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    2020届吉林省高三第二次模拟数学(理)试题(解析版)

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    2020届吉林省高三第二次模拟数学(理)试题

     

     

    一、单选题

    1.已知集合,集合,则等于(   

    A B

    C D

    【答案】B

    【解析】求出中不等式的解集确定出集合,之后求得.

    【详解】

    所以

    故选:B.

    【点睛】

    该题考查的是有关集合的运算的问题,涉及到的知识点有一元二次不等式的解法,集合的运算,属于基础题目.

    2.复数为虚数单位),则等于(   

    A3 B

    C2 D

    【答案】D

    【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简,从而求得,然后直接利用复数模的公式求解.

    【详解】

    所以

    故选:D.

    【点睛】

    该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数的乘除运算,复数的共轭复数,复数的模,属于基础题目.

    3.已知,若,则等于(   

    A3 B4 C5 D6

    【答案】C

    【解析】先求出,再由,利用向量数量积等于0,从而求得.

    【详解】

    由题可知

    因为,所以有,得

    故选:C.

    【点睛】

    该题考查的是有关向量的问题,涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式,向量垂直的坐标表示,属于基础题目.

    4.设,则的值为(   

    A B

    C D

    【答案】D

    【解析】利用倍角公式求得的值,利用诱导公式求得的值,利用同角三角函数关系式求得的值,进而求得的值,最后利用正切差角公式求得结果.

    【详解】

    故选:D.

    【点睛】

    该题考查的是有关三角函数求值问题,涉及到的知识点有诱导公式,正切倍角公式,同角三角函数关系式,正切差角公式,属于基础题目.

    5.执行如图所示的程序框图,输出的结果为(   

    A B4 C D

    【答案】A

    【解析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的的值,当,退出循环,输出结果.

    【详解】

    程序运行过程如下:

    ,退出循环,输出结果为

    故选:A.

    【点睛】

    该题考查的是有关程序框图的问题,涉及到的知识点有判断程序框图输出结果,属于基础题目.

    6.连接双曲线4个顶点的四边形面积为,连接4个焦点的四边形的面积为,则当取得最大值时,双曲线的离心率为(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标,四个顶点构成一个菱形,求出菱形的面积,四个焦点构成正方形,求出其面积,利用重要不等式求得取得最大值时有,从而求得其离心率.

    【详解】

    双曲线互为共轭双曲线,

    四个顶点的坐标为,四个焦点的坐标为

    四个顶点形成的四边形的面积

    四个焦点连线形成的四边形的面积

    所以

    取得最大值时有,离心率

    故选:D.

    【点睛】

    该题考查的是有关双曲线的离心率的问题,涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点,焦点,菱形面积公式,重要不等式求最值,等轴双曲线的离心率,属于简单题目.

    7.在区间上随机取一个数,使得成立的概率为等差数列的公差,且,若,则的最小值为(   

    A8 B9 C10 D11

    【答案】D

    【解析】由题意,本题符合几何概型,只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度,利用几何概型公式可得概率,即等差数列的公差,利用条件,求得,从而求得,解不等式求得结果.

    【详解】

    由题意,本题符合几何概型,区间长度为6

    使得成立的的范围为,区间长度为2

    故使得成立的概率为

    ,则有,故的最小值为11

    故选:D.

    【点睛】

    该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题,涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式,等差数列的通项公式,属于基础题目.

    8.已知函数上的减函数,当最小时,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是(   

    A B

    C D

    【答案】A

    【解析】首先根据上的减函数,列出不等式组,求得,所以当最小时,,之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题,画出图形,数形结合得到结果.

    【详解】

    由于上的减函数,则有,可得

    所以当最小时,

    函数恰有两个零点等价于方程有两个实根,

    等价于函数的图像有两个交点.

    画出函数的简图如下,而函数恒过定点

    数形结合可得的取值范围为

    故选:A.

    【点睛】

    该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围,根据函数零点个数求参数的取值范围,数形结合思想的应用,属于中档题目.

    9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】观察可知,这个几何体由两部分构成,:一个半圆柱体,底面圆的半径为1,高为2;一个半球体,半径为1,按公式计算可得体积。

    【详解】

    设半圆柱体体积为,半球体体积为,由题得几何体体积为

    ,故选A

    【点睛】

    本题通过三视图考察空间识图的能力,属于基础题。

    10.函数的部分图像如图所示,若,点的坐标为,若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,则的最小值为(   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】根据图象以及题中所给的条件,求出,即可求得的解析式,再通过平移变换函数图象关于轴对称,求得的最小值.

    【详解】

    由于,函数最高点与最低点的高度差为

    所以函数的半个周期,所以

    ,则有,可得

    所以

    将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,即平移后为偶函数,

    所以的最小值为1

    故选:B.

    【点睛】

    该题主要考查三角函数的图象和性质,根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键,要求熟练掌握函数图象之间的变换关系,属于简单题目.

