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    西藏自治区昌都市第一高级中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试卷

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    文科数学试卷

     

    第I卷(选择题)

    一、单选题

    1.设集合,则   

    A B C D

    2.若复数满足,则对应的点位于复平面的(   

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    3的值等于(   

    A B C D

    4.数列的通项公式是(  )

    A  B  C  D

    5.如图所示,可表示函数图象的是(   

    A B②③④ C①③④ D

    6.已知,则 

    A2 B C4 D

    7.设为两个不同的平面,为两条不同的直线,则下列判断正确的是(   

    A.若,则 B,则

    C,则 D,则

    8.一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.3,摸出白球的概率是0.2,那么摸出黑球的概率是(   

    A0.4 B0.5 C0.6 D0.95

    9.执行如图所示的程序框图,若恰好经过两次条件判断就输出,则可输入的正整数的取值共(   

     

    A B C D

    10.已知的面积是,, , 

    A5 B1 C51 D

    11.已知圆),直线.若圆上恰有三个点到直线的距离为1,则的值为(   

    A2 B3 C4 D6

    12.已知函数,则不等式的解集是

    A        B        C               D

     

    第II卷(非选择题)

     

    填空题

    13.函数的单调增区间为__________.

    14.变量满足条件,则的最大值为___________

    15.如图,在棱长为2的正方体中,的中点,则直线与平面所成角的正切值为______

    16.已知1a1a2,4成等差数列,1b1b2b3,4成等比数列,则=____.             

    解答题

    17.在 中,角ABC的对边分别为abc,且

    1)求角A

    2)若的面积为,求的周长.

     

     

    18.某市2013年至2019年新能源汽车y(单位:百台)的数据如下表:

    )求y关于x的线性回归方程,并预测该市2021年新能源汽车台数;

    )该市某公司计划投资600双枪同充(两把充电枪)、一拖四群充(四把充电枪)的两种型号的直流充电桩.按要求,充电枪的总把数不少于该市2021年新能源汽车预测台数,若双枪同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为25元,10元,问两种型号的充电桩各安装多少台时,才能使日利润最大,求出最大日利润.

    附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

     

     

     

    19.如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,底面.

    1)求证:平面

    2)若,直线与平面所成的角为,求四棱锥的体积.

     

    20.已知椭圆)的离心率为,且经过点.

    1)求椭圆的方程;

    2)过点作直线与椭圆交于不同的两点,试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.

     

    21.函数

    1)试讨论函数的单调性;

    2)若,证明:(为自然对数的底数)

    22.在直角坐标系中,曲线的标准方程为.以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.

    1)求直线的直角坐标方程;

    2)若点在曲线上,点在直线上,求的最小值.

    23.函数

    (1)时,不等式的解集

    (2)时,不等式成立,求的取值范围.

     

    参考答案

    1B

    【解析】

    【分析】

    先化简集合A,B,再求AB得解.

    【详解】

    由题意

    故选:B

    【点睛】

    本题主要考查集合的交集,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.

    2D

    【解析】

    【分析】

    利用复数模的计算、复数的除法化简复数,再根据复数的几何意义,即可得答案;

    【详解】

    对应的点

    对应的点位于复平面的第四象限.

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义,考查运算求解能力,属于基础题.

    3A

    【解析】

    【分析】

    直接利用诱导公式计算得到答案.

    【详解】

    .

    故选:.

    【点睛】

    本题考查了诱导公式,意在考查学生的计算能力.

    4B

    【解析】

    【分析】

    代入即解

    【详解】

    故选:B.

    【点睛】

    数列通项公式是第项与序号之间的函数关系,求某项值代入求解.

    5C

    【解析】

    【分析】

    利用函数的定义分别对四个图象进行判断即可.

    【详解】

    由函数的定义可知,对定义域内的任何一个变量x,存在唯一的一个变量yx对应.

    则由定义可知①③④,满足函数的定义,但不满足,因为图象中,当x>0时,一个x对应着两个y,所以不满足函数取值的唯一性,所以能表示为函数图象的是①③④.

    故选:C.

    【点睛】

    本题主要考查了函数的定义以及函数图象的判断,要求学生了解:一对一,多对一是函数关系,一对多不是函数关系,属基础题.

    6C

    【解析】

    【分析】

    先求出的坐标,再利用向量的模的公式求解.

