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    中考数学必考点提分专练09 圆中的有关计算与证明(含解析)

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    |类型1| 圆的基本性质

    1. [2019·福建]如图四边形ABCD内接于OAB=ACACBD垂足为EFBD的延长线上DF=DC连接AFCF.

    (1)求证BAC=2DAC

    (2)AF=10BC=4tanBAD的值.

    (1)证明ACBDAED=90°

    RtAEDADE=90°-CAD

    AB=AC=ACB=ABC.

    ∴∠BAC=180°-2ACB=180°-2ADB=180°-2(90°-CAD)BAC=2CAD.

    (2)DF=DC∴∠FCD=CFD∴∠BDC=FCD+CFD=2CFD.∵∠BDC=BACBAC=2CAD

    ∴∠CFD=CAD.∵∠CAD=CBD∴∠CFD=CBDCF=CB.

    ACBDBE=EFCA垂直平分BF

    AC=AB=AF=10

    AE=xCE=10-x

    RtABERtBCEAB2-AE2=BE2=BC2-CE2

    BC=4

    102-x2=(4)2-(10-x)2

    解得x=6AE=6CE=4

    BE==8.

    ∵∠DAE=CBEADE=BCE

    ∴△ADE∽△BCE==

    DE=3AD=3

    过点DDHABH.

    SABD=AB·DH=BD·AEBD=BE+DE=1110DH=11×6DH=

    RtADHAH==tanBAD===.

    2.[2019·绵阳] 如图ABO的直径C的中点CFO的弦CFAB垂足为E连接BDCF于点G连接CDADBF.

    (1)求证BFG≌△CDG

    (2)AD=BE=2BF的长.

    (1)证明C的中点=.

    ABO的直径CFAB=

    =CD=BF.

    BFGCDG

    BFG≌△CDG(AAS).

    (2)如图CCHADAD延长线于H连接ACBC

    =

    ∴∠HAC=BAC.

    CEAB

    CH=CE.

    AC=AC

    RtAHCRtAEC(HL)

    AE=AH.

    =

    CD=BC.

    CH=CE

    RtCDHRtCBE(HL)

    DH=BE=2

    AE=AH=AD+DH=2+2=4

    AB=4+2=6.

    ABO的直径

    ∴∠ACB=90°

    ∴∠ACB=BEC

    ∵∠EBC=ABC

    BEC∽△BCA

    =

    BC2=AB·BE=6×2=12

    BF=BC=2.

    3.[2019·合肥瑶海区三模]如图四边形ABCDO内接四边形D是弧BC中点DEAC垂足为EFCA延长线上一点AF=AB.

    求证EFC的中点.

    证明连接BD.

    D是弧BC的中点

    DB=DC∴∠DBC=DCB.

    ∵∠DAF+DAC=180°DAC=DBC

    ∴∠DAF+DCB=180°.

    四边形ABCDO内接四边形

    ∴∠DAB+DCB=180°

    ∴∠DAF=DAB.

    AB=AFAD=AD

    DAF≌△DAB(SAS)

    DF=DB

    DB=DC

    DF=DC.

    DEACEF=EC

    EFC的中点.

    4.[2019·马鞍山三模]如图已知ABO的直径CDAB于点EF上的一点AFCD的延长线相交于点G.

    (1)O的半径为3DFC=45°求弦CD的长

    (2)求证AFC=DFG.

    (1)如图连接ODOC.

    直径ABCD

    =DE=CE

    ∴∠DOE=DOC=DFC=45°.

    RtDEOOD=3DE=3CD=6.

    (2)证明如图连接AC.

    直径ABCD=

    ∴∠ACD=AFC

    四边形ACDF内接于O

    ∴∠DFG=ACD∴∠DFG=AFC.

    |类型2| 圆的切线判定与性质

    5.[2019·菏泽] 如图BCO的直径CEO的弦过点EO的切线CB的延长线于点G过点BBAGE于点FCE的延长线于点A.

    (1)求证ABG=2C

    (2)GF=3GB=6O的半径.

    (1)证明连接OE

    EGO的切线OEEG

    BFGEOEAB

    ∴∠A=OECOE=OC

    ∴∠OEC=C∴∠A=C

    ∵∠ABG=A+C∴∠ABG=2C.

    (2)BFGE∴∠BFG=90°

    GF=3GB=6BF==3

    BFOEBGF∽△OGE

    ==

    OE=6

    ∴☉O的半径为6.

    6.[2019·天水]如图ABAC分别是O的直径和弦ODAC于点D.过点AO的切线与OD的延长线交于点PPCAB的延长线交于点F.

    (1)求证PCO的切线

    (2)ABC=60°AB=10求线段CF的长.

    (1)证明连接OC

    ODACOD经过圆心OAD=CD

    PA=PC.                                   

    OAPOCP

    OAP≌△OCP(SSS)∴∠OCP=OAP.

    PAO的切线∴∠OAP=90°.

    ∴∠OCP=90°OCPC

    PCO的切线.

    (2)OB=OCOBC=60°

    OBC是等边三角形

    ∴∠COB=60°

    AB=10OC=5

    (1)OCF=90°

    CF=OCtanCOB=5.

    7.[2019·安庆]如图已知O的半径为5ABO的弦C为弧AB上一点过点CMNAB.

    (1)AB=8MNO相切于点C求弦AC的长

    (2)连接OBCB若四边形OACB是平行四边形求证MNO的切线.

    .(1)连接OCAB于点D.

    MNO相切于点C   OCMN.

    ABMN    OCAB

    AD=AB=×8=4.

    RtOADOD===3.

    CD=OC-OD=5-3=2.

    RtACDAC===2.

    (2)证明连接OC.在平行四边形OACBOA=OB

    平行四边形OACB是菱形    OCAB.

    ABMN   OCMN.

    C为弧AB上一点   MNO的切线.

    8.[2019·合肥五十中二模]如图OAB是直径FO上一点E的中点过点EO的切线BABF的延长线分别交于点CD连接BE.

    (1)求证BDCD

    (2)已知O的半径为2AC为何值时BF=DF?并说明理由.

    (1)证明如图连接OE.

    CDO相切于点E

    OECD

    ∴∠CEO=90°.

    E的中点

    =

    ∴∠2=3.

    OB=OE

    ∴∠2=1

    ∴∠1=3

    OEBD

    ∴∠D=CEO=90°

    BDCD.

    (2)AC=4BF=DF.理由如下

    如图连接AF.

    ABO的直径

    ∴∠AFB=90°.

    (1)可知D=90°

    ∴∠D=AFB

    AFCD

    =.

    AC=4∵☉O的半径为2AB=4

    此时AC=AB==1

    BF=DF.

     

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