2020届河南省中原名校高三上学期第三次质量考评数学（文）试题（解析版）

2020届河南省中原名校高三上学期第三次质量考评数学（文）试题


一、单选题
1．已知复数z，则的虚部为（ ）
A． B．i C． D．
【答案】C
【解析】先化简复数z，得到共轭复数即可.
【详解】
因为复数z，
所以，
所以的虚部为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了复数的概念和复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，B＝{x|lg（5﹣x）＜1}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣2，5） B．（﹣5，5） C．（﹣∞，5） D．（﹣5，+∞）
【答案】B
【解析】先化简两个集合，再根据并集的定义求解.
【详解】
因为集合A＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}={x|﹣2＜x＜5}，
集合B＝{x|lg（5﹣x）＜1}={x|-5＜x＜5}，
所以A∪B＝={x|-5＜x＜5}.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了集合运算及不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．已知命题p：∀x≥0，x2﹣2x﹣3＞0，则￢p为（ ）
A．∃x＜0，x2﹣2x﹣3≤0 B．∀x≥0，x2﹣2x﹣3≤0
C．∀x＜0，x2﹣2x﹣3≤0 D．∃x≥0，x2﹣2x﹣3≤0
【答案】D
【解析】根据命题的否定的定义求解，注意既要否定结论，也要转化量词.
【详解】
因为命题p：∀x≥0，x2﹣2x﹣3＞0，是全称命题，
根据命题的否定，该命题的否定是特称命题
所以是：∃x≥0，x2﹣2x﹣3≤0
故选：D
【点睛】
本题主要考查了命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
4．已知tanα，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先转化，再将tanα代入求解.
【详解】
因为，
又因为tanα，
所以，.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．已知向量与满足1，||＝2且||＝1，则|2|＝（ ）
A．3 B．9 C．2 D．4
【答案】A
【解析】由||＝2，平方，再根据1，且||＝1，求得，
然后代入|2|=求解.
【详解】
因为||＝2，
所以|，
又因为1，且||＝1，
所以，
所以|2|=.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6．已知a＝log25，b＝log38，c＝0.20.3，则a，b，c的大小关系（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
【答案】A
【解析】根据对数函数的单调性有log25> log24=2，所以a> 2，同理1= log33 < log38 【详解】
因为log25> log24=2，
所以a> 2
因为1= log33 < log38 所以1 又因为c＝0.20.3<1
所以 c＜b＜a
故选：A
【点睛】
本题主要考查了利用函数单调性比较大小，还考查了转化问题的能力，属于基础题.
7．要得到函数y＝sin（2x）的图象，只需将函数y＝cos2x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【解析】先转化y＝sin（2x）=cos（2x）==cos[2(x，再根据平移的规律求解.
【详解】
因为y＝sin（2x）=cos（2x）==cos[2(x，
所以只需将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位得到.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了诱导公式及三角函数的图象变换，还考查了转化问题和理解辨析的能力，属于基础题.
8．若函数f（x）＝2sin（2x）﹣m在区间[，]上有两个零点x1，x2，则x1+x2＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令2x，求得y＝2sin（2x）的对称轴方程为：，再根据函数f（x）＝2sin（2x）﹣m在区间[，]上有两个零点，即2sin（2x）=m在区间[，]上有两个零点，则x1与x2关于y＝2sin（2x）的对称轴对称，再用中点坐标公式求解.
【详解】
令2x，
解得 ，
所以y＝2sin（2x）的对称轴方程为：，
因为函数f（x）＝2sin（2x）﹣m在区间[，]上有两个零点，
即2sin（2x）=m在区间[，]上有两个零点，
所以.
又因为 [，]，
所以x1+x2＝.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角函数的对称性，还考查了转化问题的能力，属于中档题.
9．已知x＝﹣1是函数f（x）x3（a2+a﹣3）x2+（2a+2）x的极大值点，则实数a＝（ ）
A．0 B．0或﹣3 C．0或3 D．﹣3
【答案】D
【解析】由f（x）x3（a2+a﹣3）x2+（2a+2）x，求导得=x2（a2+a﹣3）x+（2a+2），根据x＝﹣1是函数f（x）x3（a2+a﹣3）x2+（2a+2）x的极大值点，有=1+（a2+a﹣3）+（2a+2）=0，解得a=0或 a=-3.然后分别验证x＝﹣1是否是极值点且为极大值点即可.
【详解】
因为f（x）x3（a2+a﹣3）x2+（2a+2）x，
所以=x2（a2+a﹣3）x+（2a+2），
已知x＝﹣1是函数f（x）x3（a2+a﹣3）x2+（2a+2）x的极大值点，
所以=1+（a2+a﹣3）+（2a+2）=0，
解得a=0或
当a=0时，，
当，当
所以x＝﹣1是函数f（x）x3（a2+a﹣3）x2+（2a+2）x的极小值点，不符合题意.
当 时，，
当，当
所以x＝﹣1是函数f（x）x3（a2+a﹣3）x2+（2a+2）x的极大值点，符合题意.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了导数与函数的极值，还考查了运算求解，理解辨析的能力，属于中档题.
10．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（ ）
A．5.5尺 B．4.5尺 C．3.5尺 D．2.5尺
【答案】A
【解析】先设等差数列，首项为，公差为，根据题意有，，然后由两式求解.
【详解】
设等差数列，首项为，公差为，
根据题意得
，
，
解得，
所以.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11．已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an﹣n，若bn＝log2（a2n﹣1+1），则数列{}前2019项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，由，得，两式相减得，则有是等比数列.求得，从而有，再求得bn＝2n-1，得，然后用裂项相消法求解.
【详解】
当时，由，
得，
两式相减得，
即，
当时，
所以是等比数列.
所以，
所以，
所以，
bn＝log2（a2n﹣1+1）=2n-1.
所以，
所以其前2019项的和为：
故选：B
【点睛】
本题主要考查了数列的通项与前n项和，构造数列以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．奇函数f（x）在R上存在导数，当x＜0时，f（x），则使得（x2﹣1）f（x）＜0成立的x的取值范围为（ ）
A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【答案】C
【解析】根据当x＜0时，f（x）的结构特征，构造函数，求导得，由当x＜0时，f（x），得在上是减函数，再根据f（x）奇函数，则也是奇函数，在上也是减函数，又因为函数f（x）在R上存在导数，
所以函数f（x）是连续的，所以函数h（x）在R上是减函数，并且与同号，将（x2﹣1）f（x）＜0转化为求解.
【详解】
设，
所以，
因为当x＜0时，f（x），
即，
所以，
所以在上是减函数.
又因为f（x）奇函数，
所以也是奇函数，
所以在上也是减函数，
又因为函数f（x）在R上存在导数，
所以函数f（x）是连续的，
所以函数h（x）在R上是减函数，并且与同号，
所以（x2﹣1）f（x）＜0或
解得或
故选：C
【点睛】
本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.