    【详解】

    由题得=0,4

    所以

    故选C

    【点睛】

    本题主要考查向量的坐标的求法和向量的模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

    7B

    【解析】

    【分析】

    利用直线与平面平行与垂直的关系,平面与平面平行与垂直的关系,判断选项的正误即可.

    【详解】

    根据垂直于同一个平面的两条直线平行,所以A不正确;

    ,则B正确;

    因为根据面面垂直的性质定理,需要加上“m在平面内或者平行于这个条件,才能判定C不正确;

    直线n可能在平面内,D不正确;

    故选:B.

    【点睛】

    此题考查空间中线面平行和垂直关系,根据条件想象出空间中的位置关系,属于简单题目.

    8B

    【解析】

    【分析】

    由题意可知,从中摸出一个小球是黑色和是红或白色是互斥事件,根据互斥事件的概率公式即可求解

    【详解】

    解:根据题意可知,从中摸出1个球,摸出黑球与摸出红色和白色是互斥事件,

    故其概率.

    故选:B

    【点睛】

    本题考查了互斥事件概率的计算公式,考查了数学运算能力.

    9C

    【解析】

    【分析】

    根据循环条件和恰好经过两次条件判断就输出,可得关于的不等关系,从而可求的值.

    【详解】

    由题意可得,,且

    因为为正整数,所以,且

    所以可输入的正整数的取值有:3,4,5,6.

    故选:C.

    【点睛】

    本题主要考查程序框图的识别,根据循环条件列出不等式是求解的关键,侧重考查逻辑推理的核心素养.

    10B

    【解析】

    ,

    为钝角,则,由余弦定理得

    解得

    为锐角,则,同理得.

    故选B.

    11A

    【解析】

    【分析】

    的圆心为到直线的距离为1,由圆上恰有三个点到直线的距离为1,得到圆心为到直线的距离为,由此求出的值.

    【详解】

    的圆心为,则圆心到直线的距离.

    又圆上恰有三个点到直线的距离为1.

    所以圆心为到直线的距离为,

    所以

    故选:A

    【点睛】

    本题考查圆与直线的位置关系,点到直线的距离,,属于基础题.

    12C

    【解析】

    【分析】

    由题意,根据函数的解析式,求解函数是定义域上的单调递增函数,且为奇函数,把不等式转化为,进而借助一元二次不等式的解法,即可求解.

    【详解】

    由题意,函数,则,所以函数是定义域上的单调递增函数,

    又由,即函数定义域上的奇函数,

    又由不等式可转化为

    ,即,解得

    即不等式的解集为,故选C.

    【点睛】

    本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题,其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性,把不等式转化为一元二次不等式是解答的关键,着重考查了转化思想,以及分析问题和解答问题的能力,属于基础题.

    13.(1A2

    【解析】

    【分析】

    1)由和余弦定理可得,再根据的取值范围即可得的值.

    2)利用三角形面积公式可得,由余弦定理可得,即可解得三角形的周长.

    【详解】

    :1)由,和余弦定理,

    ,,,

    所以

    2,的面积为,解得,

    根据余弦定理 ,

    ,所以

    ,

    ,

    所以的周长为

    【点睛】

    本题考查了余弦定理、二倍角公式、三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题.

    14.(,2100台;()双枪同充安装150台,一拖四群充安装450台时,每天的利润最大,最大利润为25500元.

    【解析】

    【分析】

    )计算,根据,可得,进一步可得,然后可得方程,最后代值计算,可得结果.

     )假设一拖四群充,双枪同充分别安装台,台,根据,可得的范围,然后计算日利润,依据不等式可得结果.

    【详解】

    )依题意知

    关于的线性回归方程

    得:

    故预测2021年该市新能源汽车大约有2100台.

    )设一拖四群充,双枪同充分别安装台,台,

    每天的利润为元,

    ,即

    所以当时,取最大值25500

    故当双枪同充安装150台,一拖四群充安装450台时,

    每天的利润最大,最大利润为25500元.

    【点睛】

    本题考查线性回归方程,本题关键在于识记公式,考验计算能力,属基础题.

    15.(1)证明见解析;(2

    【解析】

    【分析】

    1)通过ACBDPDAC可得平面

    2)由题先得出PBD是直线PB与平面ABCD所成的角,即PBD=45°,则可先求出菱形ABCD的面积,进而可得四棱锥P- ABCD的体积.

