2020届吉林省吉林市高三第二次调研测试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年吉林省吉林市普通中学度高三第二次调研测试数学（理）试题

一、单选题

1．集合的子集的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．8

【答案】D

【解析】先确定集合中元素的个数，再得子集个数．

【详解】

由题意，有三个元素，其子集有8个．

故选：D．

【点睛】

本题考查子集的个数问题，含有个元素的集合其子集有个，其中真子集有个．

2．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．

【详解】

由题意,对应点坐标为 ，在第二象限．

故选：B．

【点睛】

本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．

3．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（    ）

A．数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的

C．数据中可能有极端大的值 D．数据中众数可能和中位数相同

【答案】B

【解析】根据中位数、平均数、众数的定义说明．

【详解】

中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B错误．

故选：B．

【点睛】

本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础．

4．“”是“，”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断．

【详解】

由得，即， ，因此“”是“，”的必要不充分条件．

故选：B．

【点睛】

本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．

5．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．

【详解】

如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项，

故选：D．

【点睛】

本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．

6．已知实数，满足线性约束条件，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.

【详解】

绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，

联立直线方程：，可得点的坐标为：，

据此可知目标函数的最小值为：.

故选B.

【点睛】

本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题.

7．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）

A．1              B.2               C.             D．4

【答案】B

【解析】因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于原点 半径，可知的值为2，选B.

8．如图，正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（    ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

【答案】C

【解析】根据线面平行的判定定理判断．

【详解】

首先四个选项的直线都不在平面内，由中点及正方体的性质知，，，∴直线，，都与平面平行，剩下的只有不与平面平行．实际上过作 的平行线，这条平行线在平面内且与相交（它们都在平面内）．

故选：C．

【点睛】

本题考查线面平行的判定，解题根据是线面平行的判定定理．

9．我国宋代数学家秦九韶（1202－1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即.若的面积，，，则等于（    ）

A．5 B．9 C．或3 D．5或9

【答案】C

【解析】把已知数据代入面积公式解方程即得．

【详解】

由题意得，，

整理得，或5，即或3．

故选：C．

【点睛】

本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把已知代入面积公式解方程即可得．

10．已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率．

【详解】

由题意，一条渐近线方程为，即，∴，

，即，，．

故选：A．

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．

11．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先与1比较，得一最大的，剩下的两个与比较．

【详解】

首先，最大，

其次，，∴，∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查比较幂和对数的大小，对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较，如0，1，2等等．本题中是与比较的．

12．如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足，则等于（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【解析】选取为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．

【详解】

由题意是的重心，

，

∴，，

∴，

故选：D．

【点睛】

本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．

二、填空题

13．在空间直角坐标系中，，，，，则四面体的外接球的体积为______.

【答案】；

【解析】由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体外接球的直径．

【详解】

取，则是长方体，其对角线长为，∴四面体外接球半径为．

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查四面体外接球体积，关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点，共八点是一个长方体的八个顶点，这样外接球直径易知．

14．直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是______.

【答案】；

【解析】求出圆心坐标，代入直线方程得的关系，再由基本不等式求得题中最小值．

【详解】

圆：的标准方程为，圆心为，

由题意，即，

∴，当且仅当 ，即时等号成立，

故答案为：．

【点睛】

本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．

15．若函数在区间上恰有4个不同的零点，则正数的取值范围是______.

【答案】；

【解析】求出函数的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间上，第四个零点在区间外即可．

【详解】

由，得，，

，，

∵，

∴ ，解得．

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间上．由此可得的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．

16．关于函数有下列四个命题：

①函数在上是增函数；

②函数的图象关于中心对称；

③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线；

④函数的导函数不存在极小值.

其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）

【答案】①②③

【解析】由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断．

【详解】

函数的定义域是，

由于，

在上递增，∴函数在上是递增，①正确；

，∴函数的图象关于中心对称，②正确；

，时取等号，∴③正确；

，设，则，显然是即的极小值点，④错误．

故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．

三、解答题

17．已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，且成等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由公比表示出，由成等差数列可求得，从而数列的通项公式；

（2）求（1）得，然后对和式两两并项后利用等差数列的前项和公式可求解．

【详解】

（1）∵是等比数列，且成等差数列

∴，即

∴，解得：或

∵，∴

∵

∴

（2）∵

∴

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的项和公式．本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法．数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等．

18．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，是棱的中点.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）由侧棱垂直于底面，且，得可侧面与底面垂直，从而与侧面垂直，因此有，即有，于是只要证即可有线面垂直，从而证，这个在矩形由相似三角形可得证；

（2）以分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面法向量，有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意确定二面角是锐角还是钝角）．

【详解】

（1）证明：∵平面

∴四边形是矩形

∵为中点，且

∴

∵，，

∴，∴

连接 ，

∵，∴与相似

∴，∴

∴

∵，∴平面

∴平面

∵平面，∴

∴平面，∴．

（2）解∶如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则

，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，则，

解得：

同理，平面的法向量

设二面角的大小为，则

即二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角．证明线面垂直，就要证线线垂直，而证明线线垂直又可通过线面垂直得出，因此我们要注意空间线线与线面垂直的相互转化，用好用活判定定理和性质定理．立体几何中求空间角可用空间向量法求解，即建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角与空间角的关系求解．

19．已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足.

（1）求的面积；

（2）若，求的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由诱导公式和二倍角公式可得，从而得三角形面积；

（2）由余弦定理得，从而可把用角表示出来，由三角函数性质求得最大值．

【详解】

解：

（1）在中，，∴

∵

∴

∵，∴

∴

（2）∵

∴

∴

∴

∴当时，取最大值.

【点睛】

本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是，这样可把表示为角的函数，从而求得最值．

20．为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.

（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率；

（2）根据统计数据估计图书分类错误的概率；

（3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为，，，其中，，，当，，的方差最大时，求，的值，并求出此时方差的值.

【答案】（1）（2）（3）当，时，取最大值

【解析】（1）文学类图书共有150本，其中正确分类的有100本，由此可计算概率；

（2）图书分类错误的共有140本，图书总共有500本，易得概率；

（3）计算平均值，再计算方差，转化为的函数后可得最大值．

【详解】

解：

（1）由题意可知，文学类图书共有本，其中正确分类的有100本

所以文学类图书分类正确的概率

（2）图书分类错误的共有本，因为图书共有500本，

所以图书分类错误的概率

（3），，的平均数

所以方差

∵，，∴当，时，取最大值.

【点睛】

本题考查古典概型，考查方差的计算．考查了学生的数据处理能力．属于中档题．

21．设函数.

（1）若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围；

（2）若，证明：.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）求出导函数，由在上恒成立，采用分离参数法求解；

（2）观察函数，不等式凑配后知，利用时可证结论．

【详解】

（1）因为在上单调递减，

所以，即在上恒成立

因为在上是单调递减的，所以，所以

（2）因为，所以

由（1）知，当时，在上单调递减

所以

即

所以.

【点睛】

本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明．

22．已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程.

【答案】（1）（2）的最小值为1，此时直线：

【解析】（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；

（2）设：，将其与曲线的方程联立，消元并整理得，

设，，则可得，，由求出，

将直线方程与联立，得，求得，计算，设.显然，构造，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线的方程.

【详解】

（1）设，则，即

整理得

（2）设：，将其与曲线的方程联立，得

即

设，，则，

将直线：与联立，得

∴

∴

设.显然

构造

在上恒成立

所以在上单调递增

所以，当且仅当，即时取“=”

即的最小值为1，此时直线：.

（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）

【点睛】

本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得（或），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．