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    中考数学必考点提分专练04 用待定系数法求函数表达式(含解析)

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    用待定系数法求函数表达式
    提分专练04

    |类型1| 求一次函数表达式
    1.如图,已知直线y=12x+2交x轴于点A,交y轴于点B.
    (1)求A,B两点的坐标;
    (2)已知点C是线段AB上的一点,当S△AOC=12S△AOB时,求直线OC的解析式.

    解:(1)∵直线y=12x+2,∴当x=0时,y=2,当y=0时,x=-4,
    ∴点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,2).
    (2)由(1)知,点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,2),
    ∴OA=4,OB=2,∴S△AOB=4×22=4,
    ∵S△AOC=12S△AOB,∴S△AOC=2,
    设点C的坐标为(m,n),∴4n2=2,∴n=1,
    ∵点C在线段AB上,∴1=12m+2,∴m=-2,∴点C的坐标为(-2,1),
    设直线OC的解析式为y=kx,则-2k=1,解得k=-12,
    即直线OC的函数解析式为y=-12x.
    2.如图①,直线y=kx-2k(k<0)与y轴交于点A,与x轴交于点B,AB=25.
    (1)求A,B两点的坐标;
    (2)如图②,以AB为边,在第一象限内画出正方形ABCD,并求直线CD的解析式.

    解:(1)∵直线y=kx-2k(k<0)与y轴交于点A,与x轴交于点B,
    ∴A(0,-2k),B(2,0),
    ∵AB=25,∴4+4k2=20,∴k2=4,
    ∵k<0,∴k=-2,∴A(0,4),B(2,0).
    (2)如图,作CH⊥x轴于H.

    ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠AOB=∠ABC=∠BHC=90°,
    ∴∠ABO+∠CBH=90°,∠CBH+∠BCH=90°,∴∠ABO=∠BCH,
    ∴△AOB≌△BHC(AAS),
    ∴CH=OB=2,BH=OA=4,∴C(6,2),
    ∵CD∥AB,
    ∴设直线CD的解析式为y=-2x+b,把C(6,2)代入得到b=14,
    ∴直线CD的解析式为y=-2x+14.
    3.[2019·泰州]小李经营一家水果店,某日到水果批发市场批发一种水果,经了解,一次性批发这种水果不得少于100kg,超过300kg时,所有这种水果的批发单价均为3元/kg,

    图中折线表示批发单价y(元/kg)与质量x(kg)的函数关系.
    (1)求图中线段AB所在直线的函数表达式;
    (2)小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少?
    解:(1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b,由图可得,点A的坐标为(100,5),B的坐标为(300,3),则5=100k+b,3=300k+b,解得:k=-0.01,b=6,
    ∴y=-0.01x+6.
    (2)设批发xkg,∵800<300×3,∴x<300.则单价为(-0.01x+6)元/kg,
    根据题意可列方程:(-0.01x+6)x=800,
    解得:x1=200,x2=400(舍去),
    ∴小李用800元一次可以批发这种水果200kg.
    4.[2019·济宁]小王骑车从甲地到乙地,小李骑车从乙地到甲地,小王的速度小于小李的速度,两人同时出发,沿同一条公路匀速前进.图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系.请你根据图象进行探究:
    (1)小王和小李的速度分别是多少?
    (2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.

    解:(1)从线段AB得:两人从相距30km的两地同时出发,1h后相遇,则v小王+v小李=30km/h,小王从甲地到乙地行驶了3h,
    ∴v小王=30÷3=10(km/h),∴v小李=20km/h.
    (2)C点的意义是小李骑车从乙地到甲地用了30÷20=1.5(h),此时小王和小李的距离是1.5×10=15(km),∴C点坐标是(1.5,15).
    设直线BC的解析式为y=kx+b,将B(1,0),C(1.5,15)分别代入解析式,得k+b=0,1.5k+b=15,
    解得:k=30,b=-30.
    ∴线段BC的解析式为y=30x-30(1≤x≤1.5).
    |类型2| 求反比例函数表达式
    5.[2019·滨州]如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过对角线OB的中点D和顶点C.若菱形OABC的面积为12,则k的值为 (  )

    A.6 B.5 C.4 D.3
    [答案]C 
    [解析]方法1:如图,连接AC,

    ∵四边形OABC是菱形,∴AC经过点D,且D是AC的中点.设点A的坐标为(a,0),点C坐标为(b,c),则点D坐标为(a+b2,c2).∵点C和点D都在反比例函数y=kx的图象上,∴bc=a+b2×c2,∴a=3b.∵菱形的面积为12,∴ac=12,∴3bc=12,bc=4,即k=4.故选C.
    方法2:设点A的坐标为(a,0),点C的坐标为(c,kc),则a·kc=12,点D的坐标为(a+c2,k2c),
    ∴a·kc=12,k2c=ka+c2,解得k=4,故选C.
    6.[2019·常德]如图,一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B两点,与x轴交于点C.