    【详解】

    解:(1)因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD

    又因为PD平面ABCD平面ABCD

    所以PDAC,又

    AC平面PBD

    2)因为PD平面ABCD

    所以PBD是直线PB与平面ABCD所成的角,

    于是PBD=45°

    因此BD=PD=2.AB= AD=2

    所以菱形ABCD的面积为

    故四棱锥P- ABCD的体积.

    【点睛】

    本题主要考查空间线、面关系等基础知识,同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力,是基础题.

    16(1) (2)见解析

    【解析】

    【分析】

    1)由题得a,b,c的方程组求解即可(2)直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数,即,整理.设直线的方程为,与椭圆联立,将韦达定理代入整理即可.

    【详解】

    (1)由题意可得,又

    解得.

    所以,椭圆的方程为

     (2)存在定点,满足直线与直线恰关于轴对称.

    设直线的方程为,与椭圆联立,整理得,.

    ,定点.(依题意

    则由韦达定理可得,. 

    直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数. 

    所以,,即得.

    所以,,整理得,.

    从而可得,

    所以,当,即时,直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地,当直线轴时,也符合题意. 综上所述,存在轴上的定点,满足直线与直线恰关于轴对称.

    【点睛】

    本题考查椭圆方程,直线与椭圆位置关系,熟记椭圆方程简单性质,熟练转化题目条件,准确计算是关键,是中档题.

    17.(1)答案见解析.(2)答案见解析

    【解析】

    【分析】

    1)求导得,根据分类讨论,求出的解集即可得解;

    2)令,求导得,令,求导得时取得极小值,即为最小值,可得,即可得证.

    【详解】

    1的定义域为

    时,单调递增.

    时,时,单调递减,

    时,单调递增.

    综上,当单调递增;当时,时,单调递减,当时,单调递增.

    2,即

    ,则

    时,,当时,,当时,

    所以时取得极小值,即为最小值

    所以.

    ,则

    时,,当时,

    时,

    所以时取得极小值,即为最小值.

    所以

    所以恒成立.

    【点睛】

    本题考查了利用导数判断函数的单调性和证明不等式,考查了换元法的应用,属于中档题.

    18.(12

    【解析】

    【分析】

    1)直接利用极坐标公式计算得到答案

    2)设,根据三角函数的有界性得到答案.

    【详解】

    1)因为,所以

    因为所以直线的直角坐标方程为.

    2)由题意可设

    则点到直线的距离.

    因为,所以

    因为,故的最小值为.

    【点睛】

    本题考查了极坐标方程,参数方程,意在考查学生的计算能力和转化能力.

    19(1)(2)

    【解析】

    【分析】

    (1) 时,不等式即为,利用绝对值的几何意义即可得到答案;

     

    (2)可知,从而将不等式化简为,再由对任意恒成立,即可求出答案.

    【详解】

    1)当时,

    由绝对值的几何意义可得:

    所以不等式的解集

    (2)时,不等式成立,等价于

    恒成立,

    所以,解得

    所以实数的取值范围是

    【点睛】

    本题主要考查绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题,属于中档题.

    20

    【解析】

    【分析】

    先求出导数,再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合,从而可得函数的单调增区间.

    【详解】

    函数的定义域为.

    ,则,故函数的单调增区间为:.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查导数在函数单调性中的应用,注意先考虑函数的定义域,再考虑导数在定义域上的符号,本题属于基础题.

    21

    【解析】

    【分析】

    画出可行域,根据可行域内的点和原点连线的斜率,求得的最大值.

    【详解】

    画出可行域如下图所示,由图可知,可行域内的点和原点连线斜率最大的为.

    【点睛】

    本小题主要考查斜率型的非线性规划求最值问题,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.

    22

    【解析】

    试题分析:取中点F,连接分别为

    的中点,平面为直线与平面所成角,=,则

    考点:直线与平面所成的角;

    232.5

    【解析】

    由题意可得:

    a1a2=14=5b22=1×4=4

    设等比数列的公比为,则

    b21同号,b2=2=2.5.

    点睛:熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度,历年高考对等比数列的性质考查较多,主要是考查等积性,题目小而巧且背景不断更新.解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质,不要把两者的性质搞混.

     

     

     

     

     

     

     

     

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