浙江省丽水市2020年中考数学真题试卷（含解析）
展开2020年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）.
1．实数3的相反数是
A． B．3 C． D．
2．分式的值是零，则的值为
A．2 B．5 C． D．
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
4．下列四个图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
5．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是
A． B． C． D．
6．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到．理由是
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
7．已知点，，，在函数的图象上，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
8．如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是
A． B． C． D．
9．如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为．则列出方程正确的是
A． B．
C． D．
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结，相交于点、与相交于点．若，则的值是
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．点在第二象限内，则的值可以是（写出一个即可） ．
12．数据1，2，4，5，3的中位数是 ．
13．如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 ．
14．如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是 ．
15．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点，，均为正六边形的顶点，与地面所成的锐角为．则的值是 ．
16．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为，（点与点重合），点是夹子转轴位置，于点，于点，，，，．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点转动．
（1）当，两点的距离最大时，以点，，，为顶点的四边形的周长是 ．
（2）当夹子的开口最大（即点与点重合）时，，两点的距离为 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．计算：．
18．解不等式：．
19．某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：
抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表
类别 | 项目 | 人数（人 |
| 跳绳 | 59 |
| 健身操 | ▲ |
| 俯卧撑 | 31 |
| 开合跳 | ▲ |
| 其它 | 22 |
（1）求参与问卷调查的学生总人数；
（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？
（3）该市共有初中学生8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．
20．如图，的半径，于点，．
（1）求弦的长．
（2）求的长．
21．某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低，气温和高度（百米）的函数关系如图所示．
请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温；
（2）求关于的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为，求该山峰的高度．
22．如图，在中，，，．
（1）求边上的高线长．
（2）点为线段的中点，点在边上，连结，沿将折叠得到．
①如图2，当点落在上时，求的度数．
②如图3，连结，当时，求的长
23．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，异于顶点的点在该函数图象上．
（1）当时，求的值．
（2）当时，若点在第一象限内，结合图象，求当时，自变量的取值范围．
（3）作直线与轴相交于点．当点在轴上方，且在线段上时，求的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点，作，的平行线，相交于点，已知．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）求四边形的面积．
（3）若点在轴正半轴上（异于点，点在轴上，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形与四边形相似？若存在，求点的坐标；若不存在，试说明理由．
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．实数3的相反数是
A． B．3 C． D．
解：实数3的相反数是：．
故选：．
2．分式的值是零，则的值为
A．2 B．5 C． D．
解：由题意得：，且，
解得：，
故选：．
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
解：、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
、能运用平方差公式分解，故此选项正确；
、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故选：．
4．下列四个图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
解：、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
5．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是
A． B． C． D．
解：共有6张卡片，其中写有1号的有3张，
从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是；
故选：．
6．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到．理由是
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
解：由题意，，
（垂直于同一条直线的两条直线平行），
故选：．
7．已知点，，，在函数的图象上，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
解：，
函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
，
，，
．
故选：．
8．如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是
A． B． C． D．
解：如图，连接，．
是的内切圆，，是切点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．
9．如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为．则列出方程正确的是
A． B．
C． D．
解：设“□”内数字为，根据题意可得：
．
故选：．
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结，相交于点、与相交于点．若，则的值是
A． B． C． D．