二、填空题
13．已知向量（2，1），（﹣3，m），若∥，则实数m＝_____．
【答案】
【解析】根据向量共线的坐标运算求解.
【详解】
因为向量（2，1），（﹣3，m），
又因为∥，
所以2m=﹣3，
解得m=.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了共线向量的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14．已知函数f（x），则f（f（））＝_____．
【答案】
【解析】从内到外，根据函数的定义域，先求f（），再求f（f（））.
【详解】
因为f（）=，
所以 f（f（））=.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了分段函数求值及指数，对数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
15．奇函数f（x）在R上满足对任意的x1，x2，当x1≠x2时，都有0．若f（1）＝2，则不等式的解为_____．
【答案】[0，2]
【解析】根据f（x）是奇函数，且f（1）＝2，得到f（-1）＝-2，将不等式，转化为，再利用单调性定义求解.
【详解】
因为f（x）是奇函数，且f（1）＝2，
所以 f（-1）＝-2，
因为不等式，
所以，
又对任意的x1，x2，当x1≠x2时，都有0，
所以f（x）是增函数，
所以，
解得.
故答案为：[0，2]
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．已知是函数y＝f（x）的导函数，定义为的导函数，若方程＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的拐点，经研究发现，所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，则f（）+f（）+……+f（）＝_____．
【答案】4037
【解析】对f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，求导得＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2﹣2x﹣1），再对求导得＝6x﹣6，并令＝6x﹣6＝0，求得对称中心，再利用对称性求解.
【详解】
∵f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，
∴＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2﹣2x﹣1），＝6x﹣6，
由＝6x﹣6＝0可得x＝1，而f（1）＝1，
根据已知定义可知，f（x）的对称中心（1，1），
从而有f（2﹣x）+f（x）＝2，
所以f（）+f（）+……+f（）＝24037．
故答案为：4037
【点睛】
本题主要考查了函数的对称性及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

