第1讲 正弦定理和余弦定理（知识点串讲）（复习讲义）

第1讲　正弦定理和余弦定理

一、正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

考点1：利用正弦定理解三角形

例1．(2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)

A．2　　　 B．1　　

C．　　　 D．

【答案】D　[由正弦定理得b＝＝＝.]

练习1．(2019·山东烟台模拟)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A＝________.

【答案】　[∵2asin B＝b，∴2sin Asin B＝sin B，得sin A＝，∴A＝或A＝，∵△ABC为锐角三角形，∴A＝.]

利用正弦定理可解决两类问题

考点2：利用余弦定理解三角形

例2．(2019·山东济南期中)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝(　　)

A． B．－

C． D．－

【答案】B　[由题意得，b2＝ac＝2a2，即b＝a，

∴cos C＝＝＝－.]

练习2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.

【答案】　[方法一　由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，

得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A.

∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)．

又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.

∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B.

又sin B≠0，∴cos B＝.∴B＝.

方法二　∵在△ABC中，acos C＋ccos A＝b，

∴条件等式变为2bcos B＝b，∴cos B＝.

又0<B<π，∴B＝.]

利用余弦定理可解决两类问题

考点3：判断三角形的形状

例3、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

【答案】B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，

∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A． ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝，∴△ABC为直角三角形．]

[变式探究1]　本题1中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．

解　∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，

∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，

∴sin(A－B)＝0.

又A，B为△ABC的内角．

∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．

[变式探究2]　本题1中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．

解　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，

又0<C<π，∴C＝，又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B，

故△ABC为等边三角形．

判定三角形形状的2种常用途径

二、三角形中常用的面积公式

1.三角形中常用的面积公式

(1)S＝ah(h表示边a上的高)；

(2)S＝bcsin A＝acsinB＝absin C；

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

2.在△ABC中常用结论

(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.

(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin ＝cos ；cos ＝sin.

(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.

(6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.

(7)合比定理：＝＝2R.

(8)在锐角三角形中①A＋B＞；②若A＝，则＜B，C＜.

考点4 求三角形的面积

例4、(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

解　(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.

在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，

即c2＋2c－24＝0，

解得c＝－6(舍去)，c＝4.

(2)由题设可得∠CAD＝，

所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.

故△ABD面积与△ACD面积的比值为

＝1.

又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，

所以△ABD的面积为.

练习4、(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________.

【答案】　[∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，

∴由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.

又sin Bsin C>0，∴sin A＝.

由余弦定理得cos A＝＝＝>0，

∴cos A＝，bc＝＝，

∴S△ABC＝bcsin A＝××＝.]

考点5 求解几何计算问题

例5、如图，在△ABC中，B＝，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足．

(1)若△BCD的面积为，求AB的长；

(2)若DE＝，求角A的大小．

解　(1)∵△BCD的面积为，B＝，BC＝2，

∴×2×BD×sin ＝，∴BD＝.

在△BCD中，由余弦定理可得

CD＝

＝＝.

∴AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝＋＝.

(2)∵DE＝，∴CD＝AD＝＝.

在△BCD中，由正弦定理可得＝.

∵∠BDC＝2∠A，∴＝，∴cos A＝.∴A＝.

练习5、 (2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.

(1)求∠A；

(2)求AC边上的高．

解　(1)在△ABC中，因为cos B＝－，

所以sin B＝ ＝.

由正弦定理得sin A＝＝.

由题设知<∠B<π，所以0<∠A<.

所以∠A＝.

(2)在△ABC中，

因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，

所以AC边上的高为asin C＝7×＝.

考点6三角函数求值问题

例6、(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.

(1)求角B的大小；

(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．

解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B.

又由bsin A＝acos，得asin B＝acos ，

即sin B＝cos ，所以tan B＝.

又因为B∈(0，π)，所以B＝.

(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，

得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.

由bsin A＝acos，可得sin A＝ .

因为a<c，所以cos A＝ .

因此sin 2A＝2sin Acos A＝，

cos 2A＝2cos2A－1＝.

所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B

＝×－×＝.

考点7解三角形综合问题

例7、(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝2，求BC.

解 (1)在△ABD中，由正弦定理得＝

即＝，所以sin∠ADB＝

由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝＝

(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝

在△BCD中，由余弦定理得

BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25

所以BC＝5

练习7、(2019·广东惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(2b－c)cos A＝acos C.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝，b＋c＝5，求△ABC的面积．

解　(1)△ABC中，由条件及正弦定理得(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，

∴2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin B．∵sin B≠0，∴2cos A＝1，

∵A∈(0，π)，∴A＝.

(2)∵a＝，b＋c＝5，a2＝b2＋c2－2bccos A

＝(b＋c)2－2bc－2bccos ＝52－3bc＝13，

∴bc＝＝4，∴S△ABC＝bcsin A＝×4×sin ＝.