    (1)求反比例函数的解析式;
    (2)若点P在x轴上,且△APC的面积为5,求点P的坐标.
    解:(1)∵A(1,a)在y=-x+3的图象上,
    ∴a=-1+3=2,
    把A(1,2)代入y=kx中,得k=2,
    ∴反比例函数解析式为y=2x.
    (2)∵点P在x轴上,∴设P(m,0),
    ∵S△APC=12PC×2,∴5=12PC×2,∴PC=5.
    ∵y=-x+3,当y=0时,x=3,∴C(3,0),
    ∴m-3=5或3-m=5,即m=8或-2,
    ∴点P的坐标为(8,0)或(-2,0).
    7.[2018·泰安]如图,矩形ABCD的两边AD,AB的长分别为3,8,E是DC的中点,反比例函数y=mx(x<0)的图象经过点E,与AB交于点F.
    (1)若点B坐标为(-6,0),求m的值及图象经过A,E两点的一次函数的表达式;
    (2)若AF-AE=2,求反比例函数的表达式.

    解:(1)∵B(-6,0),AD=3,AB=8,E为CD的中点,
    ∴E(-3,4),A(-6,8).
    ∵反比例函数图象过点E(-3,4),
    ∴m=-3×4=-12.
    设图象经过A,E两点的一次函数表达式为y=kx+b,
    ∴-6k+b=8,-3k+b=4,解得k=-43,b=0,∴y=-43x.
    (2)连接AE,∵AD=3,DE=4,∴AE=5.

    ∵AF-AE=2,∴AF=7,∴BF=1.
    设点E横坐标为a,则E点坐标为(a,4),点F坐标为(a-3,1),
    ∵E,F两点在y=mx图象上,
    ∴4a=a-3,解得a=-1,
    ∴E(-1,4),∴m=-4,∴y=-4x.
    8.[2019·兰州]如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=kx(k≠0)的图象过等边三角形BOC的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO.
    (1)求反比例函数y=kx(k≠0)的表达式;
    (2)若四边形ACBO的面积是33,求点A的坐标.

    解:(1)作BD⊥OC于D,

    ∵△BOC是等边三角形,
    ∴OB=OC=2,OD=12OC=1,
    ∴BD=OB2-OD2=3,∴S△OBD=12OD·BD=32,
    又∵S△OBD=12|k|,∴|k|=3,
    ∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象在第一、三象限,∴k=3,
    ∴反比例函数的表达式为y=3x.
    (2)∵S△OBC=12OC·BD=12×2×3=3,
    ∴S△AOC=33-3=23.
    ∵S△AOC=12OC·yA=23,∴yA=23.
    把y=23代入y=3x,得x=12,
    ∴点A的坐标为(12,23).
    |类型3| 求二次函数表达式
    9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,求这个二次函数的解析式.
    解:设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),
    把(0,-3)代入得a×1×(-3)=-3,
    解得a=1,
    所以这个二次函数的解析式为
    y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
    10.已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).
    (1)求该函数的关系式;
    (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标.
    解:(1)由顶点A(-1,4),可设二次函数关系式为y=a(x+1)2+4(a≠0).
    ∵二次函数的图象过点B(2,-5),
    ∴点B(2,-5)的坐标满足二次函数关系式,
    ∴-5=a(2+1)2+4,解得a=-1.
    ∴二次函数的关系式是y=-(x+1)2+4.
    (2)令x=0,则y=-(0+1)2+4=3,
    ∴图象与y轴的交点坐标为(0,3);
    令y=0,则0=-(x+1)2+4,
    解得x1=-3,x2=1,
    故图象与x轴的交点坐标是(-3,0),(1,0).
    11.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:
    x

