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    2020届湖南省湘潭市高三模拟考试数学(理)试题(解析版)
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    2020届湖南省湘潭市高三模拟考试数学(理)试题(解析版)

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    2020届湖南省湘潭市高三模拟考试数学(理)试题

     

     

    一、单选题

    1.设集合,则   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】计算出集合,再根据交集的定义计算可得.

    【详解】

    解:

    .

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查对数不等式以及交集的运算,属于基础题.

    2.设复数,定义.,则   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】根据复数代数形式的运算法计算出,再根据定义求出.

    【详解】

    解:因为,所以

    .

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查复数代数形式的运算,属于基础题.

    3.某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区20191月至6月的月客流量(单位:百人),得到如图所示的茎叶图.关于20191月至6月这两个景区的月客流量,以下结论错误的是(   

    A.甲景区月客流量的中位数为12950

    B.乙景区月客流量的中位数为12450

    C.甲景区月客流量的极差为3200

    D.乙景区月客流量的极差为3100

    【答案】D

    【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.

    【详解】

    根据茎叶图的数据:

    甲景区月客流量的中位数为12950人,乙景区月客流量的中位数为12450.

    甲景区月客流量的极差为3200人,乙景区月客流量的极差为3000.

    故选:

    【点睛】

    本题考查了茎叶图中位数和极差的计算,意在考查学生的应用能力.

    4的展开式的中间项为(   

    A-40 B C40 D

    【答案】B

    【解析】根据二项式定义可知一共有项,通项为可知第项为中间项,计算可得.

    【详解】

    解:的展开式的通项为

    则中间项为.

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题,属于基础题.

    5.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示,俯视图中的两个小三角形全等,则(   

    APAPBPC两两垂直 B.三棱锥P-ABC的体积为

    C D.三棱锥P-ABC的侧面积为

    【答案】C

    【解析】根据三视图,可得三棱锥P-ABC的直观图,然后再计算可得.

    【详解】

    解:根据三视图,可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示,

    其中DAB的中点,底面ABC.

    所以三棱锥P-ABC的体积为

    不可能垂直,

    不可能两两垂直,

    .

    三棱锥P-ABC的侧面积为.

    故正确的为C.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查三视图还原直观图,以及三棱锥的表面积、体积的计算问题,属于中档题.

    6.已知P为双曲线右支上一点,分别为C的左、右焦点,且线段分别为C的实轴与虚轴,若成等比数列,则   

    A4 B10 C5 D6

    【答案】D

    【解析】根据双曲线的方程可得的值,根据成等比数列,求出,再根据双曲线的定义计算可得.

    【详解】

    解:

    成等比数列,

    .

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查双曲线的简单几何性质,考查双曲线定义的应用,属于基础题.

    7.已知,则(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】利用对数函数的单调性比较的大小关系,再利用指数函数的单调性得出,即可得出三个数的大小关系.

    【详解】

    指数函数为增函数,则

    对数函数上的增函数,则,因此,.

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查指数与对数的大小比较,一般利用指数函数与对数函数的单调性,结合中间值法来得出各数的大小关系,考查推理能力,属于中等题.

    8.在平行四边形ABCD中,E为线段CD的中点,若,则   

    A-4 B-6 C-8 D-9

    【答案】C

    【解析】,则,根据求出的值,再用表示计算可得.

    【详解】

    解:设,则.

    ,解得

    从而.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查向量的数量积的计算,以及向量的线性运算,属于基础题.

    9.已知函数的图象关于直线对称,则的最小值为(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】利用二倍角公式将函数化简,再根据余弦函数的性质解答.

    【详解】

    解:

    又因为的图象关于对称,

    所以,即

    因为,所以的最小值为.

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查三角恒等变换以及余弦函数的性质,属于基础题.

    10.在正方体中,E为棱上一点,且,若二面角,则四面体的外接球的表面积为(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】连接O,可证为二面角的平面角,即可求得的长度,即可求出外接球的表面积.

    【详解】

    解:连接O,则

    易知,则平面

    所以

    从而为二面角的平面角,

    .

    因为,所以

    故四面体的外接球的表面积为.

    故选:

    【点睛】

    本题考查二面角的计算,三棱锥的外接球的表面积计算问题,属于中档题.

