2020届湖南省岳阳市高三第二次模拟数学（文）试题（解析版）

2020届湖南省岳阳市高三第二次模拟数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】A

【解析】对复数进行乘法运算，并计算得到，从而得到虚部为2.

【详解】

因为，所以z 的虚部为2.

【点睛】

本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意.

2．已知集合，，若，则实数的值可以为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得，根据，即可得出，从而求出结果．

【详解】

，且，，

∴的值可以为．

故选：D．

【点睛】

考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．

3．命题:,命题:直线与直线垂直,则是成立的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案.

【详解】

由直线与直线垂直

可得,即,解得或.

故:由直线与直线垂直不能推出:

命题是命题不必要条件

由时直线分别是: ,,此时两条直线垂直.

故命题能推出命题

命题是命题充分条件

综上所述,是充分不必要条件.

故选:A.

【点睛】

本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.

4．若，，，则实数，，的大小关系为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.

【详解】

，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.

【点睛】

本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.

5．已知数列为等差数列，为其前 项和，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用等差数列的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.

【详解】

由等差数列的性质可得，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.

6．已知平面向量满足，，若，则实数m等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由向量垂直推出数量积关系，列出方程代入即可得解.

【详解】

因为，所以，得，又，而，代入，得，所以，

故选：C.

【点睛】

本题考查由向量的垂直关系求参数，属于基础题.

7．（文科）在正方体中，E为的中点，则异面直线DE与所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，则就是异面直线DE与所成角（或其补角），在三角形中求解即得．

【详解】

正方体中，，则就是异面直线DE与所成角（或其补角），

设正方体棱长为1，E为的中点，就是与的交点，则，由正方体知，∴．

故选：C.

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角．

8．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（  ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】B

【解析】模拟执行循环结构的程序得到与的值，计算得到时满足判断框的条件，退出循环，输出结果，即可得到答案.

【详解】

模拟执行循环结构的程序框图，可得：，

第1次循环：；

第2次循环：；

第3次循环：，

此时满足判断框的条件，输出.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，根据判断框的条件推出循环，逐项准确计算输出结果是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

9．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则 （    ）

A．9 B．6 C．4 D．3

【答案】D

【解析】先设，，，，，，根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据，判断点是重心，进而可求的值．最后根据抛物线的定义求得答案．

【详解】

设，，，，，

抛物线焦点坐标，准线方程：，

，

点是重心，

则，.

而

，

故选：．

【点睛】

本题主要考查了抛物线的简单性质．解本题的关键是判断出点为三角形的重心．

10．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用，化简，得.设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分析：设三角形的直角边分别为1，，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论.

解析：设三角形的直角边分别为1，，则弦为2，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为.

图钉落在黄色图形内的概率为.

落在黄色图形内的图钉数大约为.

故选：A.

点睛：应用几何概型求概率的方法

建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．

(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；

(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；

(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．

11．已知函数，则曲线过点的切线条数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设出切点坐标 ,利用导数求出过切点的切线方程，代入点，再利用导数求解关于的方程的解的个数，即可求解.

【详解】

设切点坐标 ,

由，得，

切线斜率，

所以过的切线方程为，

即，

切线过点，

故，

令,

则，

由，解得或，

当时，，

当时，，

所以的极大值极小值分别为，，

故其图像与x轴交点2个，

也就是切线条数为2.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点个数的判断，属于中档题.

12．关于函数有下述四个结论：

①的图象关于轴对称；②在有3个零点；

③的最小值为；④在区间单调递减.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①② B．①③ C．①④ D．③④

【答案】C

【解析】证明函数的奇偶性判断①；根据函数，的零点以及单调性判断②④；根据单调性、周期性以及对称性判断③.

【详解】

，则函数为上的偶函数，故①正确；

当时，

，即，则在区间的零点只有一个，所以在有2个零点，故②错误；

当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，故④正确；

所以在的最小值为：

因为函数，所以函数的周期为

由对称性以及周期性可知，函数的最小值为：，故③错误；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了函数的零点个数、正弦型函数的单调性和周期性、在给定区间的正弦型函数的最值，属于较难题.

二、填空题

13．在中，角所对的边分别为，若，，则_______.

【答案】

【解析】利用正弦定理即得求解.

【详解】

因为，，

所以,

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14．已知实数，满足则目标函数的最大值为________．

【答案】

【解析】作出可行域，比较斜率找到最优解，代入最优解的坐标即可得到答案.

【详解】

作出可行域，如图所示：

由图可知最优解为，

所以.

故答案：6

【点睛】

本题考查了线性规划求目标函数的最值，根据斜率的关系，找到最优解是解题关键.

15．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，90°，则此球的表面积等于______．

【答案】

【解析】首先根据几何体的特征找到球的球心，再求半径和球的表面积.

【详解】

如图，取的中点，由条件可知，，是和的外接圆的圆心，连接，取的中点,连接，是直三棱柱外接球的球心，

，，

，

,

此球的表面积等于.

故答案为：

【点睛】

本题考查三棱柱外接球的表面积，意在考查空间想象能力，数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.