    -1
    0
    2
    3
    4

    y

    5
    2
    2
    5
    10

    (1)根据上表填空:
    ①这个抛物线的对称轴是    ,抛物线一定会经过点(-2,    );
    ②抛物线在对称轴右侧部分是    (填“上升”或“下降”).
    (2)如果将这个抛物线y=ax2+bx+c向上平移使它经过点(0,5),求平移后的抛物线表达式.
    解:(1)①直线x=1 10 [解析]∵当x=0和x=2时,y值均为2,
    ∴抛物线的对称轴为直线x=1.
    ∴当x=-2和x=4时,y值相同,
    ∴抛物线会经过点(-2,10).
    故答案为:直线x=1;10.
    ②上升 [解析]∵抛物线的对称轴为直线x=1,且x=2,3,4时的y的值逐渐增大,
    ∴抛物线在对称轴右侧部分是上升.
    故答案为:上升.
    (2)将(-1,5),(0,2),(2,2)代入y=ax2+bx+c中,
    得a-b+c=5,c=2,4a+2b+c=2,解得a=1,b=-2,c=2.
    ∴二次函数的表达式为y=x2-2x+2.
    ∵点(0,5)在点(0,2)上方3个单位长度处,
    ∴平移后的抛物线表达式为y=x2-2x+5.
    12.[2019·东营节选]已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.
    (1)求这条抛物线的解析式.
    (2)如图,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标.

    [解析](1)直接把点A(2,0),B(-4,0)的坐标代入y=ax2+bx-4,可求得解析式;(2)连接OP,设点P(x,12x2+x-4),其中-4 则S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=-(x+2)2+16,再根据二次函数的性质求S最大时P点的坐标.
    解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),
    ∴4a+2b-4=0,16a-4b-4=0,
    解得a=12,b=1,
    ∴这条抛物线的解析式为y=12x2+x-4.
    (2)如图,连接OP,

    设点P(x,12x2+x-4),其中-4 设四边形ABPC的面积为S,由题意得C点坐标为(0,-4),
    ∴S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=12×2×4+12×4·(-x)+12×4·(-12x2-x+4)=4-2x-x2-2x+8=-x2-4x+12
    =-(x+2)2+16.
    ∵-1<0,开口向下,∴S有最大值,
    ∴当x=-2时,四边形ABPC的面积最大,
    此时,y=12x2+x-4=-4,即P(-2,-4).
    ∴当四边形ABPC的面积最大时,点P的坐标为(-2,-4).
    13.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:
    x

    -1
    0
    1
    2
    3

    y甲

    6
    3
    2
    3
    6

    乙写错了常数项,列表如下:
    x

    -1
    0
    1
    2
    3

    y乙

    -2
    -1
    2
    7
    14

    通过上述信息,解决以下问题:
    (1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;
    (2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x    时,y的值随x的值增大而增大;
    (3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
    解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时,y=c=3是正确的,
    由甲同学提供的数据,选择x=-1,y=6;x=1,y=2代入y=ax2+bx+3,
    得a-b+3=6,a+b+3=2,解得a=1是正确的.
    根据乙同学提供的数据,选择x=-1,y=-2;x=1,y=2代入y=x2+bx+c,
    得1-b+c=-2,1+b+c=2,解得b=2是正确的,
    ∴y=x2+2x+3.
    (2)≥-1 [解析]抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1,
    ∵二次项系数为1,故抛物线开口向上,
    ∴当x≥-1时,y的值随x值的增大而增大.
    故答案为≥-1.
    (3)∵方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,
    即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,
    ∴Δ=4-4(3-k)>0,解得k>2.
    14.[2019·常州节选]如图,二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.
    (1)b=    .
    (2)若点P在第一象限,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,PH与BC,BD分别交于点M,N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    [解析]∵二次函数y=-x2+bx+3的图象过点A(-1,0),
    ∴0=-(-1)2-b+3.
    ∴b=2.故填2.

    (2)如图①,连接BD,BC,过点P作PH⊥x轴于点H,分别交BC,BD于点M,N.
    由题意知,抛物线y=-x2+2x+3交x轴于点A(-1,0),B(3,0),交y轴于点C(0,3),
    且点D为OC的中点,∴D(0,32).
    易求直线BC的解析式为y=-x+3,
    直线BD的解析式为y=-12x+32.
    假设存在符合条件的点P(m,-m2+2m+3),
    则M(m,-m+3),N(m,-12m+32).
    ∵PM=MN=NH,
    ∴-12m+32=(-m2+2m+3)-(-m+3).
    整理,得2m2-7m+3=0,
    解得m1=12,m2=3(不合题意,舍去).
    ∴P(12,154)使得PM=MN=NH.

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