三、解答题
17．已知公差不为零的等差数列{an}前5项的和为35，且a1，a2，a6成等比数列，数列{bn}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn．
【答案】（1）an＝3n﹣2；（2）Sn．
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由求解.

（2）根据得，有，所以数列{bn}是等比数列，再利用等比数列前n项和公式求解.
【详解】
（1）设等差数列{an}的公差为d，
由题意，，解得．
∴an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；
（2）∵，
∴，又b1＝2，
∴数列{bn}是以2为首项，以8为公比的等比数列，
则数列{bn}的前n项和Sn．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的定义及前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且（2b﹣c）cosA＝acosC．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为，求a的最小值．
【答案】（1）A．（2）a的最小值为2．
【解析】（1）由正弦定理将（2b﹣c）cosA＝acosC，转化为（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，再利用两角和的正弦公式求解.

（2）根据A和△ABC的面积为bcsinAbc，求得bc＝4，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc，再利用基本不等式求解.
【详解】
（1）∵（2b﹣c）cosA＝acosC，
∴由正弦定理可得：（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，
∴2sinBcosA＝sinCcosA+sinAcosC＝sin（A+C）＝sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA，
∵A∈（0，π），
∴A．
（2）∵A，△ABC的面积为bcsinAbc，
∴bc＝4，
∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc＝4，
解得a≥2，当且仅当b＝c＝2时等号成立，
∴a的最小值为2．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．已知幂函数f（x）＝（3m2﹣2m）x在（0，+∞）上单调递增，g（x）＝x2﹣4x+t．
（1）求实数m的值；
（2）当x∈[1，9]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．
【答案】（1）m＝1．（2）[﹣42，5]．
【解析】（1）根据幂函数f（x）＝（3m2﹣2m）x在（0，+∞）上单调递增，则有3m2﹣2m＝1，且m0求解即可.

（2）由（1）可得：f（x）．利用幂函数的性质求其值域， g（x）＝x2﹣4x+t＝（x﹣2）2+t﹣4，利用二次函数的性质求其值域，根据p是命题q的充分不必要条件，利用集合法求解.
【详解】
（1）因为函数f（x）是幂函数
∴3m2﹣2m＝1，
解得m＝1或m＝
又因为f（x）＝（3m2﹣2m）x在（0，+∞）上单调递增，
所以m0．
综上：m＝1．
（2）由（1）可得：f（x）．
当x∈[1，9]时，f（x）的值域为：[1，3]．即A＝ [1，3]
g（x）＝x2﹣4x+t＝（x﹣2）2+t﹣4．
可知：x＝2时，函数g（x）取得最小值，g（2）＝t﹣4．
又g（1）＝t﹣3，g（9）＝t+45＞t﹣3，
∴x＝9时函数g（x）取得最大值．
∴B＝[t﹣4，t+45]．
设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是命题q的充分不必要条件，
则，且等号不能同时成立．
∴﹣42≤t≤5．
∴实数t的取值范围是[﹣42，5]．
【点睛】
本题主要考查了幂函数的定义及性质和充分不必要条件，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．已知函数f（x），g（x）1．
（1）若f（a）＝2，求实数a的值；
（2）判断f（x）的单调性，并证明；
（3）设函数h（x）＝g（x）（x＞0），若h（2t）+mh（t）+4＞0对任意的正实数t恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）a＝log23；（2）函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，证明见解析（3）[﹣3，+∞）．
【解析】（1）根据f（a）＝2，代入解析式求解.