解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
设，
为，的交点，
，，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
，
，
，
．
故选：．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．点在第二象限内，则的值可以是（写出一个即可） （答案不唯一）． ．
解：点在第二象限内，
，
则的值可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
12．数据1，2，4，5，3的中位数是 3 ．
解：数据1，2，4，5，3按照从小到大排列是1，2，3，4，5，
则这组数据的中位数是3，
故答案为：3．
13．如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 20 ．
解：该几何体的主视图是一个长为4，宽为5的矩形，所以该几何体主视图的面积为．
故答案为：20．
14．如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是 30 ．
解：四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：30．
15．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点，，均为正六边形的顶点，与地面所成的锐角为．则的值是 ．
解：如图，作，过点作于，设正六边形的边长为，则正六边形的半径为，边心距．
观察图象可知：，，
，
，
．
故答案为．
16．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为，（点与点重合），点是夹子转轴位置，于点，于点，，，，．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点转动．
（1）当，两点的距离最大时，以点，，，为顶点的四边形的周长是 16 ．
（2）当夹子的开口最大（即点与点重合）时，，两点的距离为 ．
解：（1）当，两点的距离最大时，，，共线，此时四边形是矩形，
，
，
，
此时四边形的周长为，
故答案为16．
（2）如图3中，连接交于．
由题意，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．计算：．
解：原式．
18．解不等式：．
解：，
，
，
．
19．某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：
抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表
类别 | 项目 | 人数（人 |
| 跳绳 | 59 |
| 健身操 | ▲ |
| 俯卧撑 | 31 |
| 开合跳 | ▲ |
| 其它 | 22 |
（1）求参与问卷调查的学生总人数；
（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？
（3）该市共有初中学生8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．
解：（1）（人，
答：参与调查的学生总数为200人；
（2）（人，
答：最喜爱“开合跳”的学生有48人；
（3）最喜爱“健身操”的学生数为（人，
（人，
答：最喜爱“健身操”的学生数大约为1600人．
20．如图，的半径，于点，．
（1）求弦的长．
（2）求的长．
解：（1）的半径，于点，，
，
；
（2），，
，
，
的长是：．
21．某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低，气温和高度（百米）的函数关系如图所示．
请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温；
（2）求关于的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为，求该山峰的高度．
解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低，
，
高度为5百米时的气温大约是；
（2）设关于的函数表达式为，
则：，
解得，
关于的函数表达式为；
（3）当时，，
解得．
该山峰的高度大约为15百米．
22．如图，在中，，，．
（1）求边上的高线长．
（2）点为线段的中点，点在边上，连结，沿将折叠得到．
①如图2，当点落在上时，求的度数．
②如图3，连结，当时，求的长
解：（1）如图1中，过点作于．
在中，．
（2）①如图2中，
，
，
，
，
，
，
．
②如图3中，由（1）可知：，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
在，，
．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，异于顶点的点在该函数图象上．
（1）当时，求的值．
（2）当时，若点在第一象限内，结合图象，求当时，自变量的取值范围．
（3）作直线与轴相交于点．当点在轴上方，且在线段上时，求的取值范围．
解：（1）当时，，
当时，．
（2）当时，将代入函数表达式，得，
解得或（舍弃），
此时抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性可知，当时，或5，
的取值范围为．
（3）点与点不重合，
，
抛物线的顶点的坐标是，
抛物线的顶点在直线上，
当时，，
点的坐标为，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动，
当点与重合时，，
解得或，
当点与点重合时，如图2，顶点也与，重合，点到达最高点，
点，
，解得，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点不在线段上，
点在线段上时，的取值范围是：或．
24．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点，作，的平行线，相交于点，已知．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）求四边形的面积．
（3）若点在轴正半轴上（异于点，点在轴上，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形与四边形相似？若存在，求点的坐标；若不存在，试说明理由．
【解答】（1）证明：如图1中，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是正方形，
，，
，分别是，的中点，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：如图1中，连接．
，
，
，
．
（3）解：如图1中，连接，设交于，
，，
，
，
，
，
，
①当为菱形的一边，点在轴的上方，有图2，图3两种情形：
如图2中，设交于，过点作轴于，交于，设．
菱形菱形，
，
，，
，
是的中位线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图3中，过点作轴于，过点作轴交于，延长交于．
同法可证：，
，设，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，
．
②当为菱形的边，点在轴的下方时，有图4，图5两种情形：
如图4中，，过点作于，过点作于．
是的中位线，
，
同法可得：，
，
，
，设，则，
，
，
，
，
点的坐标为，．
如图5中，，过点作轴于交于，过点作于．
是的中位线，
，，
同法可得：，
，则，
设，则，
，
，
，
，
，．
③如图6中，当为菱形的对角线时，有图6一种情形：
过点作轴于于点，交于，过点作于．
轴，，
，
，
同法可得：，
，
，，
是的中位线，
，
，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或，或，或．
