2020届吉林省白城市第四中学高三下学期网上模拟考试数学（理）试题
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理 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．是虚数单位，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知某公司按照工作年限发放年终奖金并且进行年终表彰．若该公司有工作年以上的员工人，工作年的员工人，工作年的员工人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工中抽取人作为员工代表上台接受表彰，则工作年的员工代表有（ ）
A．人 B．人 C．人 D．人
4．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．长方体，，，，则异面直线与所成角的
余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．执行下图的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．函数（其中，）的部分图象如图所示，将函数的图象
向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数为奇函数 B．函数的最大值为
C．函数的最小正周期为 D．函数在上单调递增
8．随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为秒，且一次亮红灯的时间不超过秒，一次亮绿灯的时间不超过秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交，两点，若四边形是矩形，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，
且，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，，若有个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若展开式的常数项等于，则 ．
14．设，满足约束条件，则的最小值是 ．
15．已知双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线上，点的坐标为，且到直线，的距离相等，则 ．
16．在平面直角坐标系中，已知圆，直线，过直线上点作圆的切线，，切点分别为，，若存在点使得，则实数的取值范围
是 ．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．
（1）证明：；
（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．
19．（12分）某学校共有名学生，其中男生人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了名学生进行调查，月消费金额分布在之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：
将月消费金额不低于元的学生称为“高消费群”．
（1）求的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在，内的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，记被抽取的名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高消费群”的女生有人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？
（参考公式：，其中）
20．（12分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在实数使以线段为直径的圆经过点，若存在，求出实数的值；若不存在说明理由．
21．（12分）已知函数的两个零点为，．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于，两点，试求．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
设函数．
（1）当时，解不等式；
（2）求证：．
答 案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】A
10．【答案】C
11．【答案】C
12．【答案】A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴，
两式相减得，∴．
又当时，满足上式，∴．
∴数列的通项公式．
（2）由（1）得，
∴，
∴
．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取的中点为，连接，，
∵为等边三角形，∴．
底面中，可得四边形为矩形，∴，
∵，∴平面，平面，．
又，所以．
（2）由面面，知，
∴平面，，，两两垂直，直线与平面所成角为，
即，
由，知，得．
分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，∴，则．
设平面的法向量为，∴，则．
，
∴二面角的余弦值为．
19．【答案】（1），平均数：元；（2）分布列见解析，；（3）列联表见解析，有的把握认为．
【解析】（1）由题意知，解得，
样本的平均数为：
（元），
所以估计该校学生月消费金额的平均数为元．
（2）由题意，从中抽取人，从中抽取人．
随机变量的所有可能取值有，，，，
，
所以，随机变量的分布列为
随机变量的数学期望．
（3）由题可知，样本中男生人，女生人，属于“高消费群”的人，其中女生人；
得出以下列联表：
，
所以有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．
20．【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）∵抛物线的焦点是，∴，∴，
又∵椭圆的离心率为，即，
∴，，则，故椭圆的方程为．
（2）由题意得直线的方程为，
由，消去得，
由，解得，
又，∴，
设，，则，，
∴．
∵，，
∴，
若存在使以线段为直径的圆经过点，则必有，
即，解得或．
又，∴，
即存在使以线段为直径的圆经过点．
21．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），
当时，，在上单调递增，不可能有两个零点；
当时，由，可解得；由，可解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
要使得在上有两个零点，则，解得，
则的取值范围为．
（2）令，则，
由题意知方程有两个根，即方程有两个根，
不妨设，，令，
则当时，单调递增，时，单调递减，
综上可知，，
令，下面证对任意的恒成立，
，
∵，∴，，
∴，
又∵，∴，
∴，则在单调递增，∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，即．
22．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）把直线的参数方程化为普通方程为，
即．
由，可得，
∴曲线的直角坐标方程为．
（2）直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角也为，
又直线过点，∴直线的参数方程为（为参数），
将其代入曲线的直角坐标方程可得，
设点，对应的参数分别为，，
由一元二次方程的根与系数的关系知，，
∴．
23．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）当时，解不等式等价于，
①当时，不等式化为，原不等式无实数解；
②当时，不等式化为，解得；
③当时，不等式化为，解得，
综上所述，不等式的解集为．
（2），
∵，∴，∴，
∴，，
∴．