（2）函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，用单调性的定义证明.

（3）化简得到，将0对任意的正实数t恒成立，通过换元，μ∈（2，+∞），转化为μ2+mμ+2＞0对任意μ∈（2，+∞）恒成立，即对任意μ∈（2，+∞）恒成立，再求解最大值即可.
【详解】
（1）∵，
∴2a＝3，
∴a＝log23；
（2）函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，
证明如下：
函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
因为f（-x）
所以f（x）是奇函数
任取且
，

因为
所以
因为
所以
所以
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又因为f（x）是奇函数
故函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减；
（3），，
∴0对任意的正实数t恒成立，
令，则μ∈（2，+∞），
∴μ2+mμ+2＞0对任意μ∈（2，+∞）恒成立，
即对任意μ∈（2，+∞）恒成立，
又在（2，+∞）上单调递减，故，
则m≥﹣3，即实数m的取值范围为[﹣3，+∞）．
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性及不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设g（x）＝lnx，若对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）当a≤0时，f（x）单调递增区间是（0，+∞）；当a＞0时，f（x）单调递增区间是（0，），单调递减在区间是（，+∞）.（2）a．
【解析】（1）函数求导得，然后分a≤0和a＞0两种情况分类求解.

（2）根据对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，等价于f（x）max＜g（x）max，然后分别求最大值求解即可.
【详解】
（1），
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当a＞0时，在区间（0，）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在区间（，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
综上：当a≤0时，f（x）单调递增区间是（0，+∞），
当a＞0时，f（x）单调递增区间是（0，），单调递减在区间是（，+∞）.
（2），
在区间（1，3）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
在区间（3，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）max＝g（3）＝ln3，
因为对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，
等价于f（x）max＜g（x）max，
由（1）知当a≤0时，f（x）无最值，
当a＞0时，f（x）max＝f（）＝﹣lna，
所以﹣lna＜ln3，
所以，
解得a．
【点睛】
本题主要考查了导数与函数的单调性及不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex+ax2（a∈R）．
（1）若a＝e，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
【答案】（1）3ex﹣y﹣2e＝0（2）①当a≥0时， y＝f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；
②当时y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上为增函数，在（ln（﹣2a），0）上为减函数；
③若时，y＝f（x）在上为单调递增的；
④若时，y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上为增函数，在（0，ln（﹣2a）） 上为减函数．
【解析】（1）由a＝e得f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．再＝xex+2ex，分别求得，f（1），用点斜式写出切线方程.．

（2）根据＝x（ex+2a），分a≥0， ， ，四种情况分类讨论.
【详解】
（1）∵a＝e，
∴f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．
∴＝xex+2ex，
∴＝3e，f（1）＝e．
∴y﹣e＝3e（x﹣1），
所以切线方程是3ex﹣y﹣2e＝0；
（2）∵＝x（ex+2a）
①若a≥0时，ex+2a＞0．
当时，，
当时，
所以y＝f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；
②若时，ln（﹣2a）＜0，
当x＜ln（﹣2a）或x＞0，＞0，
当ln（﹣2a）＜x＜0时，＜0，
∴y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上为增函数，在（ln（﹣2a），0）上为减函数；
③若时，ln（﹣2a）=0，＞0成立，所以y＝f（x）在上为单调递增的；
④若时，ln（﹣2a）＞0，
当x＞ln（﹣2a）或x＜0时，＞0，
当0＜x＜ln（﹣2a）时，＜0，
∴y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上为增函数，在（0，ln（﹣2a）） 上为减函数．
综上：①若a≥0时， y＝f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；
②若时， y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上为增函数，在（ln（﹣2a），0）上为减函数；
③若时， y＝f（x）在上为单调递增的；
④若时，y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上为增函数，在（0，ln（﹣2a）） 上为减函数．
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义以及导数与函数的单调性，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.