    11.已知函数若函数恰有8个零点,则a的值不可能为(   

    A8 B9 C10 D12

    【答案】A

    【解析】两种情况讨论,当时显然不成立,当时,的实根为.,画出函数图象,数形结合分析可得.

    【详解】

    解:易知,当时,方程只有1个实根,

    从而不可能有8个零点,

    的实根为.

    ,则

    数形结合可知,

    直线的图象有2个交点,

    直线的图象有3个交点,

    所以由题意可得直线的图象有3个交点,

    则必有,又

    所以.

    故选:

    【点睛】

    本题考查函数方程思想,数形结合思想,属于中档题.

    12斐波那契数列由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现,因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称该数列为兔子数列”.斐波那契数列满足),记其前n项和为.设命题,命题,则下列命题为真命题的是(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】根据定义,判断命题的真假,再根据复合命题的真假性判断可得.

    【详解】

    解:因为

    所以,故命题p为真命题,则为假命题.

    故命题q为假命题,则为真命题.

    由复合命题的真假判断,得为真命题.

    故选:

    【点睛】

    本题考查复合命题的真假性判断,由递推公式研究数列的性质,属于中档题.

     

     

    二、填空题

    13.某人午觉醒来,发现手机没电自动关机了,他打开收音机,想听电台准点报时,则他等待的时间不少于20分钟的概率为______.

    【答案】.

    【解析】直接利用几何概型的求概率公式得到答案.

    【详解】

    根据几何概型的求概率公式得他等待的时间不少于20分钟的概率为.

    故答案为:

    【点睛】

    本题考查了几何概型,意在考查学生对于几何概型的掌握情况.

    14.设是等差数列的前n项和,若,则的取值范围是________.

    【答案】

    【解析】设等差数列的公差为,根据前n项和公式,可得公差的取值范围,即可求出的取值范围.

    【详解】

    解:设等差数列的公差为

    故答案为:

    【点睛】

    本题考查等差数列前n项和公式的应用,属于基础题.

    15.椭圆的左、右焦点分别为,若,则M的离心率为________.

    【答案】

    【解析】依题意可得的坐标,由,则,即可得到的关系,求得椭圆的离心率.

    【详解】

    解:

    所以

    所以

    故答案为:

    【点睛】

    本题考查两直线垂直斜率的关系,以及椭圆的离心率的计算问题,属于基础题.

    16.若存在,使得函数的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同,则b的最大值为________.

    【答案】

    【解析】分别求出函数的导函数,设公共点为,则解得,又,则,令,求出函数的导数,研究函数的最值.

    【详解】

    解:设曲线的公共点为

    因为

    所以,化简得

    解得

    ,且,则.

    因为.

    所以.

    ,所以

    ,得

    所以当时,;当时,.

    上单调递增,在上单调递减,

    所以b的最大值为.

    故答案为:

    【点睛】

    本题考查导数的几何意义,利用导数研究函数的最值问题,属于中档题.

     

    三、解答题

    17.为了解贵州省某州2020届高三理科生的化学成绩的情况,该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试,现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科生,,将他们的化学成绩(满分为100分)分为6组,得到如图所示的频率分布直方图.

    1)求a的值;

    2)记A表示事件从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生,该学生的化学成绩不低于70,试估计事件A发生的概率;

    3)在抽取的100名理科生中,采用分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取10名,再从这10名学生中随机抽取4名,记这4名理科生成绩在内的人数为X,求X的分布列与数学期望.

    【答案】120.653)详见解析

    【解析】1)根据所有的小矩形的面积之和为得到方程,解得.

    2)根据频率分布直方图,计算概率.

    3)按分层抽样的规则分别计算出成绩在内的人数,在列出分布列,计算出数学期望.

    【详解】

    解:(1

    2成绩不低于70分的频率为

    事件A发生的概率约为0.65.

    3)抽取的100名理科生中,成绩在内的有人,

    成绩在内的有人,故采用分层抽样抽取的10名理科生中,

    成绩在内的有4人,在内的有6人,

    由题可知,X的可能取值为01234

    的分布列为

    X

    0

    1

    2

    3

    4

    P

     

     

     

    .

    【点睛】

    本题考查频率分布直方图的数据的处理,分层抽样,离散型随机变量的分布列及数学期望的计算,属于中档题.

    18的内角ABC所对的边分别为abc.已知.

    1)求b

    2)求内切圆的半径.