    11.等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中,,现将沿BD折起,则当直线AD与平面BCD所成角为时,直线AC与平面ABD所成角的正弦值为(   

       

    A B C D

    【答案】A

    【解析】EBD中点,连接AECE,过A于点O,连接DO,得到即为直线AD与平面BCD所成角的平面角,根据题中条件求得相应的量,分析得到即为直线AC与平面ABD所成角,进而求得其正弦值,得到结果.

    【详解】

    EBD中点,连接AECE

    由题可知,所以平面

    A于点O,连接DO,则平面

    所以即为直线AD与平面BCD所成角的平面角,

    所以,可得

    中可得

    ,即点O与点C重合,此时有平面

    C与点F

    ,所以,所以平面

    从而角即为直线AC与平面ABD所成角,

    故选:A.

    【点睛】

    该题考查的是有关平面图形翻折问题,涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解,在解题的过程中,注意空间角的平面角的定义,属于中档题目.

    12.已知函数.若存在实数,且,使得,则实数a的取值范围为(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】首先对函数求导,利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值,根据题意,列出参数所满足的不等关系,求得结果.

    【详解】

    ,令,得

    其单调性及极值情况如下:

    x

    0

    +

    0

    _

    0

    +

    极大值

    极小值

     

     

    若存在,使得

    (如图1)或(如图2).

    (图1

    (图2

    于是可得

    故选:D.

    【点睛】

    该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题,涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值,画出图象数形结合,属于较难题目.

     

     

    二、填空题

    13展开式中的系数的和大于8而小于32,则______

    【答案】4

    【解析】由题意可得项的系数与二项式系数是相等的,利用题意,得出不等式组,求得结果.

    【详解】

    观察式子可知

    故答案为:4.

    【点睛】

    该题考查的是有关二项式定理的问题,涉及到的知识点有展开式中项的系数和,属于基础题目.

    14.已知数列的各项均为正数,满足,若是等比数列,数列的通项公式_______

    【答案】

    【解析】利用递推关系,等比数列的通项公式即可求得结果.

    【详解】

    因为,所以

    因为是等比数列,所以数列的公比为2

    所以当时,有

    这说明在已知条件下,可以得到唯一的等比数列,所以

    故答案为:.

    【点睛】

    该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式,属于简单题目.

    15.实数满足,如果目标函数的最小值为,则的最小值为_______

    【答案】

    【解析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的最小值为,确定出的值,进而确定出C点坐标,结合目标函数几何意义,从而求得结果.

    【详解】

    先做的区域如图可知在三角形ABC区域内,

    可知,直线的截距最大时,取得最小值,

    此时直线为

    作出直线,交A点,

    由图象可知,目标函数在该点取得最小值,所以直线也过A点,

    ,得,代入,得

    所以点C的坐标为

    等价于点与原点连线的斜率,

    所以当点为点C时,取得最小值,最小值为

    故答案为:.

    【点睛】

    该题考查的是有关线性规划的问题,在解题的过程中,注意正确画出约束条件对应的可行域,根据最值求出参数,结合分式型目标函数的意义求得最优解,属于中档题目.

    16.已知是抛物线上一点,是圆关于直线对称的曲线上任意一点,则的最小值为________

    【答案】

    【解析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标,求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值,减去半径即可得到的最小值.

    【详解】

    假设圆心关于直线对称的点为

    则有,解方程组可得

    所以曲线的方程为,圆心为

    ,则

    ,所以

    ,即,所以

    故答案为:.

    【点睛】

    该题考查的是有关动点距离的最小值问题,涉及到的知识点有点关于直线的对称点,点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径,属于中档题目.

     

    三、解答题

    17.已知在中,abc分别为角ABC的对边,且

    1)求角A的值;

    2)若,设角周长为y,求的最大值.

    【答案】1;(2

    【解析】1)利用正弦定理,结合题中条件,可以得到,之后应用余弦定理即可求得

    2)利用正弦定理求得,求出三角形的周长,利用三角函数的最值求解即可.

    【详解】

    1)由已知可得

    结合正弦定理可得

    2)由及正弦定理得

    ,即

    ,得,即时,

    【点睛】

    该题主要考查的是有关解三角形的问题,解题的关键是掌握正余弦定理,属于简单题目.

    18.如图,已知三棱柱中,是全等的等边三角形.

    1)求证:

    2)若,求二面角的余弦值.

    【答案】1)证明见解析;(2

    【解析】1)取BC的中点O,则,由是等边三角形,得,从而得到平面,由此能证明

    2)以分别为xyz轴建立空间直角坐标系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到结果.

    【详解】

    1)取BC的中点O,连接

    由于是等边三角形,所以有

    所以平面平面,所以

    2)设是全等的等边三角形,

    所以

    ,由余弦定理可得

    中,有

    所以以分别为xyz轴建立空间直角坐标系,如图所示,

    设平面的一个法向量为,则

    ,则

    又平面的一个法向量为

    所以二面角的余弦值为

    【点睛】

    该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,属于中档题目.