16．在平面直角坐标系中，已知点.线段上的动点满足；线段上的动点满足.直线与直线交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值为________；当变化时，动点一定在________(填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个)上.

【答案】    双曲线   

【解析】根据向量关系得到、的坐标，然后即可得到，然后用表示出直线与的方程，然后联立直线与的方程，消去后即可得到答案

【详解】

由得点

设，则，

由得，即

所以点

所以，所以

所以直线，直线

联立直线与的方程，消去后得

所以点一定在双曲线上

故答案为：，双曲线

【点睛】

本题考查的是向量的坐标运算及用消去法求动点的轨迹方程，属于中档题.

三、解答题

17．如图，在三棱锥中，为正三角形，为棱的中点，，，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）若，求三棱锥的体积．

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）由三线合一的性质得出，再利用平面与平面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再由，结合直线与平面垂直的判定定理可得出平面；

（2）由（1）知平面，则三棱锥的高为，计算出的面积和，再利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积，即为三棱锥的体积.

【详解】

（1）为等边三角形，且为的中点，.

平面平面，平面平面，平面，

平面，平面，.

又，，、平面，平面；

（2），且，，.

又是边长为的等边三角形，且为的中点，则，

且，的面积为.

因此，三棱锥的体积为.

【点睛】

本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了三棱锥体积的计算，解题时要充分利用题中的线面垂直或面面垂直条件寻找三棱锥的高，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

18．等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若数列满足,求数列的前2020项的和．

【答案】（1），； （2）.

【解析】(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式；

(2)求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列的前2020项的和.

【详解】

(1)依题意得: ，

所以 ，

所以

解得

设等比数列的公比为，所以

又

(2)由（1）知，

因为  ①

当时,  ②

由①②得，，即，

又当时，不满足上式，

.

数列的前2020项的和

设   ③，

则   ④，

由③④得：

，

所以，

所以.

【点睛】

本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.

19．新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心. 某市积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此战“疫”进行了持续、深入的悬窗，帮助全体市民深入了解新冠状病毒，增强战胜疫情的信心. 为了检验大家对新冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的知识问卷，随机抽取了年龄在15~75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”. 经统计“青少年人”和“中老年人”的人数比为19:21. 其中“青少年人”中有40人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2:1.

（1）求图中的值；

（2）现采取分层抽样在和中随机抽取8名市民，从8人中任选2人，求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少？

（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据统计结果判断：能够有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识？

附表及公式：，其中

【答案】（1），；（2）；（3）列联表见详解，有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识

【解析】（1）由“青少年人”和“中老年人”的人数比为19:21，求出

（2）用古典概型的概率计算公式求出2人中至少有1人是“中老年人”的概率

（3）用公式求，比较得结果.

【详解】

（1）由题意得，解得

（2）由题意得在中抽取6人，在中抽取2人

从8人中任选2人，记事件A表示的是2人中至少有1人是“中老年人”

则

（3）由题意可得2×2列联表如下：

所以

所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识

【点睛】

本题考查是统计与概率的相关知识，属于基础题.

20．已知椭圆:（）的左、右焦点分别是、，是椭圆上一点，为的内切圆圆心，，且的周长为6.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点，若，求四边形面积的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为，所以，结合的周长为6，可算得，从而可得到本题答案；

（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消y，利用韦达定理，写出的表达式，又因为，所以，从而可得到的表达式，逐步化简，求其最大值.

【详解】

（1）∵，∴，即①

又∵的周长为6  ∴，即②

由①②可得，，则，∴椭圆方程为

（2）设直线的方程为，，，则由联立消y可得，，

∵，∴

∴，令

∴，∴，又∵在区间上单调递增，∴，∴，∴四边形的面积最大值为

【点睛】

本题主要考查直线与圆锥曲线以及向量的综合应用，直线方程与椭圆方程联立消y，利用韦达定理是解决本题的关键.

21．已知函数.

（1）求的最大值；

（2）若恒成立，求实数b的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）求出导函数，研究单调性，从而得到的最大值；

（2）原问题等价于构造新函数求最小值即可.

【详解】

(1)，定义域，

，

由，在增，在减，

(2)

令，

令，在单调递增，，

在存在零点，即

，

由于在单调递增，故即

在减，在增，

所以.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立．

22．在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.

（1）当时，求M点的极坐标；

（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.

【答案】（1）点M的极坐标为或（2）

【解析】（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.

（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.

【详解】

（1）设点M在极坐标系中的坐标，

由，得，

∵

∴或，

所以点M的极坐标为或

（2）由题意可设，.

由，得，.

故时，的最大值为.

【点睛】

本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.

23．函数

（1）证明：；

（2）若存在，且，使得成立，求取值范围.

【答案】（1）证明见详解；（2）或或

【解析】（1）

（2）首先用基本不等式得到，然后解出不等式即可

【详解】

（1）因为

所以

（2）当时

所以

当且仅当即时等号成立

因为存在，且，使得成立

所以

所以或

解得：或或

【点睛】

1.要熟练掌握绝对值的三角不等式，即

2.应用基本不等式求最值时要满足“一正二定三相等”.