    【答案】12

    【解析】1)由,即可计算出,再由余弦定理计算出边.

    2)由面积公式为内切圆的半径),及解得.

    【详解】

    解:(1)由,得

    ,所以.

    由余弦定理得,

    ,解得5.

    为等腰直角三角形,

    矛盾,舍去,

    .

    2)当时,的面积为

    内切圆的半径.

    【点睛】

    本题考查正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,以及二倍角公式,属于中档题.

    19.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PCDEAD的中点,ACBE相交于点O.

    1)证明:平面ABCD.

    2)求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.

    【答案】1)证明见解析(2

    【解析】1)通过证明平面,得到,再证即可证得平面ABCD.

    2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量、直线的方向向量,利用空间向量法求出线面角的正弦值.

    【详解】

    1)证明:平面PCD平面

    的中点,则.

    四边形BCDE为平行四边形,.

    ,且EAD的中点,四边形ABCE为正方形,,又平面

    平面,则.

    平面平面

    为等腰直角三角形,

    O为斜边AC上的中点,平面ABCD.

    2)解:以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示

    不妨设,则,

    .

    设平面PBD的法向量为

    ,得.

    BC与平面所成角为

    .

    【点睛】

    本题考查线面垂直,线面角的计算,属于中档题.

    20.在直角坐标系中,点是曲线上的任意一点,动点满足

    1)求点的轨迹方程;

    2)经过点的动直线与点的轨迹方程交于两点,在轴上是否存在定点(异于点),使得?若存在,求出的坐标;若不存在,请说明理由.

    【答案】1;(2)存在点符合题意.

    【解析】1)设,利用相关点代入法得到点的轨迹方程;

    2)设存在点,使得,则,因为直线l的倾斜角不可能为,故设直线l的方程为,利用斜率和为0,求得,从而得到定点坐标.

    【详解】

    1)设

    .

    ,则

    因为点N为曲线上的任意一点,

    所以

    所以,整理得

    故点C的轨迹方程为.

    2)设存在点,使得,所以.由题易知,直线l的倾斜角不可能为,故设直线l的方程为

    代入,得.,则.因为,所以,即,所以.故存在点,使得.

    【点睛】

    本题考查相关点代入法求轨迹方程及抛物线中的定点问题,考查函数与方程思想、数形结合思想的应用,求解时注意直线方程的设法,能使运算过程更简洁.

    21.已知函数,曲线在点处的切线方程为.

    1)求的值和的单调区间;

    2)若对任意的恒成立,求整数的最大值.

    【答案】1的单调递增区间为,单调递减区间为;(23.

    【解析】1)求导得到,根据切线方程计算得到,代入导函数得到函数的单调区间.

    2)讨论两种情况,变换得到,设

    ,求函数的最小值得到答案.

    【详解】

    1,由切线方程,知

    解得.

    ,得;由,得.

    所以的单调递增区间为,单调递减区间为.

    2时,恒成立,则.

    时,恒成立等价于恒成立.

    .

    恒成立,所以上单调递增.

    ,所以.

    时,;当时,.

    所以,又

    ,整数的最大值为3.

    【点睛】

    本题考查了函数的单调性,恒成立问题,将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.

    22.在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且曲线的极坐标方程为.

    1)求的值;

    2)已知点的直角坐标为与曲线交于两点,求.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)根据极坐标方程得到,根据参数方程得到答案.

    2)将参数方程代入圆方程得到,根据韦达定理得到,计算得到答案.

    【详解】

    1)由,得,则,即.

    因为,所以.

    2)将代入,得.

    两点对应的参数分别为,则.

    所以.

    【点睛】

    本题考查了极坐标方程和参数方程,利用直线的参数方程可以简化计算,是解题的关键.

    23.已知函数.

    1)求不等式的解集;

    2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)分别计算三种情况,综合得到答案.

    2)化简得到,利用绝对值三角不等式得到

    ,解不等式计算得到答案.

    【详解】

    1)当时,,解得

    时,,解得,则

    时,,解得,则.

    综上所述:不等式的解集为.

    2

    ,当时等号成立.

    若对任意,不等式恒成立,即

    解得.

    【点睛】

    本题考查了解绝对值不等式,利用绝对值三角不等式解决恒成立问题,意在考查学生的综合应用能力.

     

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