    19.移动支付(支付宝及微信支付)已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式,为调查市民使用移动支付的年龄结构,随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下:

    1)将上列联表补充完整,并请说明在犯错误的概率不超过010的前提下,认为支付方式与年龄是否有关?

    2)在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查,从这10人随机中选出3人颁发参与奖励,设年龄都低于35岁(含35岁)的人数为,求的分布列及期望.

    (参考公式:(其中

    【答案】1)列联表见解析,在犯错误的概率不超过010的前提下,认为支付方式与年龄有关;(2)分布列见解析,期望为

    【解析】1)根据题中所给的条件补全列联表,根据列联表求出观测值,把观测值同临界值进行比较,得到能在犯错误的概率不超过010的前提下,认为支付方式与年龄有关.

    2)首先确定的取值,求出相应的概率,可得分布列和数学期望.

    【详解】

    1)根据题意及列联表可得完整的列联表如下:

     

    35岁以下(含35岁)

    35岁以上

    合计

    使用移动支付

    40

    10

    50

    不使用移动支付

    10

    40

    50

    合计

    50

    50

    100

     

     

    根据公式可得

    所以在犯错误的概率不超过010的前提下,认为支付方式与年龄有关.

    2)根据分层抽样,可知35岁以下(含35岁)的人数为8人,35岁以上的有2人,

    所以获得奖励的35岁以下(含35岁)的人数为

    的可能为123,且

    其分布列为

    1

    2

    3

     

     

     

    【点睛】

    独立性检验依据的值结合附表数据进行判断,另外,离散型随机变量的分布列,在求解的过程中,注意变量的取值以及对应的概率要计算正确,注意离散型随机变量的期望公式的使用,属于中档题目.

    20.已知椭圆的离心率为,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切.

    1)求椭圆的标准方程;

    2)已知动直线l过右焦点F,且与椭圆C交于AB两点,已知Q点坐标为,求的值.

    【答案】1;(2

    【解析】1)根据椭圆的离心率为,得到,根据直线与圆的位置关系,得到原心到直线的距离等于半径,得到,从而求得,进而求得椭圆的方程;

    2)分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论,写出直线的方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理,向量的数量积,结合已知条件求得结果.

    【详解】

    1)由离心率为,可得

    ,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为

    因与直线相切,则有,即

    故而椭圆方程为

    2当直线l的斜率不存在时,

    由于

    当直线l的斜率为0时,

    当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为

    ,有

    综上所述:

    【点睛】

    该题考查直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,求向量数量积,在解题的过程中,注意对直线方程的分类讨论,属于中档题目.

    21.已知函数

    1)若曲线处的切线为,试求实数的值;

    2)当时,若有两个极值点,且,若不等式恒成立,试求实数m的取值范围.

    【答案】1;(2

    【解析】1)根据题意,求得的值,根据切点在切线上以及斜率等于,构造方程组求得的值;

    2)函数有两个极值点,等价于方程的两个正根,不等式恒成立,等价于恒成立,,令,求出导数,判断单调性,即可得到的范围,即的范围.

    【详解】

    1)由题可知,联立可得

    2)当时,

    有两个极值点,且是方程的两个正根,

    不等式恒成立,即恒成立,

    ,得

    上是减函数,,故

    【点睛】

    该题考查的是有关导数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,函数的极值点的个数,构造新函数,应用导数研究函数的值域得到参数的取值范围,属于较难题目.

    22.过点作倾斜角为的直线与曲线为参数)相交于MN两点.

    1)写出曲线C的一般方程;

    2)求的最小值.

    【答案】1;(2

    【解析】1)将曲线的参数方程消参得到普通方程;

    2)写出直线MN的参数方程,将参数方程代入曲线方程,并将其化为一个关于的一元二次方程,根据,结合韦达定理和余弦函数的性质,即可求出的最小值.

    【详解】

    1)由曲线C的参数方程是参数),

    可得,即曲线C的一般方程为

    2)直线MN的参数方程为t为参数),

    将直线MN的参数方程代入曲线

    ,整理得

    MN对应的对数分别为,则

    时,取得最小值为

    【点睛】

    该题考查的是有关参数方程的问题,涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化,直线的参数方程的应用,属于简单题目.

    23.已知函数

    1)解不等式

    2)若函数存在零点,求的求值范围.

    【答案】1 ;(2

    【解析】1)通过讨论的范围,将绝对值符号去掉,转化为求不等式组的解集,之后取并集,得到原不等式的解集;

    2)将函数零点问题转化为曲线交点问题解决,数形结合得到结果.

    【详解】

    1)有题不等式可化为

    时,原不等式可化为,解得

    时,原不等式可化为,解得,不满足,舍去;

    时,原不等式可化为,解得

    所以不等式的解集为

    2)因为

    所以若函数存在零点则可转化为函数的图像存在交点,

    函数上单调增,在上单调递减,且.

    数形结合可知

    【点睛】

    该题考查的是有关不等式的问题,涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集,将零点问题转化为曲线交点的问题来解决,数形结合思想的应用,属于简单题目.

     

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