第3讲 等差数列及其前n项和（知识点串讲）（复习讲义）

第3讲 等差数列及其前n项和

【知识梳理】

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．

【考点精炼】

考点一：定义辨析

例1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)

(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)

(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)

(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)

【知识梳理】

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.

3．等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项.

4．等差数列的前n项和公式

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.

5．等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝n2＋n.

数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

【考点精炼】

考点二：等差数列的基本运算

例2、(2019·内蒙古赤峰月考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于(　　)

A．－1 B．1

C．2 D．－2

练习．(2018·山东临沂期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a6＝14，则S7＝(　　)

A．13 B．35

C．49 D．63

练习．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)

A．－12 B．－10

C．10 D．12

练习．(2018·吉林长春期末)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布(　　)

A．30尺 B．90尺

C．150尺 D．180尺

等差数列运算问题的通性通法

(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．

(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

考点三：等差数列的判定与证明

例3、已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

[变式探究]　本例中，若将条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式．

等差数列的四种判断方法

(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列. 可用来判定与证明．

(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．可用来判定与证明．

(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．

(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．

练习 (2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．

已知S2＝2，S3＝－6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．

【知识梳理】

6．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．

7．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

8.与等差数列各项的和有关的性质

1．若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.

2．若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．

3．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质．

(1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝.

(2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.

4．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.

【考点精炼】

考点四：等差数列的性质及前n项和的最值

一、等差数列的性质

例4、数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5等于(　　)

A．9 B．10

C．11 D．12

二、等差数列前n项和的性质

例5、(1)(2019·湖北武汉调研)若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4＝4，S6＝12，则S2＝(　　)

A．－1 B．0

C．1 D．3

(2)(2019·山东日照检测)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，则S2 018＝________.

三、等差数列前n项和的最值

例6、等差数列{an}的首项a1>0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？

1．等差数列的性质

(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．

(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．

②S2n－1＝(2n－1)an.

2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法

(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝An2＋Bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(易忽视n∈N*)

(2)邻项变号法：

①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm.

②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.

练习1　设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　)

A．1 B．－1

C．2 D．

练习2　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＋a7＋a10＝9，S14－S3＝77，则使Sn取得最小值时n的值为(　　)

A．4 B．5

C．6 D．7

练习3　记等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为________.