=.
    当a=-1时,原式===.

    22.规定:在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α(0°<α≤180°)后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角.例如:正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后,能与自身重合(如图1),所以正方形是旋转对称图形,且有两个旋转角.
    根据以上规定,回答问题:
    (1)下列图形是旋转对称图形,但不是中心对称图形的是________;
    A.矩形 B.正五边形 C.菱形 D.正六边形
    (2)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角是60度的有:________(填序号);

    (3)下列三个命题:①中心对称图形是旋转对称图形;②等腰三角形是旋转对称图形;③圆是旋转对称图形,其中真命题的个数有(  )个;
    A.0 B.1 C.2 D.3
    (4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成,旋转角有45°,90°,135°,180°,将图形补充完整.

    22.本题考查了新定义“旋转对称图形”.(1)根据旋转对称图形的定义进行判断;(2)先分别求每一个图形中的旋转角,然后再进行判断;(3)根据旋转对称图形的定义进行判断;(4)利用旋转对称图形的定义进行设计.
    解:(1)B (2)(1)(3)(5) (3)C (4)如答图:


    23.新学期,某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程.为了解学生对新开设课程的掌握情况,从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试.测试结果分为四个等级:A级为优秀,B级为良好,C级为及格,D级为不及格.将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图.根据统计图中的信息解答下列问题:

    (1)本次抽样测试的学生人数是________名;
    (2)扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________,并把条形统计图补充完整;
    (3)该校八年级共有学生500名,如果全部参加这次测试,估计优秀的人数为____;
    (4)某班有4名优秀的同学(分别记为E,F,G,H,其中E为小明),班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享.利用列表法或画树状图法,求小明被选中的概率.
    23.本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.(1)根据条形统计图B级的频数,扇形统计图中B级的百分比利用“频率=”求出样本容量,即:12÷30%=40;(2)先求出A级所占的百分比,再利用“扇形圆心角的度数=A级所占的百分比×360°”计算,即:×360°=54°.先计算出C级的频数,再补全条形图,C级人数为40-6-12-8=14(人),据此补条形图;(3)先求出样本中优秀的百分比,再利用“样本估计总体”的数学思想,用样本的优秀百分比×总体的数目计算,即:500×15%=75(人);(4)利用列表法或画树状图法列出所有可能出现的结果,再从中找到小明被选中的所有可能结果,最后利用概率公式求解.
    解:(1)40 (2)54°,补全条形统计图如答图所示

    (3)75 (4)画树状图得

    ∵共有12种等可能的结果,选中小明的有6种情况,∴选中小明的概率为=.

    24.随着人们“节能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜欢骑自行车出行,也给自行车商家带来商机.某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元.今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年相同,那么今年的销售总额将比去年减少10%,求:
    (1)A型自行车去年每辆售价多少元?
    (2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍.已知,A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元,计划B型车销售价格为2 400元,应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多?

    24.本题考查了分式方程的应用以及一次函数求实际问题的最值.(1)根据相等关系“今年该型车的销售数量与去年相同”列分式方程求解;(2)先列出销售获利关于A型车(或B型车)的一次函数关系,再利用一次函数的性质求最大值.
    解:(1)设去年A型车每辆售价x元,则今年售价每辆为(x-200)元,由题意得=,解得:x=2 000.经检验,x=2 000是原方程的根.答:去年A型车每辆售价为2 000元;
    (2)设今年新进A型车a辆,则B型车(60-a)辆,获利y元,由题意得
    y=(1800-1500)a+(2400-1800)(60-a).∴y=-300a+36000.∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,∴60-a≤2a,∴a≥20.∵y=-300a+36000.∴k=-300<0,∴y随a的增大而减小.∴a=20时,y有最大值,∴B型车的数量为:60-20=40辆.∴当新进A型车20辆,B型车40辆时,这批车获利最大.

    25.古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆.如图,线段AB是⊙O的直径,延长AB至点C,使BC=OB,点E是线段OB的中点,DE⊥AB交⊙O于点D,点P是⊙O上一动点(不与点A,B重合),连接CD,PE,PC.
    (1)求证:CD是⊙O的切线;
    (2)小明在研究的过程中发现是一个确定的值.回答这个确定的值是多少?并对小明发现的结论加以证明.

    25.本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质.(1)连接OD,DB,由已知可得DE垂直平分OB,于是DB=DO,而OB=OD,所以DB=DO=OB,即△ODB是等边三角形,于是∠BDO=60°,再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB=30°,从而可得∠ODC=90°,所以OD⊥CD,所以CD是⊙O的切线;(2)连接OP,由已知条件得OP=OB=BC=2OE,再利用“两组边成比例,夹角相等”证明△OEP∽△OPC,最后由相似三角形的对应边成比例得到结论.
    解:(1)如答图,连接OD,DB,∵点E是线段OB的中点,DE⊥AB交⊙O于点D,∴DE垂直平分OB,∴DB=DO.∵DO=OB,∴DB=DO=OB,∴△ODB是等边三角形,∴∠BDO=∠DBO=60°.∵BC=OB=BD,且∠DBE为△BDC的外角,∴∠BCD=∠BDC=∠DBO.∵∠DBO=60°,∴∠CDB=30°.∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+30°=90°,∴OD⊥CD,∴CD是⊙O的切线;

    (2)这个确定的值是.
    证明:如答图,连接OP,∵OP=OB=BC=2OE,∴==,又∵∠COP=∠POE,∴△OEP∽△OPC,∴==.


    26.已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)交x轴于点A(6,0)和点B(-1,0),交y轴于点C.
    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
    (2)如图(1),点P是抛物线上位于直线AC上方的动点,过点P分别作x轴,y轴的平行线,交直线AC于点D,E,当PD+PE取最大值时,求点P的坐标;
    (3)如图(2),点M为抛物线对称轴l上一点,点N为抛物线上一点,当直线AC垂直平分△AMN的边MN时,求点N的坐标.

    26.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A(6,0),B(-1,0),∴解得a=-1,b=5,∴抛物线的解析式为y=-x2+5x+6.
    ∵y=-x2+5x+6=-(x)2+,∴抛物线的解析式为y=-x2+5x+6,顶点坐标为(,).
    (2)由(1)知,抛物线的解析式为y=-x2+5x+6,∴C(0,6),∴OC=6.∵A(6,0),∴OA=6,∴OA=OC,∴∠OAC=45°.∵PD平行于x轴,PE平行于y轴,∴∠DPE=90°,∠PDE=∠DAO=45°,∴∠PED=45°,∴∠PDE=∠PED,∴PD=PE,∴PD+PE=2PE,∴当PE的长度最大时,PE+PD取最大值.设直线AC的函数关系式为y=kx+d,把A(6,0),C(0,6)代入得解得k=-1,d=6,∴直线AC的解析式为y=-x+6.设E(t,-t+6)(0<t<6),则P(t,-t2+5t+6),∴PE=-t2+5t+6-(-t+6)=-t2+6t=-(t-3)2+9.∵-1<0,∴当t=3时,PE最大,此时-t2+5t+6=12,∴P(3,12).
    (3)如答图,设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F,连接NF.∵点F在线段MN的垂直平分线AC上,∴FM=FN,∠NFC=∠MFC.∵l∥y轴,∴∠MFC=∠OCA=45°,∴∠MFN=∠NFC+∠MFC=90°,∴NF∥x轴.由(2)知直线AC的解析式为y=-x+6,当x=时,y=,∴F(,),∴点N的纵坐标为.∵点N在抛物线上,∴-x2+5x+6=,解得,x1=或x2=,∴点N的坐标为(,)或(,).

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